精品解析：山东青岛莱西市2026-2027学年度七年级第一学期期中质量检测数学试题

2026-2027学年度第一学期期中质量检测初二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误； B、 不能构成勾股数，故选项错误； C、 能构成勾股数，故选项正确； D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键． 3. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已有的条件是与；用判定，所补的边必须是夹这两个角的两边之一，由此看哪个选项能与已有条件拼成"边—角—边"． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴． 要用证明，两组边必须分别是夹的、与夹的、， ∴还需添加． 若添加，则给出的是斜边，属；若添加，属；若添加，属，都不能用． 4. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 5. 如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（ ） A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴不可能是米． 6. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线，高线，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵是角平分线， ∴，C正确； ∵是中线， ∴，B正确， ∴，则，A错误； ∵是高线， ∴， 即，D正确． 7. 如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质求出，根据题目的作法可知：、平分，在中，利用三角形的内角和定理求出，进而求出结果． 【详解】解：由题目的作法可知：、平分， 、， ， ， ， ， 平分， ． 8. 如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠得；在中设，把、都用表示，用勾股定理列方程求． 【详解】解：∵将长方形折叠使点与点重合，折痕为， ∴． 设，则， ∴． ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，分别以的三边为边长向外作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 10. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，关键是弄清人字梯与拉杆构成三角形；根据构成的图形是三角形即可解答. 【详解】解：由于人字梯与拉杆构成三角形，这样可以使梯子稳固， 所以，依据是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 ． 12. 如图，，，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据，可得，再利用三角形内角和即可算出的度数． 【详解】解：∵，， ． ， ． 13. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为 3 和6，分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为6，而、6、6可以构成三角形，周长为； 当 3 为腰时，其它两边为 3 和，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的两边长分别为 3 和6，其周长为 15． 故答案为：15． 14. 如图，等腰中，，，是底边的中线，如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一性质可得，求出的度数，利用含角的直角三角形性质求出斜边的长，最后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：，是底边的中线，， ，，， ， ∴， ∴． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点， ∴根据线段垂直平分线性质得， ∵在中，，， ∴根据三角形周长公式得， ∴的周长为． 16. 如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于的对称点，连接，再根据对称性可知，要使最小，即求的最小值，然后根据当点三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段的长度，最后根据面积相等求出答案． 【详解】解：如图所示，作点B关于的对称点，连接， ∵点B和点关于对称， ∴点在线段的延长线上，且， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值． ∵点在上， ∴当点三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段的长度，如图， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 三、作图题 17. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】（1） 即为所求； （2）的面积为8 （3） 点P即为所求作： 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）依据轴对称的性质，即可得到与关于直线y成轴对称的； （2）依据割补法进行计算，即可得出的面积； （3）点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的周长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 四、解答题（本题满分66分，共8小题） 18. 如图，，，，与相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由： 在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 19. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． （2）求原来路线的长． 【答案】（1）解：是从旅游地C到河边的最近的路线，理由如下， ，，， ，即， 是直角三角形，， 即的长是点到的距离， 是从旅游地C到河边的最近的路线． （2）千米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，易得是直角三角形，，再根据“垂线段最短”，即可说明； （2）设千米，则千米，根据勾股定理，列方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）可知，，则， 在中，， 即，解得， ， 则原来路线的长为千米． 20. 如图，，，，，为垂足，若，求的长度． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用证明，得到，可知是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质，由推出，求出的长。 【详解】解：连接，， 在和中 ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为3． 21. 一个单向行驶的隧道截面如图所示，由一个长方形和一个半圆组成．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过此隧道，则卡车的外形高必须低于多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】由题意可得欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高，再由勾股定理计算得出米，求出的长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意得： 米，米，， ∵一辆装满货物，宽为2.4米的卡车， ∴欲通过隧道，只要距隧道中线米处的高度大于车高， 在中，由勾股定理可得（米）， ∴（米）， ∴卡车的外形高必须低于米． 22. 在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角的度数关系．如图1，在中，线段和是的角平分线，与相交于点，判断与的关系． （1）同学们首先选取等边三角形进行特殊化研究，如图2，请求出的度数； （2）若选取等腰直角三角形，，则的度数为_______． （3）若，则的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可； （3）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形内角和定理计算即可； 【小问1详解】 是等边三角形， ， 线段和是和的平分线，与相交于点， ，， ． 【小问2详解】 是等腰直角三角形，， ， 线段和是和的平分线，与相交于点， ，， ． 【小问3详解】 ， ， 线段和是和的平分线，与相交于点， ， ． 23. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴． ∵点O与点重合， ∴， ∴是的平分线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先证明，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）过点P作，交于点H．由角平分线的性质得到，再由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作，交于点H． ∵是的平分线，，，， ∴． ∵，， ∴． 24. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 25. 如图，在中，，，点从出发以每秒个单位的速度在线段上向点运动，点同时从出发以每秒个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒． （1）运动_______秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，请直接写出_______(用含的式子表示)． 【答案】（1） （2）运动秒时，能成立，理由： 当时，，， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）用时间表示、，从而得到与的表达式，代入解方程； （2）由得，让边与对应相等，凑成； （3）全等给出与，把写成，再用外角把换成． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴运动秒时，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中质量检测初二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 3. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是( ) A. B. C. D. 4. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（ ） A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 6. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 如图，分别以的三边为边长向外作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 12. 如图，，，，则______． 13. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 14. 如图，等腰中，，，是底边的中线，如果，则______． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接，若，，则的周长为______． 16. 如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是______． 三、作图题 17. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 四、解答题（本题满分66分，共8小题） 18. 如图，，，，与相等吗？请说明理由． 19. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，则C到A的路现在不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）请通过计算说明，是否为从旅游地C到河边的最近的路线． （2）求原来路线的长． 20. 如图，，，，，为垂足，若，求的长度． 21. 一个单向行驶的隧道截面如图所示，由一个长方形和一个半圆组成．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过此隧道，则卡车的外形高必须低于多少米？ 22. 在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角的度数关系．如图1，在中，线段和是的角平分线，与相交于点，判断与的关系． （1）同学们首先选取等边三角形进行特殊化研究，如图2，请求出的度数； （2）若选取等腰直角三角形，，则的度数为_______． （3）若，则的度数为______（用含的式子表示）． 23. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 24. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 25. 如图，在中，，，点从出发以每秒个单位的速度在线段上向点运动，点同时从出发以每秒个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒． （1）运动_______秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，请直接写出_______(用含的式子表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $