32.2.1解直角三角形（第2课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 《解直角三角形（第2课时）》同步练以三层递进设计为特色，通过基础直接应用、中档构造转化、综合创新探究，实现从单一知识点到中考综合能力的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|已知一边一锐角解直角三角形|直接应用三角函数，如直角三角形边长计算（题1-6），夯实概念理解| |中档|构造直角三角形|结合菱形、旋转等图形添加辅助线，如折叠后边长求解（题7-13），提升转化能力| |提升|几何变换与综合探究|中考真题与创新题型，如旋转位似综合题、面积公式探究（问题探究），发展应用意识|

分层作业 32.2.1解直角三角形（第2课时） 目 录 1 解直角三角形（已知一边一锐角） 1 构造直角三角形并求解（已知一边一锐角） 2 4 5 7 解直角三角形（已知一边一锐角）题型01 1．（2026·河北·中考）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．（2024-2025·九年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中， ，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 3．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 4．如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5．在中，． (1)已知，，求，，． (2)已知，，求，，． 6．如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 构造直角三角形并求解（已知一边一锐角）题型02 7．（2022-2023·九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 9．如图，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，菱形的边，若，，则点F的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A． B． C． D． 第10题图 第11题图 11．（2026·四川甘孜州·中考）如图，将边长为3的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，交于点，则四边形的面积为______． 12．如图，在中，，，，求边的长． 13．（2026·江西·中考）如图，在 中， ，，点P在 的延长线上，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江绥化·中考）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 3．（2026·黑龙江绥化·中考）如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 4．【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是 . 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 1．（2026·陕西·中考）如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 第1题图 第2题图 2．（2025·山东淄博·中考）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 3．（2025·江苏淮安·中考）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 1．（2026·陕西·中考）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·中考）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·中考）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 4．（2025·四川乐山·中考）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 32.2.1解直角三角形（第2课时） 目录 A组 巩固过关 ..1 解直角三角形（已知一边一锐角） …1 构造直角三角形并求解（已知一边一锐角） B组能力进阶 9 C组 思维拔高 …12 拓展 链接中考 .…16 A组 巩固过关 颗型01 解直角三角形（已知一边一锐角） 1.(2026河北中考)某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB‖CD,BD1DE于点D, AC⊥DE于点E,若∠BAC=60°，AB=4m,则CE= m 【答案】2 【详解】解：.BD⊥DE,AC⊥DE, ∴.BD‖AC, 又.ABCD, ∴.四边形ABDC是平行四边形， .'CD=AB=4m, 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB‖CD, ∴.∠DCE=∠BAC=60°， 在Rt△CDE中，∠CED=90°，∠DCE=60°， .CE=CDcos60°=4×1=2m 2 2.(2024-2025九年级上江苏苏州·期中)如图，在直角三角形ACD中，∠C=90°，∠A=30°， ∠DBC=60°，AB=50,求CD的长.() D L30 人60° B C A.253米 B.25米 c.25V2米 D.50米 【答案】A 【详解】解：，∠A=30°，∠DBC=60°， ∴.∠ADB=∠DBC-∠A=30°， .∠ADB=∠A, ∴.AB=BD=50. :.CD=BD·sin2BC=50× 3-253. 故选：A. 3.如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是() A.12 B.8V3 C.16 D.123 【答案】B 【详解】解：如图， ,是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴.∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2, ∴.∠ACB=60° .AB=BC×sin∠ACB=2x 3-R5,AC=BC×c0s∠ACB-2X 2/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理BF=3,DE=1, ∴.AF=23,AE=4, ∴矩形的面积是AE×AF=4×2V3=8V3. 故选：B 4.如图，在Rt心ABC中，∠B=30°，AD为BC边上的高，CD=2,将△ADC沿直线AD折叠得到 △ADC,则BC=() B A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=30°，∠BAC=90°， ,∠C=60°， AD为BC边上的高， .∠ADC=∠ADB=90° 在RtA ADC中，AC=CD=2 C0sCc0s60°=4， 在RtA ABC中，BC=AC=4 sin B sin30° =8 由折叠的性质可得CD=CD=2,∠ADC=∠ADC=90°， B、C、D三点共线， .∴BC=BC-CD-CD=4, 故选：C 5.在△ABC中，∠C=90° (1)已知c=2/3,∠A=30°，求∠B,a,b. (2)已知a=56,∠A=45°，求∠B,b,c. 【详解】(1)解：.∠C=90°，∠A=30°， =1c=头23=3， ：.∠B=90°-∠A=60°，a=2c=2 sin B=b :b=cmB23×33, 2 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，∠C=90°，∠A=45°， ∴.∠B=90°-∠A=45°， .∠B=∠A, .b=a=5V6, ∴.c=Va2+b2=5V6}+56=10V3. 6.如图，在△ABC中，∠B=45,c0s∠C-号.AC=5a, (1)请用尺规作图作BC边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹. (2)请用含a的式子表示△ABC的面积. 5a 【详解】(1) 5a 45°、 D 米 高AD即为所求； (2)解：在RtA ACD中，cos∠C=3, 5,AC-5a, :CD=AC×cosC=-5ax3 =3a, ∴.AD=VAC2-CD2=4a, 在Rt△ABD中，∠B=45°， ∴.△ABD为等腰直角三角形， .'.BD=AD=4a. ∴.BC=BD+CD=7a, :△ABC的面AD×BC=号4ax7a=l4a。 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型02 构造直角三角形并求解（已知一边一锐角） (2022-2023九年级上江苏南通·期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=2V3,tanB= 3 7. 则 AB的长为() A.2+2V3 B.3+/3 C.4 D.5 【答案】D 【详解】如下图，作CD⊥AB于D, 在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2V3, .CD-AC-V3,AD-V3CD-3. 在RtA BCDr中，tanB=CD-3 BD 2 33 D BD2’ ∴BD=2, ∴.AB=AD+BD=3+2=5, 故选：D 8.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=6V6,AD平分∠BAC交BC于点D,则线段 AD的长为() A.6V6 B.12 c.6V3 D.6 【答案】B 【详解】解：如图，过点C,D作AB的垂线，垂足分别为F,E, 在RtACFB中，BF=BCxsin B=2 2x66=-63, 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=CF 6V3 =12 在Rt△ACF中， sin∠CAB-3 2 .△ABC中，∠CAB=60°，∠B=45°， .∠ACD=75°， .AD是∠BAC的角平分线， .∠DAB=30° “.∠ADC=∠DAB+∠B=75°， ∴.∠ADC=∠ACD, ∴AC=AD=12 故选B. 9.如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，菱形AOEF的边OE⊥AB,若AD=1, ∠D=60°，则点F的纵坐标为() D B O C A.3 3V3 5V3 2V3 B.4 C.4 D. 3 【答案】B 【详解】解：，菱形ABCD,AD=1,∠D=60°， ∴.∠ABC=∠D=60°，AB=AD=BC=1, .AO=AB.sin60°= 3 2 ·菱形AOEF, ÷A0=E0=EF=3 ￥ G B .OE⊥AB, ∴.∠E0B=30°， 延长FE交x轴于点G,如图所示： ∴.EG=OE'sin330°= 3 4 6121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FG-EG+EF-33 故选：B 10.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，∠AOB=∠B=30°，OA=2,将△AOB绕点O逆时针 旋转90°，点B的对应点B的坐标是() B A A.3,-3 B.-93,3 c.3,-3 D.-1,2+3 【答案】B 【详解】解：如图，过点B作BH⊥y轴于H. .∠AOB=∠B=30°，OA=2. B ∴.AB=0A=2 旋转， ∴.AB=AB=2 在Rt△ABH中，AH=A B cos60=1,BH=A B sint60°=3， ∴.0H=2+1=3, B-3,3, 故选：B, 11.(2026四川甘孜州，中考)如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形 AEFG,EF交CD于点H,则四边形ADHE的面积为 【答案】33 【详解】解：连接AH, .四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴.AB=AD=3,∠BAD=∠D=90°， 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可知：AE=AB=3,∠BAE=30°，∠AEF=∠B=90°， ,点H在EF上， .∴.∠AEH=90°， ∴.AE=AD,∠AEH=∠D=90°， .∠BAD=90°，∠BAE=30°， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-30°=60°： 在Rt△AEH和Rt△ADH中， (AH=AH AE=AD' ∴.Rt△AEH△Rt ADH HL, ·∠EAH=∠DAH=3∠DAE=30, 在RtA ADH中，tan∠DAH=DH AD DH=AD-tam=3x 3 .四边形ADHE的面积=S△AEH+SAADH=2S△ADH =2×·AD-DH 2 =3x3 =33 12.如图，在△ABC中，AB=V2,∠B=45°，∠C=30°，求边BC的长. 【答案】1+V3 【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D, 在Rt△ABD中，AB=V2,∠B=45°， .AD-BD-ZAB-1, 在Rt△ADC中，∠C=30°， ..CD=AD =3AD=3, tan30° 8121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BC=BD+CD=1+3 13.(2026江西.中考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°，点P在BC的延长线上，将 AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ,连接CQ,PQ· (I)求证：BP=CQ: (2)若∠CAP=15°，PQ=2V2,求BP的长. 【详解】(1)证明：，AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ, ∴.∠PAQ=30°，AP=AQ, .∠BAC=30°， .∠BAP=∠CAQ. .AB=AC, ∴.△ABP≌△ACQ SAS, ∴BP=CQ. (2)解：过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于点H .'AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=30° ∴.∠B=∠ACB=75°，∠APQ=∠AQP=75. .△ABP≌△ACQ, ∴.∠ACQ=∠B=75° .∠CAP=15°， .∠APB=60°， ∴.∠QCH=30°，∠QPH=45° .PQ=22, ∴.QH=2V2sin45°=2. ∴.BP=CQ=2QH=4」 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能 组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=V2,∠AOB=o,则OC的值为() ICME.7 图1 图2 1 2 2 A. -+1 B. -+2 C. -+2 D.sin2q+2 sina sina COS 【答案】B 【详解】解：在RtAOAB中，sina=AB OB' ..OB= AB 2 sina sina 在RtAOBC中，OB2+BC2=OC2, :.0C2=0B2+BC2= 2 sinc +2=2 +2 sin a 2.(2026黑龙江绥化中考)如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A=90°， OB=2V2,将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OAB,点A,B的对应点分别是点A,B,以 原点为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍后，得到△OAB,顶点B在第一象限对应点B的坐标 是() O A.6,6 B.6,2 c.6,6V2 D.62,6 【答案】A 【详解】解：如图， :△OAB是等腰直角三角形，∠A=90°，OB=22, ∴.OA=AB,∠AOB=∠AB0=45°， 10/21 B An主 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0A与x轴的夹角为90°-45°=45°， ,△OAB绕点0顺时针旋转45°后，得到△0AB, ∴点A在x轴上，AB⊥x轴，∠BOA=∠BOA=45°，OB=OB=22, ∴.0A=0B∠a0sB0A=2V2aos45=2, AB=0B·sinB0A=2V2sin45°=2， B2,2, ,以原点为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍后，得到△OAB, ∴顶点B在第一象限对应点B的坐标是2×3,2×3，即6,6： 3.(2026黑龙江绥化中考)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,点P, D分别在边AB,BC上运动，连接PC,PD.则PC+PD的最小值是 【答案】3 【详解】解：延长CA至点M,使∠ABM=∠CBA,连接MB, 过点C作CN⊥MB,交AB于点P,过点P作PD⊥BC于点D, .'∠ABM=∠CBA,所以PD=PN, 这时PC+PD有最小值，即CN的长度， .∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2, ..BC=AC 2 tan∠ABC tan30° 。=23 M :'∠ABM=∠ABC=30° ∴.∠CBM=∠ABC+∠ABM=60°， .MB=BC 2V3 cOs∠MBC cos(60° =4V3,MC=BC·tanMBC=2V3tan60°=6， :5w号×BGxCM--×BM×CN, 即223x6=43xCN, ∴.CN=3, ∴.PC+PD的最小值是3. 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积. 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究. 探究一：在Rt△ABC(图1)中，∠ABC=90°，AC=b,BC=a,∠C=o,求△ABC的面积（用含 a、b、Q的代数式表示) 在Rt△ABC中，∠ABC=90° ..sing=AB ' .∴AB=b sin c 探究二： 锐角△ABC(图2)中，AC=b,BC=a,∠C=a0°<a<90 求：△ABC的面积.（用含b、a的代数式表示） 探究三： 钝角△ABC(图3)中，AC=b,BC=a,∠C=o0°<o<90 求：△ABC的面积.（用含b、C的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是 【问题应用】 己知平行四边形ABCD(图4)中，AB=b,BC=a,∠B=a0°<a<90° 求：平行四边形ABCD的面积.