32.1 第2课时 锐角三角函数的综合-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

课课练同步训练数学九年级下册 PB'=2√2，PQ=2√/10，B'Q=4√2， ..PB2+B'Q2=PQ2, .△QPB′是直角三角形， .∴.tan∠QMB=tanP= B'Q42 PB'22 2 17.13 【解析】α是锐角， 2 且c0s(a-15)= 2 .-15°=45°， .a=60°， =30°， 2 原式=sin60 -|cos60°-tan30l √3 √3 2 ,1√3 - √323 13.1 232 3 =1- 3 18.解：(1)在Rt△ABC中，sinA=a sinB=6,a2+62=c2, c inA+sinB= c2 a2=1. (2).·∠A+∠B=90°， .∠B=90°-∠A, 20 RJ ∴.sin2A+sin2B=sin2A+sin2(90°- ∠A)=1,即当a为锐角时，sina+ sin2(90°-)=1. (3)sin21+sin22°+sin23°+…+sin288°+ sin289 =（sin21°+sin289°)+(sin22°+ sin288)+.+(sin244°+sin246)+ sin245° 1 =1+1+…+1+ 2 44个1相加 89 2 第2课时 锐角三角函数的综合 夯实五分钟 1.c 2.B【解析】0与O互相垂直，且 OM=(cos a,sin a-1),ON=(sin a, sin a+1), ∴.cosa·sina+(sina-1)(sin+ 1)=0, cos a.sin a+sin'a-1=0, cos a.sin a-cos a=0(sin'a+cosa= 1,证明略). 是锐角，∴.c0sa≠0， .∴.sina-cosa=0, 即tana=1,∴.锐角的度数是45°. 3.A【解析】在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=4, .∠A=∠B. 由折叠的性质，可得△AEF≌△DEF, .∠EDF=∠A, .∠EDF=∠B. .·∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠BDF+∠B=180°， .∴.∠CDE=∠BFD. 又AE=DE=3, .CE=AC-AE=4-3=1. 在t△ECD中，sim∠CDE=CE=1 DE3 Ep sinL BED= 4.1【解析】原式=(tan1°×tan89)× （tan2°×tan88)×…×（tan44°× tan46°)×tan45°=1.(tan aXtan(90°- α)=1，证明略) 36 3 【解析】如图，过点C作CE⊥ AB,交AB于点E,延长C0交⊙O于 点D,连接AD,则AD⊥AC. 0 B D 设AE=x,则BE=AB-AE=8-x. CE2=AC2-AE2 CE2=CB2-BE2 .'.AC2-AE2=CB2-BE2, 即52-x2=72-(8-x)2, 25-x2=49-(64-16x+x2), 之6医=Ac-Ag=5-(32-7 4 《参考答案及解析 CE(负位含)， 53 CE 2 53 ∴.sinB= CB7-14 .∠D=∠B, 53 ∴.sinD=sinB= 141 又sinD=AC.553 CD…CD14 14 解得CD= 1 73 :.⊙O的半径=。CD= 2 3 素养稳提升 6.336-3√3【解析】当，点M与点B 重合时，由折叠的性质，可知EF垂直 平分AB, AE=2B=3, ∴.EF=tan60°xAE=3√3. 当，点M的位置变化时，连接AM,如图 所示 B MG 当AF的长取得最小值时，DF的长取 得最大值 由折叠的性质，可知EF垂直平分 AM,则AF=FM, .'.当FM⊥BC时，FM的长取得最小 21 课课练同步训练数学九年级下册 值，此时DF的长取得最大值 过，点D作DG⊥BC于点G,则四边形 DGMF为矩形， .FM=DG. 在Rt△CDG中，：∠C=∠A=60°， CD=AB=6, .DG=sin 60xCD=33, .DF的长的最大值为6-3√3. 7.解：△ABC是直角三角形.理由如下： ·1sinA3 ,3 31+（3 -tanB)2=0, sin 4-33 -=0 2 3-tanB=0, sinA 3 2,tan B= 31 ∠A,∠B均为锐角， ∴.∠A=60°，∠B=30°. 在△ABC中，∠C=180°-∠A ∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形 7 8.解：sinB+cosB= (s如8+mBy2=(3, 49 .∴sinB+cos2B+2 sin Bcos B=】 25 又sin2B+cos2B=1(证明略)， 49 .∴.1+2 sin Bcos B= 25 12 .∴.sin Bcos B= 25 22 RJ 13 9.解：(1)解方程组 =2+2 y=2x, x=1, 得 y=2, 则点B的坐标为(1,2)： (2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C. OC x 13 当y=0时，2+2 =0, 解得x=-3, 则点A的坐标为(-3,0)， ∴.0A=3. 又OC=1,BC=2, .∴.AC=OA+OC=4, ∴.AB=WAC2+BC2=25, ·sin BAC=BC.2_V5 AB255 即sinL BA0=V5 a(26 提示：sin75°=sin(30°+45) =sin30°cos45°+c0s30°sin45° 1√2，√32 -X 2222 -√2+6 4 (2)解：如图，过点A作AD⊥BC于点 D,在BC上找一点E,使BE=AE B .·∠C=45°， .∠DAC=45°， .AD=CD. 'sin C=AD ,AC=23-2, 即2.A0 223-2 AD=√6-√2. :∠B=15°，sinB= AB' 即6-26-2 4 AB' ∴.AB=4 BE=AE, .∠B=∠EAB=15°， ∴.∠AED=30°， .AE=2AD=2√6-2√2. ·tanLAED=AD ED' 即3-6-2 3 ED .ED=3√2-√6， .BC=BE+ED+CD=26-22+3√2- √6+√6-√2=2√6. 11.（1)证明：.AB=2AC,AD=√2AC, <参考答案及解析 ,AD√2AC√2ACAC√2 AB2AC2'AD√2AC2 在△ACD与△ADB中， AD_AC_ ABAD2,∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ADB. (2)解：如图，过点D作DE⊥AB,交 BA的延长线于点E.过点C作CF⊥ BD,垂足为F. .·∠BAD=135°， ∴.∠DAE=45°， ∴.△ADE是等腰直角三角形 根据勾股定理，可知AB=DB=2 .·AD=√2AC, .∴.AE=AC=BC=DE. 设AE=AC=BC=DE=k, 则BD=√BE2+DE2=√I0k,sinB= DE√10 BD=10:cosB=B-310 BD 10 在△BFC中，，∠BFC=90°，BC=k, 3/10 ∴.BF=BC·cosB= K. 10 CF=BC·sinB=√I k 10 DF=BD-BF-7/10 106 23 课课练同步训练数学九年级下册 .·∠CFD=90°， CF 1 ∴.tanBDC= DE 7 中考一点通 12.（1)cosx. 提示：如图1. P(x,y) 图1 .270°<a<360° ∴.点P(x,y)在第四象限， .x>0,y<0. .r>0, :.sin a=0,cos a= ~>0,tan a= Y0. (2)解：·直线y=2x经过原点和第 一、第三象限，且角α的终边在直线 y=2x上， ∴.点P(x,y)在第一象限或第三象 限，且可以表示为P(x,2x),过点P 作PQLx轴于点Q. 如图2，若点P在第一象限，则x>0, y>0, P(x,y》 图2 24 RJ .r=√x2+y=√x2+(2x)2=√5x, sin atcos a35 rr5x 5%5 如图3，若点P在第三象限，则x<0, y<0, ■■ 0 P(x,y 图3 .r=√x2+y=√2+(2x)7=-√5x, sin a+cos a==2x rr-√5x-√/5x 3w5 综上所述，sinu+cosu的值为写 35 或、36 5 (3)解：角α是钝角，且点P(x, W5)是角α终边上一点， ,点P在第二象限 如图4，过点P作PM⊥x轴于点M. P(x,5) 图4 .‘C0sa= 4t,且cosa= 、·。=x,解得r=22. 在Rt△PMO中， 0M=√0p2-PM=√P-y= √(22)2-(5)2=√3， .点P的坐标为(-√3,5)， ∴tana=y-5-I5 x-/3 3 32.21 解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 夯实五分钟 1.D 2.B 【解析】在Rt△ABC中，：∠C= 90°，AB=10,∠B=28°， ·sinB=ACAC AB10' ∴.AC=10sinB=10sin28°. 3.B【解析】由题意画出示意图，如图 所示 北 B100m A 西 →东 200m 南 .AD=AB·sin60°=50W3m, BD=AB·cos60°=50m, .CD=BC-BD=150 m. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2= 参考答案及解析 √(503)+1502=1003(m). 4.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. D 在Rt△ABD中，sinB=AD AB' 即sin60=AD-3 62, 解得AD=3√3， 则SAC=BC·AD= 1 ×8×33= 2 123. 素养稳提升 5.C【解析】如图，过点D作DG⊥AC 于点G,过，点B作BH⊥AC于点H. .·∠A0D=60°， .∠B0C=60°， DG=D0·sin LAOD-3D0 同里可得，B服=B0·sinLBOC=5 B0, S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=)AC·DC+ 24C·Bm 25第三十二章锐角三角函数 第2课时 锐角三角函数的综合 029 念学习目标 理解锐角三角函数与平面直角坐标系、四边形等的联系，能运用其求边长、角 度，解决几何综合问题 夯实五分钟 难度：☆ 1.锐角三角函数sin31°，cos16°，cos43°之间的 △ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处， 大小关系是 ( EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD的值为 第 A.sin31°<cos16°<cos43° ( B.cos43°<sin31°<cos16° C.sin31°<cos43°<cos16° 十二 D.c0s16°<sin31°<c0s43° 2.规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标 1 为(a,b),那么线段OP在平面直角坐标系中 A 3 Q② 0、3 3 4 5 的方向表示为0P=(a,b).若0A与02互相4.计算：tan1xtan2°xtan3xtan4xtan5x…× 垂直，且0A=(x1,y),0品=(2，y2),则x2+ tan87o×tan88o×tan89°= yy2=0.现有0M与0示互相垂直，且0M= 5.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AC=5,CB= 7,AB=8,则⊙0的半径是 (cos,sina-1),ON=(sin,sina+1),则锐 角a的度数是 ( A.30° B.45° C.60° D.75 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,将 素养稳提升 难度：☆☆ 6.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6.折叠7.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且∠A,∠B 该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕 分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B 满足1simA-31+3 2 1+(2-tanB)2=0,试判断 重合时，EF的长为 ;当点M的位置 △ABC的形状，并说明理由 变化时，DF的长的最大值为 FD 27 课课练同步训练数学九年级下册 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinB+cosB=10.阅读下列材料，并完成相应的任务 子了求咖sB的位 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形 中的边角关系： BC AC 如图1，sin=co于 AC 一般地，当a,B为任意角时，sin(a+B) 与sin(a-B)的值可以用下面的公式求得： sin(a+B)=sin acos B+cos asin B;sin(a-B)= sin acos B-cos asin B. 第三十二章 图1 例如，sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30°- 0os45°sin30°=V6-2 4 【任务】 Q如图，直线y三)x+与x轴交于点4，与直线 (1)计算：sin75°=； (2)如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C= y=2x交于点B. (1)求点B的坐标； 45°，AC=23-2,求AB和BC的长， (2)求sinBAO的值. B 图2 28 《第三十二章锐角三角函数 11.如图，C是线段AB的中点，以点A为圆心， (2)若∠A=135°，求tanLBDC的值 √2AC为半径作⊙A,D是⊙A上一点（不在直 线AB上)，连接AD,CD,BD (1)求证：△ACD∽△ADB; 中考一点通 难度：☆☆☆ 第 12.我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究 (3)若角α是钝角，其终边上有一点P(x, 需要，我们再从另一个角度来规定一个角的 √2 十二 三角函数的意义：设有一个角，我们以它的 5),且cosa=4,求ama的值 顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.在角α 的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐 标是y,点P和原点的距离为r=√x2+y2（r> 0),把角a的三角函数规定为sina=y cosa=,ana=X显然，这三个比值的大小 仅与角α的大小有关 y IP(x,y) 0 (1)若270°<a<360°，则角a的三角函数值 sina,cosa,tana中， >0; (2)若角a的终边在直线y=2x上，求sin a+- cosa的值； 029