31.2.3相似三角形的性质（分层作业，16大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.2.3 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明三角形的对应线段成比例 题型02 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长 题型03 利用三角形高，中线，角平分线之比等于相似比求线段长度 题型04 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长 题型05 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积 题型06 利用相似三角形的性质求解 题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 相似三角形的判定与性质综合 B组 能力进阶 题型01 利用相似求坐标 题型02 运用相似三角形解决折叠问题 题型03 运用相似三角形解决裁剪问题 题型04 运用相似三角形探究线段之间的关系 题型05 运用相似三角形解决尺规作图问题 题型06 运用相似三角形解决多结论问题 C组 思维拔高 题型01 相似三角形——动点问题 题型02 运用相似三角形解决最值问题 证明三角形的对应线段成比例题型01 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； (2) 证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 3．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 4．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 5．我们知道两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应角的外角的平分线之比是否等于相似比呢？例如：如下图，已知，且与的相似比是，分别是和的外角平分线，那么是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 成立．证明如下： ，且与的相似比为， ， ， ， ， 分别是和的外角平分线， ， ， 即. 【分析】结论成立．只要证明， 即可解决问题. 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长题型02 1．如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等且等于两个三角形的相似比．根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵，它们的相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，，、相交于点E，，且，则的长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵、相交于点E，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，E为上一点，延长至点F，连接．若，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 4．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM:MB=2:3，AD=2，BC=7．求MN的长． 【答案】4 【详解】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出MN． 解：过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F， ∵AD∥BC，AF∥DC， ∴四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形， ∴AD=EN=2．AD=FC=2． ∵BC=7， ∴BF=5． ∵ME∥BF， ∴△AME∽△ABF ∴． ∵AM：MB=2：3， ∴AM：AB=2：5， ∴， ∴ME=2 ∴MN=4． “点睛”本题考查了梯形中辅助线的作法和运用，平行四边形的判定即将性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答中正确的作出辅助线是解答的关键． 利用三角形高，中线，角平分线之比等于相似比求线段长度题型03 1．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应中线的比为， ∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应角平分线的比为． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 3．如图，在中，边，高，矩形的一边在上，两个顶点P、 Q分别在、上．如果，那么矩形的面积为_____． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系．由题意易证，即得出，再结合，代入数据，与联立，即可求出和的长，最后求面积即可． 【详解】解：∵矩形的一边在上，两个顶点P、 Q分别在、上， ∴， ∴． ∵高， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴，代入，得：， 解得：， ∴， ∴矩形的面积为． 故答案为：24． 4．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先过点E作，交于点F，根据相似三角形的性质可得，进而得出，再结合的长求出，然后证明，可得答案． 【详解】过点E作，交于点F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：9． 5．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 【答案】(1) 的长为（或） (2) 的长为 (3) 的值为 【分析】利用相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质，结合已知条件分别求解各小问． 【详解】（1） 解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应高， ∴ ∵， ∴， 解得； （2）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应中线， ∴ ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应角平分线， ∴， ∴． 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长题型04 1．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的周长比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的周长比等于对应的高线的比进行求解即可． 【详解】解：∵，和是它们的对应高线，，， ∴与的周长比． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 2．两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（    ） A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 【答案】D 【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x=12，然后解方程求出x后，得出5x即可． 【详解】解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3， 设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm， 则5x﹣3x=12， 解得x=6， 所以5x=30， 即大三角形的周长为30cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知，若与的面积比为，则与的周长比为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD=8，那么CD的长是 _____． 【答案】 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴， ， ∴，即， 解得，CD＝， 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则______． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键． 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积题型05 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比， ∴这两个三角形的面积比是． 故选A． 2．在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵D是AB中点，E是AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴S△ABC＝4S△ADE＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 4．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形。如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1）, 在网格中画出一个与相似且面积最大的格点，的面积为________．      【答案】2.5 【分析】中最长边为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，则格点中的最长边是与BC对应成比例的.因在正方形网格中，连接格点的线段里最长的为FG，但以FG为边作三角形均不能够与相似；对于连接格点的线段里第二长的EF，可以作格点（图见解析）与相似，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】由题意，画出的与相似且面积最大的格点如图所示：    在和中， 则（三边对应成比例的三角形相似） 又 故答案为：2.5. 【点睛】本题考查相似三角形的性质和实际应用，画出格点是解题关键. 5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，，， ∴，， ∴． (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质证明，即可； （2）根据得，结合，，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故． 利用相似三角形的性质求解题型06 1．如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的对应边相等，对应角相等．根据相似三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ， 故选：A 2．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC∽△ADE， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键． 3．如图，，，，则的长为______． 【答案】4 【详解】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 解：，， ， ， ， ． 4．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3． （1）求CE的长； （2）求证：BC⊥AD． 【答案】（1）3.1； （2）∵△ABC∽△DEC， ∴∠ACB=∠DCE， ∵∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC⊥AD． 【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEC， ∴， ∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3 ∴， 解得：CE=3.1． （2） 略 【点睛】此题考查相似三角形的性质，正确找出两个三角形的对应边与对应角是解题关键． 5．如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点． (1)若，且，求的度数； (2)若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值． 【答案】(1) (2)为或时，和始终保持相似． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的性质； （1）先求解，再求解，可得，再结合相似三角形的性质可得答案； （2）分两种情况讨论，由当时，由（1）可得到；当时，可得．可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴分两种情况讨论， 当时，由（1）得； 当时， 则， ∴， ∴． 即为或时，和始终保持相似． 在网格中画与已知三角形相似的三角形题型07 1．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 3．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示： ． 故答案为：． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】 解：如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，根据相似比为可得，，，据此可得． 【详解】略 5．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使； (2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F； （2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 【详解】（1）解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO， ∵AM=AC， ∴AO平分∠MAC， ∴∠OAC=45°， ∴延长AO，与BC交于一点，即为点F， ，∠ACB=∠ACF， ∴△ACF∽△BCA． （2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等； ∵AC=DC，O为AD的中点， ∴CM平分∠ACD， ∴点M到AC，CD的距离相等， ∴△MDC与△MAC的面积相等； 连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一； ∵在△PBG和△QCG中， ∴， ∴， ∴CG=， ∵AH∥GC， ， ， 设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键． 相似三角形的判定与性质综合题型08 1．如图，为等边边上一点，，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】证明，继而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 3．如图，，． (1)求证： (2)如果 ，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴； (2)2 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定，根据得到，结合即可得到证明； （2）本题考查相似三角形的性质，根据得到，结合，即可得到答案 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当时，求的值； （2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．       【答案】（1）=； （2）∵AD∥CB，点E是BC的中点， ∴△EFC∽△DFA． ∴CF：AF=EC：AD=1：2， ∵FG⊥BC， ∴FG//AB， ∴CG：BG=CF：AF=1：2， ∴CG=BG． 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得=，进而即可得到结论； （2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴=， ∴==， ∴==； （2）略 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键． 5．如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【答案】 （1）①证明：如图1，，， ， ， ，， ， ， ，， ， （SAS）， ， ， ． ②； （2）的长为或 【分析】（1）①先证明，再证明，，推导出，得； ②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长； （2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点． 【详解】（1）①略 ②如图1，， ， ∵ ∴∠BAE=∠CBA 又∵∠AFE=∠BFC （AA）， ， ，， ， ，， ∵ ∴， ， ，， ∵∠ EAC =∠ CDE=90° ∴C、A、E、D四点共圆， ∴∠CEA=∠CDA ∴△AEF∽△DCF（AA） ∴， ∴，即， 解得， ． （2）如图2，， ， ， ， ，， ， ， ， ∵ ∴ C、E、A、D四点共圆 又∵∠ CDE=90° ∴ ∠ CAE=90° ∴， ， ， ， ∴ △AFE ∽ △ BFC ， 如图3，， ， ，， 设交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图4，，则， ，， ， ， ， 射线与射线没有交点， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，分类讨论等腰三角形PCE边的关系式解决本题的关键． 