（用含a、b、的代数式表示） 4 D 图1 图2 图3 图4 【详解】解：探究二：如图2，过点A作AH⊥CB于点H, 在Rt△AHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=o0°<a<90, .'.sina=AH=AH AC b ∴AH=bsina, 12/21 图2 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=a,AH⊥CB, :△ABC的面积为号BCAH=方bsinc. 探究三：如图3，过点A作AH⊥CB于点H, 在Rt△AHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=a0°<a<90, ∴.sina=AH=AH AC b, B ∴.AH=bsina, 图3 .BC=a,AH⊥CB, :△ABC的商积为号BCAH号abhd. 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是 S=号bsinC(∠C是a,b两边的夹角)， 2 故答案为：S=号absinC(∠C是a,b两边的夹角). 问题应用：如图4，过点A作AH⊥CB于点H, 在Rt△AHB中，∠AHB=90°，AB=b,∠B=c0°<a<90°， ∴sina=AH-AH AB b' 图4 .'AH=bsina, .BC=a. ∴，平行四边形ABCD的面积为BC·AH=ab sinc. C组 思维拔高 1.(2026陕西中考)如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=4,BC=6.点E为BC的中点，连接AE, 将AE绕点A逆时针旋转60°至AF,连接DF,则△ADF的面积为 D V3 【答案12 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图所示，连接EF,延长EC到点G,使EG=AB,连接FG,过点F作BC的垂线，交BC于 点M,交AD于点H,过点A作AN⊥BC交BC于点N; ,AE绕点A逆时针旋转60°至AF, .AE=AF,∠EAF=60°， ∴，△EAF为等边三角形， H ∴.AE=EF,∠AEF=60°， 又，∠B=60°， MC ∴.∠BAE+∠AEB=120°，∠FEG+∠AEB=120°， .∠BAE=∠GEF AB=EG 在△BAE和△GEF中，∠BAE=∠GEF AE=EF ,△BAE≌△GEF SAS, ∴.FG=BE,∠FGE=∠B=60°； .AB=4,BC=6.点E为BC的中点， ..EG=AB-4,FG=BE=-BC=3, ∴.在Rt△FGM中，FG=3,∠FGE=60°， ..sin60=FM_FM FG3,解得FM=33 在Rt△ABN中，AB=4,∠B=60°， ..sin60=AN_AN AB4，解得AN=23, ,四边形ABCD是平行四边形，AN⊥BC,MH⊥BC, ∴MH=AN=23,AD=BC=6, 则FH=MH-FM=25-33_3 2 2 :5A-号AD-H=号5×5_33 22 2.(2025山东淄博.中考)已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,P是边CD的中点，E是边AD上的动点， 线段EF分别与BC,AP相交于点F,Q.若∠FQP=45°，则EF的长为 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】2V5 【详解】解：过点A作AG|EF交BC于点G,过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K,过点G作 GH⊥AK于点H, 则∠KAP=∠KHG=90°，∠GAP=∠PQF=45°， ,ABCD是矩形， ∴AD‖BC,∠ABG=∠BAD=∠ADP=90°，CD=AB=4,AD=BC=6, ∴.AGFE为平行四边形， ..EF=AG, ,点P是CD的中点， D .DP=2, :∠KAP=∠BAD=90°， ∴.∠KAB=∠PAD, ∴.∠AKB=∠APD, n∠AKB=m∠APn.成-张a. :BK学K专GH, AK=AB+BK=专而， 又，∠KAP=90°，∠GAP=45°， .∠HAG=45°， ∴.AH=HG, :AK=AH+K-考HG号o, .AH=HG=10, ∴.EF=AG=VAH+HG2=25, 故答案为：2V5. 3.（2025江苏淮安中考)探究与应用 【问题初探】(I)在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P(不与端点重合)，连接AP,线段 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中，：∠ADB=90°，.AB=AD+BD2.① 在Rt△APD中，，∠ADP=90°，.AP=.② 由①-②得：AB2-AP=BD2-PD=BD+PD·BD-PD .AB=AC,AD⊥BC, B D ..BD=_. 图(1) ..BD-PD=CD-PD=CP 根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是_· 【简单应用】(2)如图(2)，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上， AD=AC=2,以CD为边构造正方形CDEF,利用(1)中的结论求正方形CDEF的面积. 0 D D D B B (图2) (图3) (图4) 【灵活应用】(3)如图(3)，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D,连接 CD 1 OB、OD,若OB=9,0D=5,BC=2求BD的长. 【深度思考】(4)如图(4)，在△ABC中，∠C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足 AD=DE=BE,AE、BD交于点P,若tan∠CAE=5,则pA-PE的值为， 【详解】解：(1)如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中， .∠ADB=90°， ∴.AB2=AD+BD.① 在Rt△APD中， ∠ADP=90°， AP2=AD+DP.② 由①-②得：AB2-AP=BD-PD=BD+PDBD-PD1. AB=AC,AD⊥BC, B D 16/21 图(1) 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BD=CD. ∴BD-PD=CD-PD=CP .BD+PD=BP AB2-AP=BP·CP, 故答案为：AD2+DP2,CD,AB2-AP=BP·CP: (2),等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2, ∴AB=2AC=2V2, AD=2, ∴BD=AB-AD=2V2-2; 由(1)中结论可知：AC2-CD2=AD·BD,即：22-CD=2×2V2-2, “CD2=22-2×2/2-2=8-42, .正方形CDEF的面积=CD2=8-4V2: (3)延长BD交⊙O于点E,连接CE,OE,则：OE=OB=9, 由(1)中结论可知：OB2-OD=BD·DE,即：9-52=BD·DE, BD·DE=56: BD平分∠ABC, ∴，∠ABD=∠CBD ,∠ABE=∠ACE ∴.∠CBD=∠DCE, ○ D 又，∠CED=∠CEB, B ∴.△BEC一△CED, (图3) CE DE CD 1 “BE CE BC2 .DE->CE,BE=2CE. .'.BE=4DE, .BD=3DE, .BD.DE=56, BD·BD=56 3 解得BD=3×56=2V42: (4).AD=DE=BE, 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠DEA,∠DBE=∠EDB, 设∠DAE=∠DEA=a,∠DBE=∠EDB=B, 则：∠CDE=∠DAE+∠DEA=2a,∠CED=∠DBE+∠EDB=2B, .∠C=120°， ∴.2a+2B=180°-∠C=60°， ∴.∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=C+B=30°， 作DH⊥AE,EG⊥BD,垂足分别为H,G,则：AH=EH,DG=BG, a<ca-R-号 D ∴设DH=X,则EH=AH=5x, 在Rt△DHP中，∠DPH=30°， (图4) ..DP=2DH=2x,PH=3DH=3x, ..EP=EH-PH=5x-3x,AP=AH+PH=5x+3x, 回理：EG号P5x-3x.PG=3EG=35x-3x BG-DG-DP+PG-2x+35x-3x-53x+ 2 -X+。X, .DP-BG+PG PB-PD_5V3x-x-2x 53-35-3 “PA-PE5x+3x-5x+3x2/3 2 3 故答案为：2 拓展 链接中考 1.(2026陕西.中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC 于点D,交AC于点E,则DE的长为() D A.2 B.3 c.2V3 D.43 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°， ∴.∠C=90°-∠B=30°， .BC=2AB=12: BC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E, :∠EDC=90,CD=号BC=6. 2 ..DE=CD 'tan C=6-tan30=2 3 2.(2026广西中考)在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案.如图1，在 菱形ABCD中剪去一个菱形EMFD得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、 拼接得到图4.若AB=2,点E,F分别为AD,CD的中点，则图1中阴影部分的面积是() B 图1 图2 图3 图4 A.23 3V3 B. c.3 D. 【答案】B 【详解】解：由图3可得3∠B=360°， .∴.∠B=120°. ,'在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD,AD‖BC,AB‖CD, ∴.∠A=180°-120°=60°， 作DG⊥AB于G,交EM于H, .四边形EMFD是菱形， D ∴.EM‖CD ∴.EM‖AB‖CD, ∴.DH⊥EM,∠DEM=∠A=60°， 图1 .Rt△ADG中，DG=AD'sin A=2× 33 ,点E,F分别为AD,CD的中点， .∴.DE=MF=EM=DF=1, 19/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 同法可求得DH= 2 六S阴影=S数形ABCD-S菱形DEMF=2×3-1x3=385 22 3.(2025·甘肃兰州中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若 AB=43,则AF= D B 【答案】4 【分析】根据菱形的性质，得BC=AB,又结合AE⊥BC,BE=CE,得出△ABC是等边三角形，就可 以得知△ABE和△FBE都是含30°的直角三角形，解出三角形，即可求出AF的长. 【详解】解：连接AC,CF, AE⊥BC,BE=CE, .AE垂直平分BC, ∴.AB=AC, .菱形ABCD ∴.BC=AB=4/3, ∴.△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°， ∴.∠BAE=∠FBC=30° :BE=AB=×43=23, AE=3BE=5×25-6,EFB5=252. -33 .∴.AF=AE-EF=6-2=4. 故答案为：4. 4.(2025四川乐山中考)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，AC=2. (1)求AB的长： (2)求点C到线段AB的距离. 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B45° 60以C 【详解】(I)解：过点A作BC的垂线，垂足为D,则∠ADC=∠ADB=90°， ,在Rt△ADC中，∠ACB=60°，AC=2, ∴.CD=AC×cos∠ACD=L,AD=AC×sin∠ACD=3 .∠B=45°， ∴.∠DAB=90°-∠B=45°=∠B, B450 60C ..DB=DA=3. ..AB=DB2+DA2=6 (2)解：过点C作CE⊥AB于点E, .DC=1,DB=3. A ∴.BC=DB+DC=1+3, E 、 BCx AD-ABxEC. B45 60C :CE=BC×AD-1+3×3_2+6 D AB V6 ·点C到线段AB的距离为2 2+6 21/21