课外拓展提高 32.2.1 解直角三角形&课外拓展提高 32.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

@32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形（建议用时：30分钟） 1.如图，在△ABC中，∠A=88°，∠C=42°，6.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上 AB=6,则点A到BC的距离是 (A) 一点，AB=5,BD=1,tanB= 4∠BAD=a. A.6sin50° B. 6 sin 50 (1)求AD的长. C.6cos50° D.6tan 50 (2)求sina的值. 解：(1)anB=A9,设AC=3,BD分 则BC=4x. AC2+BC2=AB2,∴.(3x)2+(4x)2=52,解得x=1 (负值已舍去)，，AC=3,BC=4. 第1题图 第2题图 BD=1,.CD=3,∴AD=√CD+AC=32. 2.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E, (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. 4 DE 3 sinD=5AE=2,则AC的长为 (D) 在R△BED中，tanB=BE=手 ∴.设DE=3y,则BE=4y. A.8 B.210 .BE+DE=BD, C.213 D.25 (3y)+(4y)=1,解得y=5(负值已舍去). 3.如图，在△ABC中，∠A 3 DE 52 2.AC- =30,tanB= DE=3 5.sin a= AD3210 7.如右图，在△ACB中，∠A 23,则AB的长是 第3题图 =30°，∠B=45°，AC=8. 5 (1)求AB的长. 4.如图，在△ABC中，BC=√6+√2，∠C= (2)若点P在线段AB上，连接CP,且 45°，AB=√2AC,则AC的长为2. tan∠APC=2,求tan∠BCP的值. 解：(1)如图，作CD LAB于点D, .CD=AC·sinA=8Xsin30°=4， .AD=AC·c0sA=8Xc0s30°=4V3. 在Rt△BCD中，∠B=45, .∠BCD=90°-45°=45°=∠B, 第4题图 第5题图 .BD=CD=4,·AB=AD+ 5.阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α，3 BD=43+4, (2)如图，作PE⊥BC于点E,则 满足2a十3=90°，那么我们称这个三角形为 ∠B=∠EPB=45°，∴.PE=EB. “特征三角形”. .tan∠APC=2= 20PD=2,PB=BD=PD☐ 问题解决：如图，在△ABC中，∠C为钝角， 4-2m8-设-器C=-4.pt AB=25,tan A= 3如果△ABC是“特征三角 =PB·sinB=2,BE=PE=√2，.CE=BC-BE =32, 25 形”，那么线段AC的长为 PE 1 ∴.tan∠BCP= CE 3 下册课外拓展提高 93 32.2.2应用举例 目第1课时解直角三角形的简单应用（建议用时：30分钟） 1.如图①，将一个Rt△ABC形状的楔子从木4.(2026新余四中一模)图①是某小区门口的 桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下， 车辆自动识别装置，主要由可旋转高清摄像 使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 机和其下方固定的显示屏组成，图②是其结 18°，若楔子沿水平方向前移6cm(如图②)， 构示意图.已知摄像机长AB=40cm,旋转 则木桩上升了 (A) 轴心O为AB的中点，显示屏的上沿CD与 AB平行，CD=30cm,CD的连接杆为OE, OE⊥AB,OE=10cm,且CE=2DE.若点 C到水平地面的距离为60cm,AB与水平地 图① 面所成的角的度数为35°.（参考数据：sin35 第1题图 ≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果 6 A.6tan18°cm B. tanl8°cm 保留一位小数) (1)求显示屏所在部分的宽度. C.6sin18°cm D.6cos18°cm (2)求镜头A到地面的距离. 2.跨物理学科如图，一束太阳光从天花板和落 解：(1)AB∥CD. 地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到 AB与水平地面所成 天花板上形成光斑.中午和下午某一时刻光线 的角的度数为35°， 与地板的夹角分别为α，3.已知天花板与地面 ,.CD与水平地面所 成的角的度数 互相平行，且它们之间的距离为3m,当a=45°， 为35°. 3=30°时，光斑移动的距离AB为 (B) 过点C作点D所在 地面 A.3 m 天花板 铅垂线的垂线，垂足 图① 图② 为M,则∠DCM=35。 B.(6√3-6)m 'CD=30,,.CM=CD·c0s∠DCM≈30X0.82= C.(3√3-3)m B地板 24.6, 第2题图 ∴.显示屏所在部分的宽度约为24.6cm D.6m (2)如图，连接AC,作AH⊥MC的延长线于点H 3.图①为《天工开物》记载的用于春(chong)捣 AB=40,0为中点， B 谷物的工具一“碓(du)”的结构图，图②为 .A0=20. “CD=30,CE=2ED, 其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB ∴.CE=20. 与水平线I相交于点A,AE⊥L.若BC= CD∥AB,OE⊥AB, 4dm,AB=12dm,∠BAE=60°，则点C到 .四边形ACE0为矩形，AC=OE =10. 地面 水平线l的距离CF为(6-23)dm(结 ,∴.∠DCM+∠ACH=∠CAH+∠ACH 果用含根号的式子表示) ∴∠DCM=∠CAH=35°， ,.AH=AC·c0s35°≈10X0.82=8.2, ,镜头A到地面的距离为60十8.2≈68.2(cm). 图① 图② 第3题图 94 九年级数学RJ版=(sin1°+sin289)+(sin2°+sin88)+…+sin45 =1+1+…+1+2 1 =44+2 16.解：(1)：∠B=45°，∠C=75, ∴.∠A=180°-∠B-∠C=60°. b ”sin Asin B-sinC: :6 b “sin60°-sin45b=26. AB AC (2)”sin∠ACB-sinB 10=14 53 sin Bsin B=3 ∠B=60. 14 tan B=CD_ BD-3..BD-3 3 CD. 由勾股定理，得AC2=CD2+AD, 196=CD+(10- 3CD), CD=8√3（负值已舍去）， ∴.景观桥CD的长度为8√3m. 32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 1.A【解析】如图，过点A作AM⊥BC,垂足为M. ∠C=42°，∠BAC=88°， .∠B=50. 在Ri△ABM中，sinB=AM AB· ∴.AM=6sin50° 2.D【解析】在Rt△CED中， sinD=5=5,∴设EC=4x,则CD=5x,■ .ED=√(5.x)2-(4x)=3.x. ,四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,即AE十ED= CD,.2+3x=5x,解得x=1, .EC=4, ∴由勾股定理可得AC=√AE+EC=√2+4= 25. 3.5【解析】如图，过点C作CD⊥ AB于点D. 在Rt△ACD中，∠A=30°， AC=2√3， ∴.CD=AC·sin30°=√3， AD=AC·cos30°=3. 134 九年级数学RJ版 在Rt△BCD中，tanB, 小品-gm-2 ∴.AB=AD+BD=3+2=5. 4.2【解析】如图，过点A作AD⊥ BC,垂足为D 设AC=x,则AB=√2x. D √2 在Rt△ACD中，AD=AC·sinC= ,CD= AC·cosC=2 在R1△ABD中，AB=2,AD= 2x, BD=AB-AD6 x, :c-D+cD-9+号 x=6+2, ∴x=2,即AC=2. 【解析】分两种情况讨论： ①设∠A=a,∠B=B,过点C作AB的 D 垂线交AB于点D,如图①所示. mA6- 图① .DC>AD,∴∠A>45°， .不存在2a十3=90°. ②设∠A=B,∠ABC=a,过点B作BE⊥AC交AC 的延长线于点E,过点C作CF⊥AB于点F,如图②所 示 :△ABC是“特征三角形”，.2a十B= B 90°.又：∠A+∠ABE=90°， ∴∠ABE=2∠ABC, E ∴.BC平分∠ABE,.CF=CE. mA-得E-台 图② 设AF=3.x,则CF=CE=4x,.AC=5x,.AE= 9x,.BE=12x. 