利用相似求坐标题型01 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段，的长是一元二次方程的两根，，． (1)求点A，的坐标； (2)反比例函数的图象经过点，求的值； (3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，A为顶点的三角形相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)； (3)存在5个满足条件的点，坐标为或或或或． 【分析】（1）根据完全平方公式化简，用直接开平方法求出方程 的两根，从而得出，进而得出A、C两点的坐标； （2）过点B作，垂足为E， 根据等角对等边得到， 设，在中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出、的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的k值； （3）存在．当点P在上，若，根据相似三角形对应边成比例得出，列出方程，求解即可得出P点的坐标；当点P在上方，若， 根据相似三角形对应边成比例得出，则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；若，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；当点P在y轴负半轴，，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴ ， ∴， （2）如图1，过点作于点． ∵中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵ ∴， 解得或8， ∵， ∴舍去， ∴， ∴ ， ∴点坐标为， 把代入， 可得， 解得； （3）5个满足条件的点． ①当点在上，如图2，， ∴， ∴， 解得或， 故或； ②当点在的延长线上，若，如图3， ∴， ∴， 解得，故； 若，如图4， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 故； ③当点P在y轴负半轴，如图5， ， ∴， ∴， 解得： 或 (不合题意舍去)， ∴P点坐标为 综上所述，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一元二次方程，等腰直角三角形，勾股定理，反比例函数，相似三角形等，解决问题的关键是作辅助线，熟练掌握坐标与图形的对应关系，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定，勾股定理解直角三角形，待定系数法求反比例函数系数，相似三角形的性质，分类讨论． 运用相似三角形解决折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，则，先由勾股定理求得，再证△为等腰三角形，进而证明，得即可求解． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， 在中，， 又∵翻折前后三角形全等， ∴，， ∴△为等腰三角形， 如下图，过点作，交于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即． ∴， 又∵为等腰三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 3．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 【答案】或 【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：沿折叠和重合， ， 设，则， 当时，， ，， ∴， 解得：， 则， 当时，，即， 解得：， 则， 故或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴ ∴， ∴． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的性质及翻折变换，先根据图形翻折变换的性质得出，故可得出，再由可得出，据此可得出结论． 【详解】略 5．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处． (1)如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长； ②求证：四边形BCPD是平行四边形． (2)如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长． 【答案】(1)①BD=，BP=；②证明见解析； (2) 【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，利用勾股定理求出AB、BD即可解决问题； ②证明DP∥BC，DP=BC即可； （2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，从而得出DN的长．由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM．由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE的长，可得EC的长，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：①在Rt△ABC中， ∵BC=2，AC=4， ∴AB==． ∵点D是AC中点， ∴AD=CD=2， ∴BD==． 由翻折可知：BP=BA=． ②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°， ∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC， ∵PD=AD=BC=2， ∴四边形BCPD是平行四边形． （2）解：如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M． 设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中， ∵BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， ∴x=． ∵DB=DA，DN⊥AB， ∴BN=AN=． 在Rt△BDN中， DN= =． ∵∠DBN=∠ABM，∠BND=∠AMB， ∴△BDN∽△BAM， ∴， ∴， ∴AM=2， ∴AP=2AM=4． ∵∠DAM=∠PAE，∠AMD=∠AEP， ∴△ADM∽△APE， ∴， ∴， ∴AE=， ∴EC=AC﹣AE=4﹣=． ∵， ∴四边形PECH是矩形， ∴PH=EC=． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握各知识点并正确引出辅助线是解题的关键． 运用相似三角形解决裁剪问题题型03 1．（2026·江西九江·一模）如图，一张锐角纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． 2．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（    ） A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm 【答案】A 【分析】根据题意推知△BGF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例求得GF即可. 【详解】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90º， ∴∠B+∠BGF=90º， ∵∠BAC=90º， ∴∠B+∠C=90º， ∴∠BGF=∠C， ∴△BGF∽△DCE， ∴， ∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE， ∴， ∴GF=3cm. 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质. 3．（25-26九年级上·上海·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 4．探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 【答案】(1)不正确 (2)，理由： 如图所示， ， ， ， ， ， 多出一块巧克力． 【分析】本题主要考查图形的变化，相似三角形的判定和性质的运用，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据图示可得，宽度不变，长度减少了，由此即可求解； （2）根据题意可证，则，，根据面积关系即可求解． 【详解】（1）解：海燕猜想不正确，宽度不变，长度减少了； （2）略 运用相似三角形探究线段之间的关系题型04 1．