第31章 强化训练-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

第三十一章相似⑨ 强化训练七 第 三 1.如图，AB是⊙O的直径，弦AC,BD相交于点5.如图，AC是□ABCD的对角线，在AD边上取 十 E,连接CD.若乙ABD=60,则A0的值为 一点F,连接BF交AC于点E,延长BF交CD SAABE 的延长线于点G 章 (1)若LABF=∠ACF,求证：CE2=FE·EG; D (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长 B.g 3 2.如图，P为口ABCD的边AD上的一点，E,F分 别为PB,PC的中点，记△PEF,△PDC,△PAB 的面积分别为S,S1,S2.若S=3,则S1+S2的值 为 D 3.如图，PA与⊙0相切于点A,P0交⊙0于点 B,点C在PA上，且CB=CA.若OA=5,PA= 12,则CA的长为 4.如图，在△ABC中，已知AD,BE相交于点G, BD:DC=3:1,AG GD=1:2.BG:GE 的值 17 课课练同步训练数学九年级下册J 6.如图，在⊙0中，直径AB⊥弦CD于点E,连接7.如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，点P 第三 AC,AD,BC,过点C作CF⊥AD于点F,交线段 是直径AB上的一点（不与点A,B重合），过点 OB于点G(不与点0，B重合)，连接0OF P作AB的垂线交BC的延长线于点Q, (1)若BE=1,求GE的长； (1)在线段PQ上取一点D,连接CD,使DQ= (2)求证：BC2=BG·B0; CD,试判断CD与⊙O的位置关系，并说明 章 (3)若F0=FG,求证：∠CAD=45° 理由； (2)若BP=6,AP=1,QP=8,求QC的长 G 0 18 第三十一章相似回 强化训练台 第 三 1.如图，AB=3,AC=2,BC=4,AE=3,AD=4.5,5.如图，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD, DE=6,∠BAD=20°，则∠CAE的度数为 ∠BAC的平分线交CD于点F,交BC于点E.已 知∠ACD=∠B,AD=9,BD=7,则AC= 章 A.10° B.20° 若EF=2,则AE= C.40° D.无法确定 B 6.已知点C在AB的延长线上，且∠DAB= L DBE. (第1题) (第2题) 【证明体验】 2.如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB= (1)如图1，若∠C=∠A,求证：△DAB 90°，斜边AC,BD相交于点E,过点E作EF⊥ △BCE; BC,垂足为F.若AB=2,CD=3,则EF的长度 【思考探究】 为 ( (2)如图2，若CE∥AD,∠C=45°，AD=√2AB, 4 n.g 求瓷的值： 3.如图，已知AB⊥BC,DC⊥BC,AC与BD相交 于点O,过点O作OM⊥BC于点M,E是BD 【拓展延伸】 AB 的中点，EG⊥BC于点G,且交AC于点F.若 (3)如图3，连接AE,若△DAB∽△DBE, AD AB=4,CD=6,则OM-EF= ( √2，且AE=nBD,求n的值： E 0 B 3 图2 C. 5 4.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，且BC= 5,AD=3.矩形EFGH的顶点F,G均在边BC 图3 上，顶点E,H分别在边AB和AC上.若EH= 2EF,那么EH= 19课课练同步训练数学九年级下册 .·∠BCM=∠B'CN,∠BMC=∠B'NC=O°， 则△CBM∽△CB'N, MC BM BC NC B'N B'C 由题意，得△ABC∽△A'B'C,相似比 为1：2，点B的横坐标是-a, MC=M0-1=a-1,B'C2' BC 1 .NC=2MC=2(a-1), .N0=NC-1=2(a-1)-1=2a-3, .点B的对应点B'的横坐标是2a-3. 强化训练 1.A 2.12 10 3.3 【解析】如图，连接OC. PA与⊙O相切于点A, .∴.∠0AC=90°. (OA=OB, 在△OAC和△OBC中，CA=CB, 0C=0C, ∴.△OAC≌△OBC(SSS), ∴.∠OAC=∠OBC=90°， .∴.∠PAO=∠PBC=90. .∠P=∠P, .△PAO∽△PBC, PO OA PCCB 12 RJ .0A=5,PA=12, ∴.P0=√J52+122=13. 设CB=CA=x,则PC=PA-CA=12-x, 135 八12-xx 10 解得x=3 4.解：如图，过点G作GM∥BC,交AC于 点M. B D GM//BC, ∴.△AGM∽△ADC,△EGM△EBC, AC-GM EG_GM AD DC'EB BC .AG:GD=1:2, AG GM 1 ADDC3' .BD:DC=3:1, DC 1 小BC4' GM 1 六BC12 GE 1 EB12' GE 1 BG11' 即BG:GE的值为11. 5.（1)证明：.·四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AB∥CG, ∴.∠ABF=∠G .·∠ABF=∠ACF, ∴.∠ACF=∠G, 又∠CEF=∠GEC, .△ECF∽△EGC, CE FE GECE' 即CE2=FE·EG (2)解：在口ABCD中，AB=CD AB∥CD 又DG=DC, .∴.AB=CD=DG, .AB:CG=1:2. .·ABCG, ∴.△ABE∽△CGE, AB BE 1 CG CE2' 即6、1 GE2’ ∴.EG=12, .BG=EG+BE=18 BF AB 同理，可得 GF DG =1, :.BF=1BG=9, .EF=BF-BE=9-6=3. 6.(1)解：直径AB⊥弦CD, .∠AED=∠BEC=∠GEC=90°， ∴.∠DAE+∠D=90°. .CF⊥AD, .∴.∠FCD+∠D=90°， .∠DAE=∠FCD. 参考答案及解析 .∠DAE=∠BCD, ∴.∠BCD=∠FCD 在△BCE和△GCE中， 「LBCE=∠GCE, CE=CE, ∠BEC=∠GEC, ∴.△BCE≌△GCE(ASA), ∴.GE=BE=1. (2)证明：AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠CEB. ·.∠ABC=∠CBE, .∴.△ACB∽△CEB, BC BA ·BEBC' .BC2=BE·BA. 由(1)知，GE=BE, ÷BE=2BG, .AB=2B0, ∴.BC2=BE·BA=BG·2B0=BG· B0. (3)证明：如图，延长FO交AC于点 H,连接OC. .·F0=FG, ∴.∠FOG=∠FG0, 13 课课练同步训练数学九年级下册 ∴.∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B, .∴.BC∥FH .:AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∴.∠ACB=∠AH0=90° .0A=OC, ∴.AH=CH,∴.AF=CF .CF⊥AD, .△AFC是等腰直角三角形， ..∠CAD=45°. 7.解：(1)CD是⊙0的切线.理由如下： 如图1，连接OC 图1 .:0C=0B, ∴.∠B=∠BCO. 又DQ=CD, .∠Q=∠DCQ PQ⊥AB, ∴.∠QPB=90°， ∴.∠B+∠Q=90°， .∴.∠BC0+∠DCQ=90°， ∴.∠DC0=180°-（∠BC0+∠DCQ)= 180°-90°=90°， .∴.OC⊥DC. .0C是⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线 14 RJ (2)如图2，连接AC. 图2 AB为⊙0的直径，PQ⊥AB, ∴.∠QPB=∠ACB=90°， .QB=√BP2+Qp2=62+82=10. BP=6,AP=1, ∴.AB=AP+BP=1+6=7. .∠QPB=∠ACB,∠B=∠B, ∴.△ABC∽△QBP, BC-AB,即BC-7 BPQB' 610 解得BC=21 , 2129 ∴.QC=QB-BC=10- 5=51 强化训练二 1.B2.D3.A 30 4. 11 【解析】如图，设AD与EH交于 点M. B .四边形EFGH是矩形， ∴.EH∥BC,∴.△AEH∽△ABC ·.AM和AD分别是△AEH和△ABC 的商…肥 又DM=EF, .AM=AD-DM=AD-EF=3-EF. EH=2EF, .3-EF 2EF 35,解得EFJ 11? 1530 .∴.EH=2x 11111 5.128【解析】：∠CAD=∠CAB, ∠ACD=∠B,∴.△ACD∽△ABC, AC AD ·ABAC .AC2=AD·AB=9x(9+7), .∴.AC=12 .·AE是∠BAC的平分线， .∠BAE=∠CAF. 又.·∠ABE=∠ACF, ..△ABE∽△ACF, 、AB_AE即16_AF+2 AC AF'12 AF' ∴.AF=6, .AE=AF+EF=6+2=8. 6.(1)证明：.·∠DBE+∠CBE=∠DBC= ∠DAB+∠ADB,∠DAB=∠DBE, ∴.∠ADB=∠CBE. 又∠A=∠C, ∴.△DAB∽△BCE. (2)解：如图1，过点E作EF⊥EC交 AC于点F,则∠FEC=90°. 参考答案及解析 A B F C 图1 ,·∠C=45°，∴.∠BFE=∠FEC+∠C= 90°+45°=135°，∠CFE=45°， ∴.CE=EF,CF=√WCE2+EF2=√2EF. CE//AD. .∠A=180°-∠C=180°-45°=135°， .∴.∠A=∠BFE. 由(1)易得△DAB∽△BFE, AB AD ·FEFB AD=√2AB, FB AD ·FEAB =√2 设CE=EF=a(a>0),则 FB=√2a,CF=√2a, ∴.BC=FB+CF=2N2a, CE_a√2 BC 2a 4 (3)解：如图2，作∠BEF=∠ABD交 AB的延长线于点F B 图2 易得△DAB∽△BFE,FBEBFE AD BD AB 由△DAB一△DBE,易得RD-AD2 BE AB 2' AD AB BD 2 FB FE BE 2 15 课课练同步训练数学九年级下册 设AD=m(m>0),则AB=√2m,FB= √2m,FE=2m, ..AF=AB+FB=22m,.. FE_AF=2. ·ADAB 又∠F=∠DAB,∴.△DAB∽△EFA, BD AD 1 AE-FE2' .AE=2BD,故n的值为2 第三十一章章节综合 一、选择题 1.B2.D3.B4.B5.C6.C 7.A8.B9.C 10.B【解析】如图，取AD的中点G,连 接FG. AG AD=4,.AG=2.又AB=1,AB AF AG AF 2.AF=2AE,心AE2,ABAE .·∠BAD=∠EAF,.∠BAD-∠EAD= ∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠GAF, ∴.△BAE∽△GAF,∴.∠AGF=∠ABE= 90°，.点F在线段AD的垂直平分 线上，.DF=AF,即当点F与点G重 合时，DF有最小值，最小值为2. 二、填空题 11.(2,1) 12.3 16 RJ 13.∠B=∠ACD(答案不唯一) 14.(5,3) 15.3:5 三、解答题 16.解：一定相似.理由如下： ,且两组对应边的夹角都 为90°，所以根据“两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似”可判断以 3k和4k(k是正整数)为直角边长的 直角三角形一定与Rt△ABC相似. 17.证明：.·△DCF∽△CEB, ∴.∠DFC=∠B. ·.:四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC .∴.∠A+∠B=180°. 又∠DFC+∠DFE=180°， ∴.∠DFE=∠A. 18.解：点P到达终点时间为10÷2= 5(s),点Q到达终点时间为8÷1= 8(s),则点A,C匀速运动的时间均 不大于5s. (1)设经过xs时，△PCQ的面积等 于AABC面积的) 则月2x·(8-)=2×10x8×5 解得x1=x2=4,满足题意. 答：经过4s时，△PCQ的面积等于 △ABC面积的：