第31章 难点探究专练 相似与几何、函数、圆的综合(跨单元)-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

难点探究专练 相似与几 题型①相似与几何综合 1.(2026河北)如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,BC=3AD,过点A作AE∥DC交BC于点 E,将△ABE沿AE翻折，得到△ABE,B'A, BE分别与直线DC交于M,N两点，则 △MB'N与△ABE的面积之比为 (C) 1 1 A.2 B.3 c D.8 第1题图 第2题图 2.将三角形纸片ABC按图所示的方式折叠，使 点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF. 已知AB=AC=3,BC=4,若△B'FC与 △ABC相似，则BF的长是 号成2 3.如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D,P是AD上一点，CF∥ AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F. 求证：BP2=PE·PF, 证明：：AB=AC,AD⊥BC, .AD所在直线是△ABC的对 称轴， .PC=PB,∠PCE=∠ABP C∥AB,∴∠F=∠ABP, ∠PCE=∠F. 又：∠CPF=∠EPC,∴△EPC∽△CPF, 保腮 PC2=PE·PF. PC=BP,∴.BP2=PE·PF 何、函数、圆的综合（跨单元） 4.(2026上海)如下图，菱形ABCD中，E是线 段CD上的点，连接BE交对角线AC于点 F,且∠FBC=∠CAB. (1)如果AF=2BF,求证：CE=DE. (2)如果∠ABE的角平分线交AC,AD于点 G,H,求证：CD·BG=BH·BF. 证明：(1)：四边形ABCD为 D 菱形，，∴.∠DAC=∠DCA= ∠CAB=∠BCA,AB=DC. :∠FBC=∠CAB, .∠FBC=∠BCA,∴.FB=FC .AF=2BF,.'.AF=2CF. AB∥DC,∴∠CEF=∠ABF. :∠EFC=∠BFA,∴△AFB∽△CFE, AF ABAB “Cp=E,唧 =2 AB=DC,小CE .DC =2,即DC=2CE,∴.CE=DE. (2):h(1)可知∠FBC=∠BCA, .∠BFG=∠FBC+∠BCA=2∠FBC. :∠FBC=∠CAB,∴∠BFG=2∠CAB. :∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,∠BAH= ∠DAC+∠CAB,.∠BAH=2∠CAB,.∠BFG =∠BAH BH平分∠ABE,∴∠ABH=∠FBG, 、BFBG △BFGO△BAH,BA=BH a=CD,小8部-8所CDc=M,BF 题型② 相似与函数的综合 5.如图，矩形OABC的对角线 yt 9 B D OB与反比例函数y=二(x x >0)的图象相交于点D,且O列 第5题图 OD 3 OB=后，则矩形OABC的 面积为 (B) 25 A.50 B.25 C.15 D.2 下册第三十一章 234 6.如图，一次函数y=x十3的图象与坐标轴分 别交于A,B两点，点P,C分别是线段AB, OB上的点，且∠OPC=45,AP=号AB.点 C的坐标为 (0,3 B A 第6题图 第7题图 1 7.如图，已知点A,B分别在反比例函数y= (x>0),y=- 4(x>0)的图象上，且OA1 OB 0B,则OA的值为 2 8.数形结合思想如右图，在平 1 面直角坐标系中，二次函数y =x2十bx+c的图象经过点 A(3,0),B(0,6).若有一点P 在这个二次函数的图象上，过点P作PD⊥ y轴，垂足为D,连接AB,OP.若△POD与 △AOB相似，求符合条件的点P的坐标. 解：将A(3,0),B(0,6)代入y=x2+bx+c,得 9+3b+c=0, b=一5，、.二次雨数的解析式为 解得 c=6, c=6, y=x2-5x+6.A(3,0),B(0,6),∴A0=3,0B=6. 设P(m,m2一5m十6).：PD⊥y轴，∴点D的坐标为 (0,m2-5m+6),.PD=m,0D=m2-5m+6. 0当△P00△0i时，需-8即g= m-5m十6，解得m=2或m=+ 3 3 ②当△Pm0∽△A0B时，8-0.甲g- 3 m-5m十6，解得m=1或m=6 6 综上所述，符合条作的点P的坐标为（子，）或(4， 2)或(1,2)或(6,12). 24 九年级数学RJ版 题型③相似与圆的综合 9.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= 90°，AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD 为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD 的长为 (D) A.5 B.4 C.35 D.25 A 0 D 第9题图 第10题图 10.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点 M,且CM:BM=3:2,则DM：AM= 2：3 11.如下图，△BCD内接于⊙O,CD是⊙O的 直径，∠DBC的平分线交CD于点E,交 ⊙O于点A,连接AC,AD.求证：AC2= AE·AB 证明：，CD是⊙O的直径， .∠DBC=90°，∠DAC=90°. :∠DBC的平分线交CD于点 D 0/E E,交⊙0于点A, .∠ABD=∠ABC=45° A 山同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD= ∠ABC=∠ADC=45°， .∠ABC=∠ACE. 又：∠EAC=∠CAB, ∴.△EACO△CAB. .AC AE AB-AC' ∴.AC2=AE·AB.设DE=MN=a,则DG=EF 2X(8a-a-a)=3a. DG CN :由(2)知AB-CM 图② 12 60 之、角军号x、四三石1· 5 矩形DEFG的周长是8×6=6 60480 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. ,四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC, .△APNC∽△ABC. AD⊥BC,.AD⊥PN, 院-品各-002解得y只 4 PQ-5.P- (2)设AE=x.由(1) PN AE PN z BCAD,即 12=10' PN=号，PQ=DE=10-x, 6 SPOMN=。x(10一x)=二5（x一5)+30， .当x=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积 为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是 30,此时PQ=5,PN=6. 31.4位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D OH 4.OH 4 2.8【解析1D3“0D= ,四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴.四边形ABCD∽四边形EFGH,GH∥CD, HG OH 4 △OHGn△ODC,CD-OD-7' S边形ABCD 3.4√2π【解析】由题意可知，四边形A'B'CD'是正方 形，且与正方形ABCD是位似图形.，正方形ABCD 的面积为4，∴.其边长为2.：A'B:AB=2:1, .AB'=4,∴正方形A'B'CD的对角线的长为4√2， ∴正方形A'BCD'的外接圆的周长为4√2π 4.解：(1)如图（画出一个即可）. (2)10 5.解：，△ABC和△A'B'C'的相似比为1：2，AO= 5cm,∴A'O=10cm.①△ABC与△A'B'C'在点O的 同侧时，AA'=A'O-AO=5cm;②△ABC与△A'B1 C在点O的异侧时，AA'=A'O+AO=15cm.综上所 述，对应点A,A'之间的距离为5cm或15cm. 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.D2.D 3.B【解析】由题意可知，△OAD∽△OBG.:相似比为 日8器分：0A=20B=6AB==A0 =4. 由题意可知，BG=3AD=12, 点G的坐标为(6,12). 变式题(1,0)或（一1,0）【解析】四边形OABC是 平行四边形，AB=2,.OC=AB=2,.C(2,0). ·以原点O为位似中心将口OABC缩小，使得到的图 形与原图形的相似比为2， .点C的对应点C的坐标为(1,0)或（一1,0）. 4.13 5.解：(1)△A,B,C,如图所示. .6 (2)A,(-4,-6),C1(-6,-2). 难点探究专练相似与几何、 函数、圆的综合（跨单元） 1.C【解析】.AD∥BC,AE∥DC, .四边形AECD是平行四边形， ..AD=EC. ..BC=3AD=3EC=BE+EC. .BE=2EC. 由折叠的性质，得BE=B'E,S△ABE=S△ABE,∠BEA =∠B'EA. 又：AE∥DC, ∴.∠ENC=∠B'EA,∠BEA=∠C, ∴.∠ENC=∠C,∴.EN=EC, ..B'E=BE=2EN, ∴EN=B'N=号BE. AE∥DC,.∠B'MN=∠B'AE,∠B'NM= ∠B'EA, ∴△B'MN∽△B'AE, 下册详解详析 ,S△BMN ”SARAE ,S△B'MN 41 气或2【解析】设BF=x,则FC=4一x 由折叠的性质知B'F=x. B'F CF 分两种情况：①当△B'FCD△ABC时，AB=CB 12 4 工，解得x=7 FB'FC ②当△FB'Cn△ABC时ABAC·即 4-x 3 ,解 3 得x=2. 综上所述，BF的长为号或2. 3.证明：AB=AC,AD⊥BC, ∴.AD所在直线是△ABC的对称轴， ∴.PC=PB,∠PCE=∠ABP :CF∥AB,∴∠F=∠ABP,∠PCE=∠F. 又∠CPF=∠EPC,△EPCc∽△CPF, 器腮 ∴.PC2=PE·PF. PC=BP,.BP2=PE·PF 4.证明：(1)，四边形ABCD为菱形 ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,AB=DC. :∠FBC=∠CAB,∴.∠FBC=∠BCA, ∴.FB=FC AF=2BF,∴.AF=2CF AB∥DC,.∠CEF=∠ABF :∠EFC=∠BFA,.△AFB∽△CFE, 提 CE =2 DC AB=DC∴CE-2,即DC=2CE, ..CE=DE. (2)由(1)可知∠FBC=∠BCA, .∠BFG=∠FBC+∠BCA=2∠FBC. :∠FBC=∠CAB, .∠BFG=2∠CAB. I∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,∠BAH ∠DAC+∠CAB, .∠BAH=2∠CAB, ∴.∠BFG=∠BAH. :BH平分∠ABE,∠ABH=∠FBG, △BGc△BM15-0 BA-CD,CD-BH' BF BG ∴.CD·BG=BH·BF」 九年级数学RJ版 5.B【解析】如图所示，过点D作DE⊥OA,垂足为E, 1 9 则Sa0me=2X9=2, .DE⊥OA,AB⊥OA .DE∥AB D .△ODE△OBA, S△oDE OD OB 25S△0a 0 25 2, 5矩形0ABC的面积为2×2=25， 6.