精品解析：山东省青岛市莱西市（五四学制）2025-2026学年七年级上学期期中检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（　　） A. 30平方里 B. 50平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 3. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的有（ ） ①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤，2，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 第14届国际数学大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图中，，为的中点，连接并延长交于点，作，垂足为，交于点，下列判断：；；；，结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 12. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是_______． 14. 如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为______°． 15. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 三、画图题（本题满分6分） 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 四、解答题（本题满分66分，共9小题） 18. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，，，若，，求证：． 19. 定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 20. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直于的小路，垂足为E，点E恰好是的中点，连接，判断的形状并说明理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小慧与爸妈在公园里荡秋千，开始时小慧坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小慧从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和． 问题解决 任务1 （1）与全等吗？请说明理由； 任务2 （2）当爸爸在处接住小慧时，求点处距离地面的高度是多少？ 23. 如图，在四边形中，，点为的中点，且平分，是否平分？请说明理由． 24. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 25. 如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，F为的中点，求EF的长． 26. 定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． （1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． （2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图④，在四边形中，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10小题，每小题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（　　） A. 30平方里 B. 50平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的求解，判断出三角形的形状是解决本题的关键． 首先根据三条边长判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理逆定理验证后直接计算三角形的面积即可． 【详解】解：因为三边长分别为5里、12里、13里， 根据勾股定理，满足 ，则该三角形为直角三角形， 直角边为5里和12里，斜边为13里， 所以该直角三角形面积公式为：平方里． 故选：A． 3. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需分类讨论，并验证是否满足三边关系． 等腰三角形的两边长分别为4和9，需分两种情况讨论：当腰为4底为9时，当腰为9底为4时． 根据三角形三边关系，只有腰为9时能构成三角形，周长为22． 【详解】解：当腰为4底为9时，三边为4，4，9． ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形． 当腰为9底为4时． ∵，， 满足三角形三边关系， ∴ 能构成三角形，周长． ∴ 这个等腰三角形的周长为22． 故选D． 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的有（ ） ①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤，2，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆理，理解勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理逐一判断每个选项即可． 【详解】①即 ∴①，， 不能构成三角形； ②，∴能构成直角三角形； ③，∴ 能构成直角三角形。 ④， ，，∴不能构成直角三角形； ⑤ ，∴ ，2，能构成直角三角形。 综上，②、③、⑤能构成直角三角形， 故选：C． 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 6. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 7. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故选：B． 8. 第14届国际数学大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，则由线段的和差关系可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵是四个互相全等的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图中，，为的中点，连接并延长交于点，作，垂足为，交于点，下列判断：；；；，结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质．依据题中条件，可以判定，根据全等三角形性质可判断和，根据三角形中线平分面积的性质，判断，由三角形面积公式，结合面积之间的关系，可判断． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴正确； ∵是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵根据已知条件无法得出为的中点， ∴由已知无法得出， ∴正确的结论为． 故选：C． 10. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故选：D． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性，即可获得答案． 【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是_______． 【答案】##18厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角性质周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是， 故答案为：． 14. 如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为______°． 【答案】125 【解析】 【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入计算即可． 【详解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A， 而∠A=70°， ∴∠BOC=90°+×70°=125°． 故答案为125． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用. 15. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 三、画图题（本题满分6分） 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 四、解答题（本题满分66分，共9小题） 18. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，，，若，，求证：． 【答案】 证明：∵，，点，，，在同一条直线上， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明，得到，根据三角形的内角和定理求出的度数即可得证． 【详解】略 19. 定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，设为顶角，分两种情况讨论：①当底角是顶角的2倍时；②当顶角是底角的2倍时；分别计算即可得到答案． 【详解】解：设为顶角， ①当底角是顶角的2倍时：， ∵， ∴， ②当顶角是底角的2倍时：， ∵， ∴， 20. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直于的小路，垂足为E，点E恰好是的中点，连接，判断的形状并说明理由． 【答案】是直角三角形， 理由：∵，点E恰好是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后根据勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】略 22. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小慧与爸妈在公园里荡秋千，开始时小慧坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小慧从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和． 问题解决 任务1 （1）与全等吗？请说明理由； 任务2 （2）当爸爸在处接住小慧时，求点处距离地面的高度是多少？ 【答案】 （1），理由： 由题意可知，， ， ， ， ， ， 在和中， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． （1）结合垂直的定义可得，即可解答； （2）根据，可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， 答：点C处距离地面的高度是． 23. 如图，在四边形中，，点为的中点，且平分，是否平分？请说明理由． 【答案】 解：平分，理由如下： 过点作，垂足为，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质． 过点作，垂足为，由角平分线的定义，可得，证明，可得，由已知可得，等量代换，证明，可得，即可求解． 【详解】略 24. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： AI ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3） 略 25. 如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，F为的中点，求EF的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ，， ， 又， ， 是等腰三角形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键． （1）根据，得，再利用进行角之间的转换，得出即可得出结论； （2）先证，然后根据勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 F为的中点， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 答：的长为12． 26. 定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． （1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． （2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，即， ，， ， ； （2） ，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即得； （2）设交于，证明，可得，，即可得，即；而，故； （3）作，且，连接，，证明，可得，而，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $