周测三 相似三角形的实际应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

01 OA=2,△C0D∽△AOE, Sm=1 S△oAE 4 1 1 1 Saam=4X2k=8k, 1,1 3 六SAon=2-8k=gk. :C是OA的中点， 33 ∴.S△ABc=S△ou,即 z=8, 解得k=4. 10.3:2【解析】过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作 BD⊥x轴于点D,如图，则AC∥BD 设点A的横坐标为x1 点A在-的图聚上。 0C=14C=9 .AC·OC=9. 设点B的横坐标为x2. 点B在)=产的图象上， OD=:BD- 4 .BD·OD=4. ,AC∥BD, .∴.△OACc∽△OBD, 胎 :30e…4c 1 OA2 OD·BD 1 OB' 0B=40A:0B=3·2. 11.证明：(1)四边形ABCD是菱形， ∴.ED∥AB,AD∥BC, .△EFD∽△AFB, DF EF ·BFAF1 .EG∥BC,AD∥BC, .EG//AD, .△EFG∽△AFD, FG EF.DF FG FD-AFBFDF' DF2=FG·BF. (2)连接AC交BD于点H,如图所 示，则AC⊥BD,DH=BH, ..BD=2DH. .AE⊥DC, ∴.∠DEF=∠DHC=90°. :∠FDE=∠CDH,∴△FDE△CDH, 腮- ∴.DH·DF=DC·DE, ∴.2DH·DF=2DC·DE :BD=2DH,且AD=DC, .BD·DF=2AD·DE. 12.解：(1)，AB为⊙O的直径. .∠ADB=90°，∠BDC=90° 又：DE平分∠BDC,∴∠EDB=45°， .∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135. 又，四边形ABED是⊙O的内接四边形， .∠ABE=180°-∠ADE=180°-135°=45° (2)连接OE,如图. E为BD的中点， ∴.DE=BE,∴.OE⊥BD. D 又：AD⊥BD,.OE∥AD, 88腮 .OA=OB, ∴.BE=CE=√3， ∴DE=号BC=5, ∠ABE=180°-∠ADE=∠CDE, ∴.△CDEC∽△CBA, 0即 23 BA' AB=3,∴.0A=0B=2 3 故⊙0的半径为2 周测三相似三角形的实际应用 1.A 2.B 【解析】在△DEF和△DCB中，∠D=∠D, DE ∠DEF=∠DCB=9O°，∴.△DEFD△DCB,EF DC m18114 CB,即2=CB,解得CB=76m.:AC=1.8m, .AB=AC+CB=1.8+76=77.8(m). 3.8【解析】设古楼的总高度为ym. 由题意，得2-1.62 y-1.632,解得y=8, 故古楼的总高度为8m. 4.解：，FG⊥AC,DC⊥AC,∴.FG∥DC, FE AG △BEF∽△BHD.DH=AC AG=1.6m,CG=4.8m,EF=1.4m, ，1.41.6 六DH1,6+4.8解得DH=5.6, .小树CD的高为DH+HC=5.6+1.2=6.8(m). 下册详解详析 43 5.B 6.108【解析】如图，过点M作ME⊥CD 于点E,交AB于点F.由题意得，AB= ↑北 5m,MF=20m,MF⊥AB. .'AB∥CD,∴.△MAB∽△MCD, 部 20 5 六20+EF-18.5EF=54m .河的宽度=2EF=108m. 7.B【解析】如图，连接BD. 由题意，得AB=AD:∠A=∠A, EF △AEFO△ABD,片 BD' (C) 5-DBD5cm:心点B,D之间的距离减 了5-2=3(cm). 8.解：如图，作点A关于直线1的对称点A',连接A'B, 交直线I于点F 根据对称性可知FA=FA', .FA十FB=FA'+FB.根 据“两点之间线段最短”，此 时FA十FB的值最小. 由对称性可知，A'C=AC= 3km,且A'C⊥. BD⊥l,.A'C∥BD, .△A'CF∽△BDF, 限品-是 .'CD=10 km,.CF+DF=10 km. 设CF=3xm,则DF=2xm, .3x+2x=10,解得x=2,.CF=3X2=6(km). 故当FA十FB最小时，投放点F距离点C6km. 9.解：(1)△PDQ与△CPR相似， 理由：：DQ⊥PE,∴∠DQP=90 .PF⊥MN,BC∥MN,.BC⊥PF, .∠PRC=90°，∴.∠DQP=∠PRC. 易知PE∥BC,∴.∠DPQ=∠PCR, ∴.△PDQ∽△CPR. (2)(6-23) 【解析】(2)点D距地面0.4m,即QE=0.4m, ∴.PQ=PE-QE=2.4-0.4=2(m) PD PQ 2 :△PDQn△CPR∴CP=CR 1 .'CD=AB=6 m,.'PD=4 m,CP=2 m. 在Rt△PDQ中，DQ=√PD-PQ=√4-2= 2√3(m). .DQ+PF=CD, ∴.PF=(6-2√3)m. 44 九年级数学RJ版 周测四位似 1.D2.C3.A4.325.326.y=9 x 7.解：(1)如图，点O即为所求. (2),BC=√22+1℉=√5，B'C'=√4+2=25， 瓷调 2 .△A'B'C'与△ABC的相似比为2. (3)如图，△AB,C1即为所求， DUTTTTTTTTUUTUTTTTT7D A 8.D9.(2,2√3)或(-2，-2√3) 10.解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求， (2)如图所示，△A2BC2即为所求.（一8，一4） (3)如图所示，P点即为所求. B 11.解：(1)，一次函数y=k.x十b与y=-2.x十4是“平 行一次函数”， ,.k=一2.将(3,1)和k=一2代入y=kx十b,得1= 一2×3+b,解得b=7. (2)根据相似比为2，得函数y=kx十6的图象有两 种情况： ①不经过第三象限，过点(1,0)，(0,2)，此时对应的函 数解析式为y=一2.x十2： ②不经过第一象限，过点（一1,0），(0，一2)，此时对应 的函数解析式为y=一2x一2. 综上所述，y=kx十b的解析式为y=一2x十2或y= -2x-2. 周测五求锐角三角函数值的常用方法 1.C2A3D4号556A7号8 4 9.2【解析】，四边形ABCD是菱形，.AD=AB, DE.AB.A=号oA-怎-号可设AD =AB=5x,AE=3.x.BE=4,∴.5x-3.x=4,解得x周测三相似三 (时间：60分钟 题型个利用相似三角形测量高度 1.(8分)如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰 到地面时，另一端B到地面的高度为60cm. 当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地 面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点 O到地面的高度OH是 (A) A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm .0 hA 第1题图 第2题图 2.(8分)如图，李老师用自制的直角三角形纸 板去测“步云阁”的高度，他调整直角三角形 纸板的位置，设法使斜边DF保持水平，边 DE与点B在同一直线上.已知直角三角形 纸板中DE=18cm,EF=12cm,测得点D 离地面的高度为1.8m,点D到“步云阁”的 距离CD为114m,则“步云阁”的高度AB 是 (B) A.74.2m B.77.8m C.79.6m D.79.8m 3.(8分)婺源古村有一座徽派古楼，测量员在 距离古楼底部30m处立一根2m高的标 杆，后退至距离标杆2m处，眼睛离地面的 高度为1.6m,此时视线恰好经过标杆顶端 对准古楼顶端，则古楼的总高度是 8m. 4.(16分)如下图，王老师为测得学校操场上小 树CD的高，他站在教室里的点A处，从教 室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树 冠HD.经测量，窗口高EF=1.4m,树干高 CH=1.2m,A,C两点在同一水平线上，点 A距墙根点G1.6m,点C距墙根点G 角形的实际应用 满分：100分) 4.8m,且A,G,C三点在同一直线上.请根 据上面的信息，帮王老师计算出小树CD 的高 解：，FG⊥AC,DC⊥AC, .FG∥DC, .△BEF∽△BHD, 器0 G AG=1.6m,CG=4.8m,EF=1.4m, 1.4_1.6 DH1.6+4.8,解得DH=5.6, ∴小树CD的高为DH+HC=5.6+1.2=6.8(m). 题型②利用相似三角形测量宽度或长度 5.(8分)如图，某零件的外径为10cm,用一个 交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量 零件的内孔直径AB.若OA：OC=OB: OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x 为 (B) A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1 cm C一D↑北 AB一南岸 -10cm+ M 第5题图 第6题图 6.(8分)如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸岸边每隔5m有一棵树.小奥站 在离南岸20m的点M处看北岸，在两棵树 之间的空隙，恰好看见一条船的船头和船尾 (假设船头、船尾和小奥的眼睛位于同一水 平面内).若已知船长CD=18.5m,该船行 驶在河的中心，且船与河岸平行，则河的宽 度为 108m. 4444 下册限时周测 111 题型③利用相似三角形测量距离 7.(8分)一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭 合状态时的示意图，图③是在打开状态时的 示意图（此时AB∥CD),相关数据如图（单 位：cm).从图②闭合状态到图③打开状态， 点B,D之间的距离减少了 (B) A2E 3 B 2 (C)F D C2F 3D 图D 图② 图③ 第7题图 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 8.(16分)鄱阳湖是我国最大的淡水湖，也是众 多候鸟的越冬地.如下图，在鄱阳湖某片湿地 的平面示意图中，点A,B是两个珍稀候鸟观 测站，直线1代表一段笔直的湖岸线.已知观 测站点A,B位于湖岸线1的同侧，且点A到 湖岸线I的垂直距离AC=3km,点B到湖岸 线l的垂直距离BD=2km,C,D两点在湖岸 线上的距离CD=10km.为了便于物资补给， 现需要在湖岸线CD之间选定一个临时物资 投放点F,使得从点F到点A,B两个观测站 的距离之和(FA十FB)最小.当FA十FB最 小时，投放点F距离点C多少千米？ 解：如图，作点A关于直线1的 对称点A',连接A'B,交直线1 于点F,根据对称性可知FA= FA',∴FA十FB=FA'十FB.根 据“两点之间线段最短”，此时 FA十FB的值最小.由对称 性可知，A'C=AC=3km, 且AC⊥I.BD⊥I,.AC ∥BD,∴.△A'CF△BDF CF A'C 3 六DF=BD=2“CD= 10km,∴.CF+DF=10km. 设CF=3xm,则DF=2xm, ∴.3x+2x=10,解得x=2, ..CF=3X2=6(km). 故当FA十FB最小时，投放点F距离点C6km. 1194119 112 九年级数学RJ版 题型④相似三角形在其他方面的实际应用 9.(20分)如图所示的是某小区入口处安装的 汽车出入道闸示意图.如图①，道闸关闭时， 四边形ABCD是矩形，且BC落在MN上. 如图②，在道闸打开的过程中，边AD固定， AD⊥直线l,连杆AB,DC分别绕点A,D 转动，且边BC始终与边AD平行.P为CD 上的一点（不与点C,D重合），过点P作PE ⊥I,PF⊥MN,垂足分别为E,F,即四边形 PENF是矩形.过点D作DQ⊥PE,垂足为 Q,延长BC与PF相交于点R 图① 图② (1)△PDQ与△CPR相似吗？请判断并说 明理由 (2)若AB=6m,AD=2m,点D距地面 0.4m,PE=2.4m,CR=1m,则PF的长 为 (6-23)m. 解：(1)△PD0与△CPR相似. 理h:,D0⊥PE,∠DQP=90° ,PF⊥MN,BC∥MN,∴BC⊥PF, ∴.∠PRC=90°，∴.∠D0P=∠PRC. 易知PE∥BC,∴.∠DPQ=∠PCR, ∴.△PDQ∽△CPR.