(o.) 【解析】一次函数y=x十3中，令x=0,则y =3;令y=0,则x=-3..A0=B0=3. .△AOB是等腰直角三角形，.∠ABO=∠BAO= 45°，.AB=3√2， AP-3AB-/.BP-AB-AP-2/. ,∠BPC+∠OPC=∠AOP+∠PAO,∠OPC ∠PAO=45°，∴.∠BPC=∠AOP, PAOACP-品. √2 2元 3 45 0C=0B-BC=3-3=3 六点C的坐标为(o,): 7.2【解析】如图，过点A作AC⊥y轴于点C,过点B 作BD⊥y轴于点D. :点A,B分别在反比例函数y= 1 4 Cb- x x>0),y=- (x>0)的图 象上， 1 1 Sac=2X1=2,San=2 bh. ×|-4|=2. .OA⊥OB,./AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°. ,∠ODB=90°，.∠BOD+∠OBD=90°， .∠AOC=∠OBD. 又∠ACO=∠ODB=90, Rt△AOC∽Rt△OBD, S△AC OA 2 SAOBD BO 1.0A1 4，…0B=2（负值己舍去)， =2 8.解：将A(3,0),B(0,6)代入y=x2+bx+c,得 9+3b+c=0, (b=一5， 解得 c=6, c=6, 二次函数的解析式为y=x2-5.x+6. A(3,0),B(0,6), ∴.AO=3,OB=6. 设P(m,m2-5m+6). :PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0，m2-5m+6) .PD=Iml,OD=m2-5m+61. PD ①当△PD0∽△BO4时00光，即 1m-5m+6,解得m=2或m=4 3 3 PD OD 回当△PD0D△AOB时，AO=B0即m 3 m-5m十6l,解得m=1或m=6. 6 综上所述，符合条件的点P的坐标为（受，是）或(4,2) 或(1,2)或(6,12)」 9.D10.2:3 11.证明：，CD是⊙O的直径， ∴.∠DBC=90°，∠DAC=90. ∠DBC的平分线交CD于点E,交⊙O于点A, .∠ABD=∠ABC=45. 由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD= ∠ABC=∠ADC=45°，∴.∠ABC=∠ACE. 又∠EAC=∠CAB, AC AE 六△EACD△CAB.AB-ACAC=AE·AB. 章末对点导练 1.A2.C 3酷【标：ABCD/E,是-S Bc-曾cE=BE-c=12-普器 4.D 5.A【解析】DE∥BC,∴.△AED∽△ABC.AB= AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,.∠DBC=∠DBE =36°=∠A,∠ACB=∠ABC=∠CDO=∠CEB= ∠BOE=∠COD=72°，∴.△AED∽△BCDO △CBE∽△BOE∽△COD∽△ABC.故图中与△ABC 相似的三角形有5个. 6.D【解析】，CE⊥CD,∴.∠ECD=90 ∠BCA=90°， ∴.∠BCE=∠DCA=90°-∠BCD. ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴.DC=DB=DA,.∠DCA=∠A, ∴.∠BCE=∠DCA=∠A. ,∠CBA=2∠A,∠CBA=∠E+∠BCE, ∴.∠E=∠A, ∴.△CEB△CAD,∴.A选项不符合题意 ,B是DE的中点，CE⊥CD, .BE=BC,∴.∠BCE=∠E, .∠BCE=∠E=∠DCA=∠A, ∴△CEB∽△CAD,.B选项不符合题意. CE.cD=cAGB需器 :∠BCE=∠DCA,.△CEB∽△CAD, ∴C选项不符合题意. CE_BE “CADA,∠E不一定等于∠A, .不能判定△CEB与△CAD相似， .D选项符合题意. 7.3或3√2【解析】：∠ACB=∠D=90°，AC=√6，AD =2.CD=C-D-V6-2-E.当0 A方可R入AB∽AD层号—2·之Ag √6 3:当ABAC CA-CD时，Rt△ABC∽R△CAD,AB=E √6√2 ∴AB=3√2.故当AB=3或3√2时，Rt△ABC与 Rt△ACD相似. 8.证明：(1).EG∥BC,.∠2=∠ABC. ,AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 由旋转的性质得∠1=∠ACB,∴.∠1=∠2. (2).∠1=∠2，.EB=EG. 由旋转的性质得CD=BE,∴.EG=CD. ,GECD,.四边形DCGE是平行四边形， ∴.GH∥FD,.△AGH△AFD. 9.证明：(1).AB为⊙O的直径， ,∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC 又，AB=AC,BD=CD,.D是BC的中点. (2),AB为⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°， ∴.∠BEC=∠ADC=90°. 又：∠C=∠C,.△BEC∽△ADC 10.B11.D 12.8【解析】设较小三角形的周长为C1,较大三角形的 周长为C由题意，得CC,=2:3C=C. 又C+C=20C,+2C=20解得C=8,即 较小三角形的周长为8. 13.解：话-号设AE=2a,则EB=3aAB 5a.:四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB -CD=5a△AEF△CDF.号-那-号 - 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 下册详解详析 9