31.2.2三角形相似的判定（第1课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 以“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”判定定理为核心，分层设计基础理解、技能应用、综合拓展三级练习，通过图形辨析、推理证明、实际情境问题培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |利用“两角分别相等”判定|单一判定定理的基础理解|图形剪开、尺规作图等情境强化几何直观，如第1题图形辨析、第7题作图| |利用“两边成比例且夹角相等”判定|第二判定定理的技能应用|结合网格计算（第11题）、线段求值（第9题），培养运算能力与推理意识| |综合应用|两定理综合运用及拓展|中考真题（如第14题）、多条件辨析（第15题）提升综合推理与创新意识|

分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第1课时） 目 录 1 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似 1 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似 4 三角形相似的判定定理的综合应用 6 9 12 16 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似题型01 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 2．（2026·河北石家庄·中考一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 3．（2024-2025·九年级上·河南新乡·期中）下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 4．如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 【答案】B 【详解】解：和相交于O点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有：；；；；；，共6对相似三角形． 故选：B． 5．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 【答案】∠B=∠DEC（不唯一） 【详解】可添加，理由如下： 故答案为： 6．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【详解】证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 7．如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图，点即为所求； 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似题型02 8．（2025-2026·九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 9．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 10．（2026·广东广州·中考二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【详解】证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． 11．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； ． (2)解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵， ，， ， ∴． ∴， ∴． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 12．如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 13．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即. 14．（2025-2026·八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A B C A.如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B.如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C.如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D.∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 15．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：， ∴； ， ∴，即， ∵， ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ， ∴； ， ∴，无法得到， 所以一共有4个． 1．（2026·广东广州·中考二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，点是的内心，的延长线与相交于点，交的外接圆于点， (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵E是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵E是的内心， ∴，， ∵，， 且， ∴， ∴． 3．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末） 如图1，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图2，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图3，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 图1 图2 图3 【详解】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【详解】解：猜想① 设等腰中，，腰上的高为； 等腰中，， 腰上的高为，且 则与可能相等或互补， 若，， 两三角形顶角互补，底角分别为和，形状不同，不相似； ∴猜想① 错误 分析猜想② 设等腰中，底边，底边高； 等腰中，底边，底边高，且 ∵等腰三角形底边高平分底边， ∴，， 则 又∵， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴ ，等腰中，等腰中， 故， ∴ （两角对应相等，两三角形相似） ∴ 猜想② 正确 综上，① 错误② 正确， 故选A 2．如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【详解】(1)证明：矩形中，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 由条件可知， ∴， 解得， 在中，； (3)证明：如图，延长和交点H， ，，， ， ， ， ， 由（1）， ， 是矩形的边的中点， ， ， ． 3．（2025-2026·九年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图1，先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到．过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明：如果不相似，请说明理由； 阅读上述内容，完成以下任务： (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． (3)如图3所示，小华将矩形纸片换成正方形纸片，探究过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接．已知正方形纸片的边长为，改变点在上的位置（点不与点重合），当时，直接写出的长． 【详解】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点D、Q、A三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)解：，理由如下： 作的斜边上的中线， 则， 由题意得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)由折叠的性质，得，，，， 又∵ ， ． 分两种情况： ①当点在线段上时． ， ，． ， ， ； ②当点在线段上时． ， ，． ， ， ． 综上所述，的长为或． 1．（2022·湖南邵阳·中考）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 2．（2026·四川凉山州·中考）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 2．（2025·河北·中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2024·广东广州·中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【详解】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4．（2026·山东烟台·中考）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【详解】(1)如图所示： （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第1课时） 目 录 1 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似 1 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似 2 三角形相似的判定定理的综合应用 3 4 5 7 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似题型01 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·中考一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C．D． 3．（2024-2025·九年级上·河南新乡·期中）下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 4．如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 第4题图 第5题图 5．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 6．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 7． 如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似题型02 8．（2025-2026·九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A．B．C．D． 9．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2026·广东广州·中考二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 11．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 12．如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 第12题图 第13题图 13．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 14．（2025-2026·八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 15．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 1．（2026·广东广州·中考二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 2．如图，点是的内心，的延长线与相交于点，交的外接圆于点， (1)求证：； (2)求证：． 3．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末） 如图1，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图2，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 图1 图2 图3 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图3，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 1．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 2．如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 3．（2025-2026·九年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图1，先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到．过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明：如果不相似，请说明理由； 阅读上述内容，完成以下任务： (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． (3)如图3所示，小华将矩形纸片换成正方形纸片，探究过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接．已知正方形纸片的边长为，改变点在上的位置（点不与点重合），当时，直接写出的长． 1．（2022·湖南邵阳·中考）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 第1题图 第2题图 第3题图 2．（2026·四川凉山州·中考）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 4．（2026·山东烟台·中考）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.2三角形相似的判定（第1课时） 目 录 1 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似 1 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似 4 三角形相似的判定定理的综合应用 6 9 12 16 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似题型01 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．（2026·河北石家庄·中考一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 3．（2024-2025·九年级上·河南新乡·期中）下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 4．如图，和是的高，则图中相似三角形共有（　　） A．3对 B．6对 C．2对 D．4对 【答案】B 5．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 【答案】∠B=∠DEC（不唯一） 6．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【详解】证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 7．如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图，点即为所求； 利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似题型02 8．（2025-2026·九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 9．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 10．（2026·广东广州·中考二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【详解】证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． 11．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【详解】（1）； ． (2)解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵， ，， ， ∴． ∴， ∴． 三角形相似的判定定理的综合应用题型03 12．如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 13．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 14．（2025-2026·八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 15．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 1．（2026·广东广州·中考二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【详解】（1）解：； (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，点是的内心，的延长线与相交于点，交的外接圆于点， (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵E是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵E是的内心， ∴，， ∵，， 且， ∴， ∴． 3．（2025-2026·八年级下·吉林长春·期末） 如图1，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图2，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图3，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 图1 图2 图3 【详解】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 2．如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【详解】(1)证明：矩形中，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 由条件可知， ∴， 解得， 在中，； (3)证明：如图，延长和交点H， ，，， ， ， ， ， 由（1）， ， 是矩形的边的中点， ， ， ． 3．（2025-2026·九年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图1，先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到．过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明：如果不相似，请说明理由； 阅读上述内容，完成以下任务： (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． (3)如图3所示，小华将矩形纸片换成正方形纸片，探究过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接．已知正方形纸片的边长为，改变点在上的位置（点不与点重合），当时，直接写出的长． 【详解】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点D、Q、A三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)解：，理由如下： 作的斜边上的中线， 则， 由题意得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)的长为或． 1．（2022·湖南邵阳·中考）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 2．（2026·四川凉山州·中考）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．（2025·河北·中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．（2024·广东广州·中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【详解】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4．（2026·山东烟台·中考）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【详解】(1)如图所示： （2）解：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $