31.2.2 第2课时 相似三角形的判定定理3-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第2课时 相似三 巴知识要点扫描 1.相似三角形判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 △A'B'C'中， ..ABBC AC ·A'B=B'C=AC: .△ABCp△A'B'C' 2.直角三角形相似判定定理 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形 相似.用符号语言表示：如下图，在Rt△ABC和 R△ABC'中，：AB=AC ABAC ∴.Rt△ABCORt△A'B'C' 色经典例题剖析 【例1】如右图，在△ABC中， D,E分别是△ABC的边AB, AC上的点，AD=3,AE=6,DEB =5,BD=15,CE=3,BC=15.根据以上条件， 你认为∠B=∠AED吗？请说明理由. 【点拨】要说明∠B=∠AED,只需要说明 △ABCO△AEDP可.由于S-铝-是 3,根据“三边成比例的两个三角形相似”可得 △ABCP△AED,从而可得∠B=∠AED 【解】∠B=∠AED.理由如下： 由题意，得AB=AD十BD=3十15=18， AC=AE+CE=6+3=9, 角形的判定定理3 6号=80g=8是5-8 。。 AC AB CB AD-AEDE△ABC△AED, ∴.∠B=∠AED 【例2】如右图，AB是⊙O的 直径，BE是⊙O的切线，△ACD 内接于⊙O,连接AE.若∠ADC =125°，AB2=AE·AC,则∠E 的度数为 【点拨】如图，连接BC ,四边形ABCD是圆内接 四边形，∠ADC=125°， .∴.∠ABC=180°- 125 =55°. ,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90° ,BE是⊙O的切线，∴.∠ABE=90°. :AB=AE·AC,即AE=AB AB AC ∴.Rt△ABEORt△ACB, ∴.∠E=∠ABC=55°. 【解】55 已基础对点训练 知识点①用三边判定三角形相似 1.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9cm,△DEF的一边长为4cm.要使这两个三 角形相似，则△DEF的另两边长可以为(C) A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 2.如图，D,E,F分别是BC,AC, AB的中点，则△DEF与△ABC (A）B4 A.相似 B.不相似 第2题图 C.全等 D.无法确定 下册第三十一章 3.如图，D是△ABC内一点，点E在线段BD 的延长线上，BE与AC交于点O,分别连接 ADAE,CE.若把怨-S则下列结 论一定正确的是 (D) A.CE∥AD B.BD=AD C.∠ABE=∠CBED.∠BAD=∠CAE 第3题图 第5题图 4.一个三角形木架三边长分别是75cm, 100cm,120cm.现要再做一个与其相似的 三角形木架，而只有长为60cm和120cm 的两根木条，要求以其中一根为一边，从 一根截下两段作为另两边（允许有余料），则 不同的截法有 (B) A.一种 B.两种C.三种D.四种 5.(教材变式)如图，△ABC与△DEF的顶点 均在网格的格点处，则△ABC与△DEF 一定 相似（填“一定”“不一定”或 “一定不”) 6.在△ABC中，AB=8,AC=6;在△DEF中， BC DE=4,DF=3.当EF=2— 时， △ABCp△DEF. 7.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D 在BC边上，分别取AD,AB的中点E,F, 连接CE,CF,EF.求证：∠CFE=∠B. 证明：：∠ACB=90°，E,F 分别为AD,AB的中点， AD,CF= 1 ..CE= 2AB.EF= CE CF EF 1 六AD=ABDB2' ∴.△CEF∽△ADB,∴.∠CFE=∠B. 九年级数学RJ版 知识点② 用斜边、直角边判定直角三角形 相似 8.已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别 为1,4和3,12，则这两个直角三角形(A) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.以上都不对 9.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F= 90°.下列条件中，不能判定这两个三角形相 似的是 (C) A.∠A=55°，∠D=35 B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9 变式题根据已知条件判定相似→补充相 似的条件 如图所示，已知Rt△ABC和Rt△DEF, ∠C=∠F=90°，AB=5,AC=3,DE=6, 当DF= 3.6时，Rt△ABC0 Rt△DEF 0 变式题图 10.如下图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠ACB=∠A'CB'=90°，CD,C'D'分别是 两个三角形斜边上的高，且CD:C'D'= AC:A'C'.求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明：CD,CD 分别是两个三角 形斜边上的高， ∴.∠ADC= ∠A'D'C'=90. 又CD:CD'=ACAC, .Rt△ADC∽R△A'D'C',∴∠A=∠A' 又：∠ACB=∠A'CB'=90°， ∴.△ABC△A'B'C'.◆一题多解法 如图，过点E作EF∥AB,交 BC于点F.,E是AD的中 点，BF=DF,EF是 △ABD的中位线，.EF=B 2AB=1.BD 2CD, 1 ∴.DF=CD.AD⊥BC,DE所在直线垂直 平分CF,∴.EC=EF=1. 11.解：示例：选择①. 证明：△ACD∽△A'C'D', ∠Ac-∠ADC,品品. ∴.∠ADB=∠A'D'B' 0000 ÷B0-0△ABD△ABn 12.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 AD PD 4 PD PC=BC时，△APD∽△PBC,即10-PD=4,解 得PD=2或PD=8:②当AC=P2时，△PAD △PBC,即4=1O-PD解得PD=5.综上所述，Dp 的长度是2或8或5. 第2课时相似三角形的判定定理3 1.C2.A3.D 4.B【解析】，长120cm的木条与三角形木架的最长边 相等，∴.长120cm的木条不能作为一边. 