专题08 位似（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题08 位似 常考题型·精准突破 题型1 利用位似图形的性质判断结论正误（重） 题型2 利用位似图形的性质求解（高频） 题型3 已知位似图形求位似中心的坐标（高频） 题型4 平面直角坐标系中画位似图形（高频） 题型5 几何图形中的位似综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用位似图形的性质判断结论正误 1．C 2．D 3．C ◆题型2 利用位似图形的性质求解 4． 5． 6． ◆题型3 已知位似图形求位似中心的坐标 7． 8． 9．或 ◆题型4 平面直角坐标系中画位似图形 10． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) (3)解：点如图所示， 【分析】（1）根据位似图形的性质，结合、、，得出，，，在坐标系中描点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质解答即可； （3）根据相似三角形的性质，取点，，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：∵、、，与的相似比为， ∴，，， ∴如图所示，略 （2）解：∵点的坐标为， ∴经过（1）的变化后点的对应点的坐标是． （3）解：取点，，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴． 11． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 12． 【答案】(1) (2)，， (3)， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； （3）解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． ◆题型5 几何图形中的位似综合问题 13． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵，是等边三角形， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证，得，再证明，得，继而证； （2）由及是等边三角形，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 14． 【答案】(1) 如图，正方形为所作； (2) 【分析】（1）连接交于点，再作于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，顺次连接，则四边形为所作； （2）设正方形的边长为x，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为x，则， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 15． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D 二、填空题 7．3 8． 9． 10． 11．②③④ 12． 三、解答题 13． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由图可知，的面积为． 14． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． 勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）取格点、，连接交于点P． 【详解】（1）解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； （2）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 15． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 16． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 17． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)与是位似图形, 【分析】（1）利用位似中心为原点、位似比，将原顶点坐标对应放大得到新顶点，进而画图； （2）利用割补法求出面积即可； （3）依据平移规律对顶点平移后画图； （4）通过观察对应顶点连线是否交于一点，判断是否为位似图形，若为位似图形，交点即为位似中心，求其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ； （3）解：如图，即为所求， （4）解：如图，连接与的对应顶点、、并延长，发现三线交于一点，故两三角形是位似图形． 直线：、，纵坐标恒为，即； 设直线为， 把、代入， 得， 解得，， ∴直线为； 联立与，得， 解得， ∴． 18． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 位似 常考题型·精准突破 题型1 利用位似图形的性质判断结论正误（重） 题型2 利用位似图形的性质求解（高频） 题型3 已知位似图形求位似中心的坐标（高频） 题型4 平面直角坐标系中画位似图形（高频） 题型5 几何图形中的位似综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用位似图形的性质判断结论正误 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． ◆题型2 利用位似图形的性质求解 4．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 5．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 6．（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） ◆题型3 已知位似图形求位似中心的坐标 7．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 8．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． ◆题型4 平面直角坐标系中画位似图形 10．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）在如图的网格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 12．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； ◆题型5 几何图形中的位似综合问题 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 位似 常考题型·精准突破 题型1 利用位似图形的性质判断结论正误（重） 题型2 利用位似图形的性质求解（高频） 题型3 已知位似图形求位似中心的坐标（高频） 题型4 平面直角坐标系中画位似图形（高频） 题型5 几何图形中的位似综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用位似图形的性质判断结论正误 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． ◆题型2 利用位似图形的性质求解 4．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 5．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出与的位似比，再由位似图形的周长比等于位似比求解即可． 【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，， ，即将放大倍后得到， 与的位似比为， 则由位似图形的性质可知，与的周长比是． 6．（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型3 已知位似图形求位似中心的坐标 7．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 8．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． ◆题型4 平面直角坐标系中画位似图形 10．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) (3)解：点如图所示， 【分析】（1）根据位似图形的性质，结合、、，得出，，，在坐标系中描点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质解答即可； （3）根据相似三角形的性质，取点，，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：∵、、，与的相似比为， ∴，，， ∴如图所示，略 （2）解：∵点的坐标为， ∴经过（1）的变化后点的对应点的坐标是． （3）解：取点，，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）在如图的网格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 12．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 【答案】(1) (2)，， (3)， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； （3）解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． ◆题型5 几何图形中的位似综合问题 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵，是等边三角形， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证，得，再证明，得，继而证； （2）由及是等边三角形，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 【答案】(1) 如图，正方形为所作； (2) 【分析】（1）连接交于点，再作于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，顺次连接，则四边形为所作； （2）设正方形的边长为x，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为x，则， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ，， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， 相似比为， ，即， ，， 点的坐标为 故选：B． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长． 故答案为： 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律． 利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定答案． 【详解】解： 如图，根据题意可得，根据三线合一，等腰，等腰，等腰……底边上的中点都在一条直线上，即在直线上，假设的中点为， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， 根据等腰直角三角形的性质可得， ∵ 在中，由勾股定理得， 同理可得 ，即 以此类推，点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由图可知，的面积为． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． 勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）取格点、，连接交于点P． 【详解】（1）解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； （2）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)与是位似图形, 【分析】（1）利用位似中心为原点、位似比，将原顶点坐标对应放大得到新顶点，进而画图； （2）利用割补法求出面积即可； （3）依据平移规律对顶点平移后画图； （4）通过观察对应顶点连线是否交于一点，判断是否为位似图形，若为位似图形，交点即为位似中心，求其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ； （3）解：如图，即为所求， （4）解：如图，连接与的对应顶点、、并延长，发现三线交于一点，故两三角形是位似图形． 直线：、，纵坐标恒为，即； 设直线为， 把、代入， 得， 解得，， ∴直线为； 联立与，得， 解得， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $