31.2.3 相似三角形的性质（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

31.2.3相似三角形的性质 教材知识梳理 1.相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于① 2.相似三角形对应线段的比等于② 3.相似三角形周长的比等于③ 4.相似三角形面积的比等于④ 教材母题变式 教材母题1相似三角形对应线段、周长的比 例1已知△ABC∽△A'B'C',相似比为2：3. (1)若AD,A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD=9cm,则A'D'的长为 (2)若AE,A'E分别为这两个三角形的对应中线，且A'E'=10cm,则AE的长为 (3)若AF,4'F"分别为这两个三角形的对应角平分线，则1T 的值为 (4)△ABC与△A'B'C'的周长比为 例2（教材P16练习T3改编）如图，△ABC∽△A'B'C',BE,BE分别是∠ABC,∠A'B'C'的平分线， 点D,D分别是BC,BC的三等分点，即CD=2BD,C'D'=2B'D',连接AD,A'D.求证：A'DBE AD BE 95 教材母题2相似三角形面积的比 例3教材PI5倒5改编已知△4BC与△A'B'C'的相似比为且Sc+SABc=9求△4BC 的面积 A易错点误认为相似三角形的面积比等于相似比而出错 例4两个相似三角形的相似比为1：2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为 易错提醒相似三角形的面积比等于相似比的平方，不等于对应线段的比 ·课堂10分钟 1.相似三角形对应边的比为2，那么相似比为 ,对应角平分线的比为 2.若两个三角形对应边之比为4：3，则它们的对应高之比为 ,对应中线之比为 3.已知△ABC∽△A'B'C',其相似比为3：4. (1)若△ABC的周长为24cm,则△A'B'C'的周长为 (2)若△A'B'C'的面积为64cm2,则△ABC的面积为 4.如果△ABC∽△DEF,其面积比为9：16，那么它们的周长比为 5.如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF,∠B=∠E,AM⊥BC于点M,DN⊥EF于点N,其中 4M=6,DN=3,求、的值. 96教材母题变式 例496m例5212 例1(1)36(2)54W3 课堂10分钟 (3)解：如解图，连接OB,0C,作OG1 1.A2.A3.C4.12 BC于点G. 31.2相似三角形 易知△BOC是等边三角形， 31.2.1平行线分线段成比例 .∠OBC=60°，OB=BC=R, .:OG⊥BC于点G 教材知识梳理 1 ①相等②成比例③∽④k⑤成比例⑥平行 ·BG= 2 BC=- 2R,∠B0G=30, ⑦成比例⑧相似 教材母题变式 、在R△0BG中，0G=V0B-BG=R-(2R)=2R, 例15：33：5 例2(1)2 (2号 变式C例3 3 1 ∴.S△B0c= BC·OG= -XRX- -R= 2 -R, 2 4 例4DE=10。 3 cm. .正六边形ABCDEF的面积为6× TR- 2R,即s=33 R. 课堂10分钟 例2√3cm 1.B23 3.(1)EF=3.(2)BE=9. 例3解：(1)先画⊙0的内接正六边形，再在正六边形的基 31.2.2 三角形相似的判定 础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角 第1课时 三角形相似的判定（一） 形.如解图1，△DBF是⊙O的内接正三角形 教材知识梳理 (2)先画圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用直尺和 ①两②成比例③夹 圆规分别作与正方形相邻两边垂直的直径，即可作正八边 教材母题变式 形.如解图2，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形. 例1证明：AB=AC,且∠BAC=120°， 米 .∴.∠ABD=∠ACB=30° .·∠ADE=30°，.∠ABD=∠ADE=30° ·.·∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB .∠EDC=∠DAB,.△ABD∽△DCE. 例2B例3B 解图1 解图2 例4解：相似理由如下： 课堂10分钟 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得AB=√2，DE=22 136°2.723.34.4424245 AB 1 小DE2 九年级下册 又4C-2-1ABAC DF42DE DF 第三十一章相似 又：∠BAC=∠EDF,.△ABC∽△DEF 例5证明：.·△CDP是等边三角形，..PC=PD=CD=3 31.1图形的相似 ∠PCD=∠PDC=60°， 教材知识梳理 .∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC ①形状②边数③相等④成比例⑤相似比⑥相等 120°，.∠ACP=∠PDB. ⑦成比例 .AC=2 PC_3 2 AC PC 教材母题变式 PD3'BD93PDBD.△ACP△PDB 例1(3)(5)(6)(1)(2)(4) 2 例2(1)它们是成比例线段. 例6C (2)它们不是成比例线段. 课堂10分钟 (3)d=20cm. 1.证明：CE=CD,.∠CED=∠CDE,.∠AEC=∠BDA, 变式22cm或，cm或2cn 又.·∠DAC=∠B,∴.△ACE∽△BAD AE AD 1 例3解：若小路内、外边缘所形成的两个矩形相似，则可以 2.证明：AB=2AD,AC=2AE,ACAB2 得到两个矩形长之比与宽之比相等， 又.·∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC. 9器降5 3.证明：.AB⊥BC,ED⊥CD,∴.∠B=∠D=90°， ∴.∠A+∠1=90° .当x为1.5时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似 又.∠1+∠2=90°，∴.∠A=∠2，.△ABC∽△CDE. 参考答案 第2课时三角形相似的判定（二） 31.3相似三角形的应用 教材知识梳理 教材母题变式 ①成比例②成比例 例1B例2B例312m 教材母题变式 例4解：·∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED, 例1解：(1)△ABC和△DEF不相似， 理由B),C-4C240BC4C 4B_AE.即4B=25 △AEBn△CED,·CDCE1.625AB=16, DE2'EF2'DF3·DEEF≠DF 答：教学楼的高度AB是16米. .△ABC和△DEF不相似. 课堂10分钟 (2)△ABC和△DEF相似. 1.A2.C3.D4.605.3 理由：AR_BC_AC1 DF EFDE2△ABC∽△DEF 31.4 位似 9 第1课时位似图形 变式它的男外两条边长是cm,4cm或4cm,cm 教材知识梳理 7 ①位似图形②位似中心 或4cm,2cm 教材母题变式 例2C 例1D例2B 课堂10分钟 例3略. 1.C2.C3.D 课堂10分钟 4.解：△ABC与△ADE相似.理由如下： 1.D2.C3.A4.6 在△ABC中，AB=25,BC=40,AC=20, 5.略 在△ADE中，AE=12,AD=15,DE=24, 第2课时平面直角坐标系中的位似 AB BC AC 5 ”AD DE AE3.△ABC∽△ADE. 教材知识梳理 ①(kx,y)或(-kx,-ky) 31.2.3相似三角形的性质 教材母题变式 教材知识梳理 例1(6，-2)(4,2)(2x,2y) 变式(3,1) ①相似比②相似比③相似比④相似比的平方 例2(6,2)或(-6，-2)变式(4,6) 教材母题变式 例3解：(1)如解图，△A,B,C,即为所求。 m 1(m(2 (4)2:3 例2证明：△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC, ∠A'B'C的平分线， BE AB BC PE AB BC,∠ABD=∠A'BD CD=2BD.C'D'=2B'D' C BD-c.BnrC即e指品 BD BC AB BD 0123456789x (2)由解图可得A1(6,6),B1(2,4),C1(8,2). 又：∠ABD=∠A'B'D',.△ABD∽△A'B'D', (3)由题意，得△ABC∽△A,BC,相似比为 AD AB AD BE AD ABA'D'B'E 1 例3解：△AC与△AgC的相似比为子 变式略。 SAueSaure=49SArE 课堂10分钟 1.C2.(-3,-1)或(3,1) Sac+SAc4See+SC=。rh 3.画图略.A,(-4,-2),P(-2m,-2n). .Saxwc =63. 第三十二章锐角三角函数 例416 32.1正弦、余弦与正切 课堂10分钟 第1课时锐角的正弦 1.222.4:34:33.(1)32cm(2)36cm24.3:4 教材知识梳理 =4. 5 S△DEF ①对边②斜边③对边④斜边⑤“ 参考答案