在Rt△ABE中，AE2+BE=AB2,即81x2+144x2= 625,解得x=号（负值已合去）∴AC=25 5 3 25 综上所述，线段AC的长为 AC 6.解：1)tanB=BC心设AC=3x,则BC=4x, AC2+BC2=AB2, ∴.(3x)2+(4x)2=5,解得x=1(负值已舍去)， ∴AC=3,BC=4. BD=1,∴.CD=3, .AD=/CD+AC=32」 (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. DE 3 在Rt△BED中，tanB=BE=4' ∴.设DE=3y,则BE=4y. B D .BE+DE2=BD2, (3)+(4)P=,解得y=号（负值已舍去 3 DE=gme-形26 DE5√2 7.解：(1)如图，作CD⊥AB于点D, ∴.CD=AC·sinA=8Xsin30°=4， .AD=AC·cosA=8×cos30°=4√3. 在Rt△BCD中，∠B=45°， ∴.∠BCD=90°-45°=45°=∠B ..BD=CD=4,..AB=AD+BD=4J3+4. (2)如图，作PE⊥BC于点E,则 ∠B=∠EPB=45°，.PE =EB. :tan∠APC=2=PD, CD .PD=2 ∴.PB=BD-PD=4-2=2. nB设s, -sin B-4,PE-PB sin B=, ..BC CD ∴BE=PE=√2， .CE=BC-BE=3√2， .tan∠BCP=CE=3 PE1 32.2.2应用举例 第1课时解直角三角形的简单应用 1.A 2.B【解析】如图，过点C作CE⊥AB,垂足为E,过点 D作DF⊥AB,垂足为F.由题意得CE=DF=3m, △ACP和△BDP都是 天花板 B 等腰三角形，BP∥MN, ∴.∠APC=∠PCM=3m a☑ 45°，∠BPD=∠PDMM CB D =30°. 地板 CE 在Rt△PCE中，PE= tan450=3m, AP=2PE=6m.在Rt△PDF中，PF=,DF tan30° 3=35(m),BP=2PF=65m,.AB=BP- 3 AP=(6√3一6)m,.光斑移动的距离AB为(6√3一 6)m. 3.(6-2√3)【解析】如图，延 长DC交直线l于点H. AE⊥I,∠BAE=60°， .∠BAH=30. 又.AB⊥CD,∴.∠BHA=60° 在Rt△ABH中，AB=12,∴.BH=12×tan30°=4√3. BC=4,∴.CH=43-4, :Cp=CH·in60°=(45-4)×5=6-2. 2 ∴.点C到水平线l的距离CF为(6一2√3)dm. 4.解：(1)ABCD,AB与水平地面所成的角的度数 为35°， ∴.CD与水平地面所成的角的度数为35° 过点C作点D所在铅垂线的垂线，垂足为M,则 ∠DCM=35°」 CD=30, .CM=CD·cos∠DCM≈30X0.82=24.6, ∴.显示屏所在部分的宽度约为24.6cm (2)如图，连接AC,作AH⊥MC的延长线于点H. AB=40,O为中点， B 0 .∴.A0=20. A .CD=30,CE=2ED,..CE=20. .dM CD∥AB,OE⊥AB,.四边形 ACEO为矩形，AC=OE=10, ∴.∠DCM+∠ACH=∠CAH +∠ACH, 地面 ∴.∠DCM=∠CAH=35°， .AH=AC·cos35°≈10×0.82=8.2， ∴.镜头A到地面的距离为60+8.2≈68.2(cm). 第2课时利用仰（俯）角、方向角解直角三角形 1.A【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F.:G为 BC的中点，EG∥AB, .EG为△ABC的中位线，.AB= 2EG=30m. D 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-a r =30°，.BC=AB·tan∠BAC=AB am30=30X号10B(m).在 B Rt△AFD中，DF=BC=10W3m,∠ADF=B=30°， AF=DF·tm∠ADF=I0v5XS-10(m, ∴.CD=BF=AB-AF=30-10=20(m). 2.B【解析】如图，过点D作DF⊥ AB于点F,易得四边形DEBF 为矩形.由题意，得∠ADF=28°，D28 CD=45 m,BC=60 m. DE :斜面坡度=1：0.75∴…EC 下册详解详析 35个