20.2.1二次根式的乘法 课件 --2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 20.2.1 二次根式的乘法 专项练习（约1600字） ## 知识梳理 二次根式乘法法则：$\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\(=\)\sqrt{ab}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）。 文字叙述：两个二次根式相乘\(a\ge0，b\ge0\)把被开方数相乘\(a\ge0，b\ge0\)根指数不变。 逆用公式：$\boldsymbol{\sqrt{ab}\(=\)\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）\(a\ge0，b\ge0\)这个式子主要用来化简二次根式\(a\ge0，b\ge0\)把被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 重要注意点： 1. 法则成立的前提是$a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0$\(a\ge0，b\ge0\)如果被开方数是负数\(a\ge0，b\ge0\)不能直接套用乘法公式； 2. 运算结果中的二次根式\(a\ge0，b\ge0\)一般都要化成最简二次根式。最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 3. 多个二次根式相乘时\(a\ge0，b\ge0\)法则同样适用：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}\(=\)\sqrt{abc}(a\ge0,b\ge0,c\ge0)$； 4. 根式前面有系数时\(a\ge0，b\ge0\)系数和系数相乘\(a\ge0，b\ge0\)根式和根式相乘：$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}\(=\)mn\sqrt{ab}(a\ge0,b\ge0)$。 ## 一\(a、b\)选择题 1. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)\sqrt{5}$ B.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)\sqrt{6}$ C.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)2\sqrt{3}$ D.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)3\sqrt{2}$ 2. 计算$\sqrt{8}\times\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的结果是（） A.$4$　B.$2$　C.$\sqrt{4}$　D.$\dfrac{\sqrt{8}}{2}$ 3. 化简$\sqrt{12}$正确的是（） A.$4\sqrt{3}$　B.$2\sqrt{3}$　C.$3\sqrt{2}$　D.$2\sqrt{6}$ 4. 计算$2\sqrt{5}\times3\sqrt{10}$的结果是（） A.$6\sqrt{50}$　B.$30\sqrt{2}$　C.$6\sqrt{15}$　D.$5\sqrt{2}$ 5. 若$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+3}\(=\)\sqrt{(x-2)(x+3)}$成立\(a\ge0，b\ge0\)则$x$的取值范围是（） A.$x\ge2$　B.$x\ge-3$　C.$-3\le x\le2$　D.$x$为任意实数 ## 二\(a、b\)填空题 1.$\sqrt{5}\times\sqrt{20}\(=\)$________。 2.$\sqrt{27}\(=\)$________；$\sqrt{18}\(=\)$________。 3.$3\sqrt{2}\times2\sqrt{6}\(=\)$________。 4. 比较大小：$\sqrt{3}\times\sqrt{5}$____$\sqrt{14}$（填$\(>\)$\(a、b\)$\(<\)$或$\(=\)$）。 5. 化简：$\sqrt{4a^3}(a\ge0)\(=\)$________。 ## 三\(a、b\)计算解答题 1. 直接计算： (1)$\sqrt{3}\times\sqrt{15}$ (2)$\sqrt{6}\times\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ (3)$\sqrt{0.2}\times\sqrt{5}$ (4)$\sqrt{14}\times\sqrt{7}$ 2. 带系数二次根式相乘： (1)$4\sqrt{3}\times\sqrt{6}$ (2)$-2\sqrt{10}\times\dfrac{1}{2}\sqrt{15}$ (3)$3\sqrt{2a}\times\sqrt{8a}(a\ge0)$ 3. 利用$\sqrt{ab}\(=\)\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$化简下列二次根式： (1)$\sqrt{50}$ (2)$\sqrt{72}$ (3)$\sqrt{200}$ (4)$\sqrt{12x^2y}(x\ge0,y\ge0)$ 4. 