如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 【答案】1- 【分析】由相似三角形的对应边成比例，依次求得D2E2，D3E3的长，整理规律即可. 【详解】解：∵D2E2∥BC， ∴△AD2E2∽△ABC， ∴, ∵D1E1=,D1D2=D1B， ∴AD2=AB， ∴D2E2==1-=1-， 同理可得，D3E3==1-， ∴DnEn=1-. 故答案为1-. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．发现规律是解题关键. 2．如图，在中，，，点在边上，（不与点，重合）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：图形如图所示； ， ，， ； (2) ． 理由：连接． ，， ， ∵，且点的中点， ∴， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及旋转的性质， 根据题意作旋转所得直线并连接，再利用同角的余角相等即可证明； 根据等腰直角三角形的性质得直角边和斜边成比例，结合夹角相等证明相似，利用相似的性质即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 运用相似三角形解决尺规作图问题题型05 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 【答案】(1) 解：如图①，取格点C，D，使，且， 连接，交于点M， 则， ， 即， 则点M即为所求． (2) 如图②，取格点E，F，使，且， 连接，交于点N， 则， ， 即， 则点N即为所求． (3) 如图③，取格点G，连接交于点Q， 则点Q即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求． （2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求． （3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，在边上取一点，作出的中线； (2)在图2中，在边上取一点，使得； (3)在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得． 【答案】(1)如图，即为中线； (2)如图所示： (3) 如图： 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、勾股定理，中线的定义及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据网格线的特征中线的定义作图； （2）根据网格线的特征作图； （3）根据网格线的特征和相似三角形的性质作图； 【详解】（1）略． （2），点即可使得<> （3）如图3和4，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得； 如图3，可得， ； 如图4，可得， ． 3．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【答案】（1）直角三角形； （2）如图1中，射线即为所求作． （3）如图2中，点，点即为所求作． ． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可． （2）取格点，连接交于点，射线即为所求作． （3）利用平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作中的角平分线； (2)在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； (3)在图3中，作以为直径的的切线． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求， (3) 如图，即为所求， 【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定等知识，准确作图是关键． （1）构造为腰的等腰三角形，利用等腰三角形三线合一作图即可； （2）按照（1）构造的角平分线，再利用网格构造的角平分线，交点即为所求； （3）构造，得到，则，则，根据切线的判定即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．（26-27九年级上·上海·学情自测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【分析】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 运用相似三角形解决多结论问题题型06 1．如图在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．明明同学根据已知条件，得出下列结论，其中正确的有（    ）个． （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可判定（1）；证△BDC∽△BCA，根据相似三角形的性质可判定（2）；证△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质可判定（3）；根据三角形面积公式可判定（4）． 【详解】解：∵CD是斜边AB上的高． ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=ADAB， 故（1）正确； ∵∠B=∠B，∠BDC=∠ACB， ∴△BDC∽△BCA， ∴， ∴BC2=BDAB， 故（2）正确； ∵∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B， ∴△BDC∽△CDA， ∴， ∴CD2=BDAD， 故（3）正确； ∵S△ABC=ABCD=ACBC， ∴ABCD=ACBC， 故（4）正确； 综上，正确的有（1）（2）（3）（4）共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（      ） A．AE⊥AF B．EF∶AF=∶1 C．AF2=FH·FE D．FB∶FC=HB∶EC 【答案】C 【详解】试题分析：根据正方形、旋转的性质以及相似三角形的判定和性质依次分析各项即可判断. ∵将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF ∴∠EAF=90°，AE=AF，△HBF∽△ECF ∴AE⊥AF，EF∶AF=∶1，FB∶FC=HB∶EC 故选C. 考点：正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质 点评：特殊平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握特殊平行四边形的性质极为重要. 3．如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：① 的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（    ）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过点作，分别交于点正方形的性质可知，利用相似三角形的判定与性质可得即可解答． 【详解】解：过点作，分别交于点， ∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，且， ∴四边形为正方形， ∴， 故①正确； ∵， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， ∴，， 由折叠的性质可知：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故④错误； ∵和为等腰直角三角形，且，， ∴，， ∴的周长为， ∴， 故②不正确，③正确； 综上可得：①③正确； 故选；    【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵∽，、分别为与的中线， ∴，故①正确； ∵，， ∴∽，故②正确； ∴与对应边上的高之比为，故④正确； 而与不相似，故③错误； ∴正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比. 5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接、：以下四个结论正确的有 _________（填序号）． ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时； ④当时，． 【答案】①②③④ 【分析】 根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出，证得，可得，，即可判断①；当最小值时，即为最小值，而当时，值最小，利用勾股定理求得，即可判断②；当最小时，根据三角形中位线定理可得，证得，可得，即可判断③；当时，证明，可得，再利用等量代换即可判断④． 