设从长120cm的木条上截下的两段分别长xcm, ycm(x<y,x+y≤120)，易得长60cm的木条不能与 长75cm的一边对应. 当长60cm的木条与长10cm的一边对应时，有元 y60 120-100x=45,y=72,符合题意： 当长60cm的木条与长120cm的一边对应时，有7污 y60 100-120x=37.5,y=50,符合题意.故不同的截 法有两种. 5.一定6.2 7.证明：：∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， CE-TAD.CF-TAB.EF-DB, 需器器 .△CEFc∽△ADB,∴.∠CFE=∠B. 8.A9.C变式题3.6 42 九年级数学RJ版 10.证明：，CD,C'D'分别是两个三角形斜边上的高， .∠ADC=∠A'D'C'=90°」 又CD:C'D'=AC:A'C, .Rt△ADC∽Rt△A'D'C',∴∠A=∠A'. 又：∠ACB=∠A'C'B'=90°， .△ABC∽△A'B'C'. 解题模型专练相似三角形的基本模型 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中， (∠ABO=∠DCO, ∠AOB=∠DOC, OA=OD. ∴.△AOB2△DOC(AAS). (2)'△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. ,EF∥CD,.△BCD△BEF, 品能即品3EF= CD BC ,23 2.C【解析】，DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE=专BC=×6=3, .△DEFp△BMF, DE DF 2BF 六BMBF=BF=2, 2·CM=BC士BM-5, 3 .BM=- 3证明，（将查A字型）：DH/B小留品能 器 AD是BC边上的中线，∴.CD=BD, CH-FH-7CF, 能mC正 CF· (构造“X”字型)，AD是BC边上的中线， ∴BD=2BC DK∥AC,∴.△BDK∽△BCF,△DEK∽△AEF, ÷批8识能Dx-c. 能架- 2Ch CF· 4.B 5.2【解析】：AD=4,BD=5,AC=6.AC=6 9 3AB_4+5_=3.:AC=AB.:∠CAD=∠BAC, 2'AC62…AD=AC △ABCn△ACD.S设-台CD=3,BC 9 2 6.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC=√62+8 =10. :∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠CAB=∠ADB. 又：∠CBA=∠ABD,∴.△CBA∽△ABD, 8断即品-日0-6 (2)证明：由(1)，得△CBA∽△ABD, 、BAAC.BABD ∴∠C=∠FAD·BDDA·ACDA E为AC的中点，AD⊥BC, ∴.ED=AE=EC, ∴.∠EDC=∠C=∠FAD ∠FDB=∠EDC,.∠FDB=∠FAD. 又：∠F=∠F,∴.△DBF∽△ADF, 册E器 .BA·AF=AC·DF. 7.C【解析】：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90° 将矩形ABCD沿DE折叠， .AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°， ,∴.∠BFE+∠DFC=∠BFE十∠BEF=90°， ∠BEF=∠CPD.△BEF∽△CFD5-E CD=3BF...CF=3BE=12. 设BF=x.CD2十CF2=DF2, .(3x)2+12=(x十12)2，解得x1=3,x2=0(舍去)， ..AD=BC=3+12=15. 8.解：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠ABC=70°， ∴.∠D=∠A=180°-∠ABC=180°-70°=110°， ,∴.∠DFE+∠DEF=180°-110°=70°. ,∠BEF=110°， ∴.∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°， ∴.∠DFE=∠AEB,∴.△DFE∽△AEB, ÷E-欲即四-8号解得DF-2 31.2.3相似三角形的性质 1.C2.B3.D .AB 3 4.解：AB=15cm,A'B'=10cm心AB=2 AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线， △AC△ABC0-滑-2 又：AD+A'D'=15cm,.AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.A 7.30【解析】由题意，得℃A。3 1C大三角形=5 设大三角形的周长为5.xcm,则小三角形的周长为 3x cm, .5x-3x=12,解得x=6,.5.x=30. 故大三角形的周长为30cm. 8.D【解析】，DE∥BC,∴.△ADE△ABC. 沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ,∴.△ADE的面积是原△ABC面积的一半， 1 2 S△Ac2' .AD AB 22 9.1510.411.10变式题3 12.解：(1)证明：：∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴.△DACc∽△ABC. (2)设△DAC的面积为S. ,△ABD的面积为15， .△ABC的面积为15+S. 又.'△DAC∽△ABC, (验)=()- 1 即15十s=4,解得S=5, ∴.△DAC的面积为5. 13.5+1 4 解题方法专题作相似三角形的常用辅助线 1.解：如图，过点E作EH∥AC交BD于点H, ÷△BEHO△BCD,08 EH 3EC 3 :BE=3EC,小CD-4EC4 D是AC的中点，∴AD=CD 器 :EH∥AD,.△AFD∽△EFH,心EF=EH=3 AF AD 4 2.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF. ∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中，OA=OC, ∠AOE=∠COF, .∴.△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF. (2)如图，过点O作ON∥BC交AB 于点N,则△AON∽△ACB, 台器0 0A=0c8 下册详解详析 3