应用题：一个长方形\(a\ge0，b\ge0\)长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$\(a\ge0，b\ge0\)宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$\(a\ge0，b\ge0\)求这个长方形的面积。 5. 拓展题：已知$a\(=\)\sqrt{2}$\(a\ge0，b\ge0\)$b\(=\)\sqrt{3}$\(a\ge0，b\ge0\)求$\sqrt{24}$用含$a\(a、b\)b$的式子表示\(a\ge0，b\ge0\)并计算$\sqrt{24}$的值。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. B 解析：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\(=\)\sqrt{ab}$\(a\ge0，b\ge0\)$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)\sqrt{6}$ 2. B 解析：$\sqrt{8}\times\sqrt{\dfrac12}\(=\)\sqrt{8\times\dfrac12}\(=\)\sqrt{4}\(=\)2$ 3. B 解析：$\sqrt{12}\(=\)\sqrt{4\times3}\(=\)\sqrt{4}\times\sqrt{3}\(=\)2\sqrt{3}$ 4. B 解析：$2\sqrt{5}\times3\sqrt{10}\(=\)6\sqrt{50}\(=\)6\times5\sqrt{2}\(=\)30\sqrt{2}$ 5. A 解析：公式成立要求$\begin{cases}x-2\ge0\\x+3\ge0\end{cases}$\(a\ge0，b\ge0\)解得$x\ge2$ ### 填空题 1.$10$；$\sqrt{5}\times\sqrt{20}\(=\)\sqrt{100}\(=\)10$ 2.$3\sqrt{3}$\(a\ge0，b\ge0\)$3\sqrt{2}$ 3.$12\sqrt{3}$；$3\sqrt{2}\times2\sqrt{6}\(=\)6\sqrt{12}\(=\)6\times2\sqrt{3}\(=\)12\sqrt{3}$ 4.$\(>\)$；$\sqrt{3}\times\sqrt{5}\(=\)\sqrt{15}$\(a\ge0，b\ge0\)$\sqrt{15}\(>\)\sqrt{14}$ 5.$2a\sqrt{a}$；$\sqrt{4a^3}\(=\)\sqrt{4a^2\cdot a}\(=\)2a\sqrt{a}$ ### 解答题 1. (1)$\sqrt{3}\times\sqrt{15}\(=\)\sqrt{45}\(=\)3\sqrt{5}$ (2)$\sqrt{6}\times\sqrt{\dfrac23}\(=\)\sqrt{4}\(=\)2$ (3)$\sqrt{0.2}\times\sqrt{5}\(=\)\sqrt{1}\(=\)1$ (4)$\sqrt{14}\times\sqrt{7}\(=\)\sqrt{98}\(=\)7\sqrt{2}$ 2. (1)$4\sqrt{3}\times\sqrt{6}\(=\)4\sqrt{18}\(=\)4\times3\sqrt{2}\(=\)12\sqrt{2}$ (2)$-2\sqrt{10}\times\dfrac12\sqrt{15}\(=\)-\sqrt{150}\(=\)-5\sqrt{6}$ (3)$3\sqrt{2a}\times\sqrt{8a}\(=\)3\sqrt{16a^2}\(=\)3\times4a\(=\)12a$ 3. (1)$\sqrt{50}\(=\)\sqrt{25\times2}\(=\)5\sqrt{2}$ (2)$\sqrt{72}\(=\)\sqrt{36\times2}\(=\)6\sqrt{2}$ (3)$\sqrt{200}\(=\)\sqrt{100\times2}\(=\)10\sqrt{2}$ (4)$\sqrt{12x^2y}\(=\)\sqrt{4x^2\cdot3y}\(=\)2x\sqrt{3y}$ 4. 解：长方形面积\(=\)长×宽 $S\(=\)2\sqrt{6}\times\sqrt{3}\(=\)2\sqrt{18}\(=\)2\times3\sqrt{2}\(=\)6\sqrt{2}\ (\mathrm{cm^2})$ 答：长方形面积为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm^2}$。 5. 解：$\sqrt{24}\(=\)\sqrt{4\times6}\(=\)2\sqrt{2\times3}\(=\)2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\(=\)2ab$ 代入$a\(=\)\sqrt{2},b\(=\)\sqrt{3}$\(a\ge0，b\ge0\)$\sqrt{24}\(=\)2\sqrt{6}$ ## 本节易错总结 1. 忽略条件$a\ge0,b\ge0$\(a\ge0，b\ge0\)负数不能直接开根号相乘； 2. 做完乘法不化简\(a\ge0，b\ge0\)保留$\sqrt{50}$\(a、b\)$\sqrt{18}$这类没有化成最简根式的结果； 3. 带系数相乘时\(a\ge0，b\ge0\)漏乘系数\(a\ge0，b\ge0\)只把根号内部相乘； 4. 被开方数含有字母时\(a\ge0，b\ge0\)没有看清字母的取值范围\(a\ge0，b\ge0\)直接开方出错。 要不要我继续给你做**20.2.2二次根式的除法**同规格专项练习？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 20.2.1二次根式的乘法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/5 第二十章 二次根式 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 学习目标 1. 理解和掌握二次根式的乘法法则： (a＞0，b＞0). 经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系. (重点) 2.利用二次根式的乘法法则进行计算和化简，提高运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.(难点) 问题1 什么叫二次根式？ 问题2 两个基本性质： = a a (a≥0) -a (a＜0) = =∣a ∣ (a≥ 0) 学习目标 　 当 a 是正数或 0 时，　 是实数吗？取 a 值分别为 1，2，3，4，5 试一试！ 　　类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？ 　　　　 加、减、乘、除四则运算 　 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始． 　请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？ 　 特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！ ？ 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 试一试:计算 (1),; (2),. 从计算的结果,我们可以发现: , . 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 一般地,设,有. 这是什么道理呢?下面我们来证明这个结论: 一方面,(积的乘方法则) (算术平方根的意义). 另一方面,. 根据算术平方根的意义,可得是的算术平方根, 即. 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 于是我们得到二次根式的乘法法则:. 方法总结:1.公式正向形式:,适用条件; 2.运算规则:两个二次根式相乘,根号不变,内部被开方数相乘; 3.前提要求:参与相乘的两个被开方数必须均为非负数,负数不能直接套用该公式; 4.推导依据:利用积的乘方与二次根式平方性质完成公式验证。 04 典例分析 活动二:例题精讲 例1 计算:(1); (2). 解:(1). (2). 03 新知讲解 方法总结 1.完整运算三步法:①判断均非负;②套用乘法法则合并根号; ③化简根号内数值,开尽平方因数; 2.含分数根式相乘:分数相乘后再开方,优先约分简化计算; 3.符号处理:出现负号放在根号外侧,仅对被开方数使用乘法公式; 4.结果要求:最终必须化为最简二次根式,根号内无完全平方因数。 05 课堂练习 05 课堂练习 1.计算的结果为( ) A. B. C. D. 2.已知成立,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. D B B 05 4.计算: . 5.若实数与的乘积是有理数,则的值可以是 . 6.若·的值是整数,则的值可以是( ) A.2 B.15 C.20 D.25 课堂练习 C 原式=. 随堂练习 1.计算下列各式，并将所得的结果化简： （1）； （2） 基础过关(P6) 随堂练习 2.若，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 能力提升 解：由题意可知 且， 解得 且.则。 A 随堂练习 3.化简 能力提升 (1) 　　　 ； (2) 　　 解：(1)　　　 　 归纳: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. (2)　　　 　 随堂练习 能力提升 4. 已知 试着用 表示 . 解： 随堂练习 能力提升 5.计算： 知识点1 二次根式的乘法 1. 下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 若，则 ( ) A A. 12 B. C. D. 返回 举一反三 19 3. 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 举一反三 20 （3） . . 返回 举一反三 21 知识点2 二次根式的乘法的应用 4. 下列各数中，与 的积仍为无理数的是( ) D A. B. C. D. 5. 如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表 示 的点处，则该点可能是下列点中的( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 举一反三 22 6. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出 的数据如下表.那么当输入的数据为20时，输出的数据是____. 输入 1 2 3 4 … 输出 … 10 返回 举一反三 23 7. 下列四个式子中，与 相等的是( ) D A. B. C. D. 【点拨】由题意得，， . 返回 举一反三 24 08 板书设计 谢谢观看 THANKS $