32.1 第2课时 余弦和正切-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第2课时 色知识要点扫描 1.锐角A的余弦、正切 (1)锐角A的余弦：如下图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把∠A的邻边 与斜边的比叫作∠A的余孩，记 ∠A的邻边 作cosA,即c0sA= 斜边 =b (2)锐角A的正切：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把∠A的对边与邻边的比 叫作∠A的正切，记作tanA,即tanA= ∠A的对边a ∠A的邻边b 2.锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐 角三角函数 已经典例题剖析 【例】如右图，在边长相同 的小正方形网格中，点A,B, C,D都在这些小正方形的顶点 上，AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值 为 A号 B.5 C.2 D.22 【点拨】如右图，找到格点 E,连接AE,BE,易得BE∥ CD,∠AEB=90°， ∴.∠APD=∠ABE 在Rt△ABE中，易得AE=2BE, tan∠APD=tan∠ABE=A E2. 【答案】C 余弦和正切 基础对点训练 ======-=-=一=一========0 知识点①余弦 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AC=3, AB=5,则cosA的值为 (D) 3 4 A.4 B.3 c 3 D. B 第1题图 第2题图 2.如图所示的是源于我国汉代数学家赵爽的 弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个 小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形 的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角 形中较小的锐角为a,则cosa的值为 (D) 3 A.4 c D.5 4 3.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长，且a:b:c=1:√2：√3，则 cosB的值为 (B) A n号 4.一题多解法如右图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，M是 直角边AC上一点，MN⊥AB 于点N,AN=3,AM=4.求 cosB的值. 解：∠C=90°，MN⊥AB, .∠C=∠ANM=90°. 又∠A=∠A,.∠AMN=∠B AN=3,AM=4,∴.MN=/AM-AN=√7， cosB=cs∠AMN=M-=7 AM= 下册第三十二章 31企 知识点②正切 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, 则tanA的值是 (D) A专 B号 c 0. 6.如图，在△ABC中，∠ACB =90°，CD⊥AB于点D.若 AD=8,CD=4√2，则tanB A D B 第6题图 的值为 (D) A号 B号 C.3 ·3 D.√2 7.如图，AB是⊙O的直径.若AB=15,AC= 9,连接BC,点D在⊙O上（不与点A,B重 3 合)，则tanD= C D 第7题图 变式题图 变式题如图，在半径为3的⊙O中，直径 AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD, 若AC=2,则tanD= 22 8.如图，在平面直角坐标系中， 菱形ABCD的顶点A,B,C 在坐标轴上.若点A的坐标 B O C 为(0,3)，tan∠ABO=√3， 第8题图 则菱形ABCD的周长为83 9.(2026九江修水一模)如图，将图①所示的七 巧板，拼成图②所示的四边形ABCD,连接 EF,则tan∠AEF= 图① 图② 第9题图 32 九年级数学RJ版 10.右图所示的是由若干个小 正方形组成的网格，点A, B,C均在小正方形的顶点 上，连接AB,BC. (1)tan∠ABC的值等于 5 (2)在网格中，用无刻度直尺画出∠CBD,使 点D在小正方形顶点上且an∠CBD=2 -3 知识点③锐角三角函数 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC,下 列结论：①sinA= 3:②cosA= 5； ③1anA=?,其中正确的个数为 (B) A.0 B.1 C.2 D.3 12.如右图，已知AB是⊙O的直 径，点C,D在⊙O上，且AB =5,BC=3. (1)求cos∠ABC的值. (2)如果OE⊥AC,垂足为E,求OE的长. (3)求tan∠ADC的值. 解：(1)，AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°， 六cs∠ABC=BC=3 AB5 (2),OE⊥AC,∴.E是AC的中点.0是AB的中 点0E=0=子 3 (3)AC=√AB-BC=√5-3F=4. AC4 ,∴.tan∠ADC=tan∠ABC -BC=3 易错点因考虑不全面而漏解 13.正方形ABCD的边长为2，P是直线CD 上一点.若DP=l,则tan∠BPC的值是 2或35.D6.D 变式题2√2【解析】如图，连接 BC. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. 由题意，得AB=6,AC=2, ∴BC=√AB-AC=V62-2=4√2. 又5∠D=∠A.anD=tanA-C=42=22, 8.8√3【解析】，A(0,3),∴.OA=3. m∠AB0-0-5∴0B=尽. 由勾股定理，得AB=√OA+OB=2√5，.菱形 ABCD的周长=4AB=8√3. 9.号【解析】如图D,设等腰直角三角形MVQ的直角 边为a,则小正方形的边长为a, ∴.MP=2a. 212 图① 图② 如图②，∠BAC=∠CAF=45°，AB=CD=4a,BE= a,AF=2a, .∠EAF=90°，AE=AB-BE=3a, m∠AF-A证-二台 10解：1片 (2)如图所示，∠CBD即为所求. D A 11.B【解析】，∠C=90°，AC=2BC,∴.由勾股定理，得 AB=√AC+BC=√5BC. sin A= BC_5 AB=5,故①错误： AC 25 cos A= AB 5 ,故②错误； BC 1 tanA=AC-2,故③正确. 综上，正确的个数为1 412 九年级数学RJ版 12.解：(1)AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， :.cos∠ABC=AB=5 BC 3 (2)OE⊥AC,∴.E是AC的中点. 0是AB的中点0E=BC=-号 (3)AC=√AB2-BC=√52-32=4， .tan∠ADC=tan∠ABC=BC=3 AC 4 13.2或号 【解析】①当点P在线段DC上时，如图①. 'CD=2,DP=1,.PC=1. 又，BC=2,∠C=90°， m∠BPC-%-2 ②当点P在CD的延长线上时，如图②. DP=1,DC=2,∴.PC=3. BC 2 又：BC=2,∠C=9o°，tan∠BPC=Pc=3 2 综上所述，tan∠BPC的值为2或 图① 图② 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.A3.B 4.2 5解：1)原式=2x号-后×+1-（图） =1-1+2 1 1 2 2)原式-9×2 号×号++×停》+痘+ 2 ,1,23 2+3×3+ 3 =1+1+25=2+2 3 3 6.解：能.理由如下： ×120 如图，过点A作AD⊥BC于点D. B △ABC是等腰三角形，∠BAC D =120°， ÷∠B=∠0=2×180-120)=30 'AB=12 cm,