【详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，故①正确； ∵， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ∴，即，故②正确； 当最小时，点M、N分别为、中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】 本题考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 相似三角形——动点问题题型01 1．如图1，在中，，，点是上一点，其中．点沿从点运动到点，设的长度为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则图中最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题图，可知当，即在点时，，当点运动到点时，的值最小，最小值为的长，设，则，由相似三角形的性质得出，即，然后求出的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：由题图，可知当，即在点时，， ∵， ∴当点运动到点时，的值最小，最小值为的长， 设，则， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ， ∴，即， ∴点的坐标为， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 3．如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出两种情况，再求出即可． 【详解】解：设经过秒，与相似，则，，， ， 可分为以下两种情况： ①当时， ， ∴， 解得； ②当时， ， ∴． 解得． ∴经过秒或秒，与相似． 5．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值； （2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，的最大值为． （2）解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 运用相似三角形解决最值问题题型02 1．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，直角梯形的性质和二次函数的最值问题．过点D作，垂足为点H，与相交于点M．证明，利用相似三角形的性质得到．再利用矩形的面积公式得到，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点H，与相交于点M． ∵，四边形为矩形， ∴四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，，． ∴，，． ∵， ∴，． ∴， ∴，即． ∴． ∴． ∴当时，矩形的面积最大，此时． 所以，矩形两边长x，y的值为15，12． 故选：D． 2．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先求出，，的长度，当，即时，的值最小，根据，求出最小值 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，． ． F是的中点， ． 当，即时，的值最小． ，， ． ，即． . 故答案为：． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 【答案】 【分析】如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD＋DM最小，由△AOB∽△AME，得到对应线段成比例，即可解决问题． 【详解】解：作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O， 作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD＋DM最小（垂线段最短）． ∵AB＝AC＝10，AE⊥BC， ∴BO＝OC＝8，AO＝＝＝6， ∴∠BAO＝∠EAM，∵∠AOB＝∠AME， ∴△AOB∽△AME， ∴， ∴， ∴EM＝， ∴AD＋DM最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型． 5．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)① 【分析】（1）用待定系数法解题即可； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴交于点E，设P点的横坐标为x，则表示的长，根据解题即可；②过点P作轴交于点M，设P点的横坐标为x，表示的长，利用解题． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①当时，， ∴， 设的解析式为，代入得： ，解得 ∴ 如图，过点P作轴交于点E， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大为； ②如图，过点P作轴交于点M， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∵轴 ∴ ∴ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式、图象和性质，掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.3 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明三角形的对应线段成比例 题型02 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长 题型03 利用三角形高，中线，角平分线之比等于相似比求线段长度 题型04 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长 题型05 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积 题型06 利用相似三角形的性质求解 题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 相似三角形的判定与性质综合 B组 能力进阶 题型01 利用相似求坐标 题型02 运用相似三角形解决折叠问题 题型03 运用相似三角形解决裁剪问题 题型04 运用相似三角形探究线段之间的关系 题型05 运用相似三角形解决尺规作图问题 题型06 运用相似三角形解决多结论问题 C组 思维拔高 题型01 相似三角形——动点问题 题型02 运用相似三角形解决最值问题 证明三角形的对应线段成比例题型01 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 2．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 3．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 4．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 5．我们知道两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应角的外角的平分线之比是否等于相似比呢？例如：如下图，已知，且与的相似比是，分别是和的外角平分线，那么是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长题型02 1．如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（   ） A．8 B．10 C． D． 2．如图，，、相交于点E，，且，则的长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．16 3．如图，在中，E为上一点，延长至点F，连接．若，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 4．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM:MB=2:3，AD=2，BC=7．求MN的长． 利用三角形高，中线，角平分线之比等于相似比求线段长度题型03 1．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 3．如图，在中，边，高，矩形的一边在上，两个顶点P、 Q分别在、上．如果，那么矩形的面积为_____． 4．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么_____． 5．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长题型04 1．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的周长比是（　　） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（    ） A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知，若与的面积比为，则与的周长比为________ ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD=8，那么CD的长是 _____． 5．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则______． 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积题型05 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 4．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形。如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1）, 在网格中画出一个与相似且面积最大的格点，的面积为________．      5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求． 利用相似三角形的性质求解题型06 1．如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，，则的长为______． 4．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3． （1）求CE的长； （2）求证：BC⊥AD． 5．如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点． (1)若，且，求的度数； (2)若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值． 在网格中画与已知三角形相似的三角形题型07 1．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 3．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 5．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使； (2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 相似三角形的判定与性质综合题型08 1．如图，为等边边上一点，，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 2．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 3．如图，，． (1)求证： (2)如果 ，，求的长． 4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当时，求的值； （2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．       5．如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 利用相似求坐标题型01 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 3．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    4．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段，的长是一元二次方程的两根，，． (1)求点A，的坐标； (2)反比例函数的图象经过点，求的值； (3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，A为顶点的三角形相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 运用相似三角形解决折叠问题题型02 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 2．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________． 3．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：． 5．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处． (1)如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长； ②求证：四边形BCPD是平行四边形． (2)如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长． 运用相似三角形解决裁剪问题题型03 1．（2026·江西九江·一模）如图，一张锐角纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（    ） A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm 3．（25-26九年级上·上海·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 4．探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 运用相似三角形探究线段之间的关系题型04 1．如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 2．如图，在中，，，点在边上，（不与点，重合）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 运用相似三角形解决尺规作图问题题型05 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，在边上取一点，作出的中线； (2)在图2中，在边上取一点，使得； (3)在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得． 3．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 4．如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作中的角平分线； (2)在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； (3)在图3中，作以为直径的的切线． 5．（26-27九年级上·上海·学情自测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 运用相似三角形解决多结论问题题型06 1．如图在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．明明同学根据已知条件，得出下列结论，其中正确的有（    ）个． （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（      ） A．AE⊥AF B．EF∶AF=∶1 C．AF2=FH·FE D．FB∶FC=HB∶EC 3．如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：① 的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（    ）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 4．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 5．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接、：以下四个结论正确的有 _________（填序号）． ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时； ④当时，． 相似三角形——动点问题题型01 1．如图1，在中，，，点是上一点，其中．点沿从点运动到点，设的长度为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则图中最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 3．如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则____________． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？ 5．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 运用相似三角形解决最值问题题型02 1．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 5．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $