第4章 一元一次方程 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年苏科版数学七年级上册易错题重难点培优讲义

第4章 一元一次方程 知识点1：方程与一元一次方程 　　1.方程：含有未知数的等式。 　　2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，且两边都是整式。 　　3.一般形式：（，a、b为常数）。 知识点2：方程的解 　　1.解方程：求方程解的过程；方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 　　2.检验：把解代入方程，看左右两边是否相等。 　　3.解与方程一一对应，代入可求参数。 知识点3：等式的性质 性质 内容 性质1 等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等 注意 除以的那个数不能为0 知识点4：移项与合并同类项 　　1.移项：把方程中某一项变号后从一边移到另一边。 　　2.依据是等式性质1；移项必须变号。 　　3.合并同类项：把含x的项合并，系数相加。 知识点5：去括号解方程 　　1.依据分配律；括号前为负号时各项变号。 　　2.系数要乘每一项。 　　3.多层括号由内向外去。 知识点6：去分母解方程 　　1.方程两边都乘各分母的最小公倍数。 　　2.分子是多项式时要去掉分数线并加括号。 　　3.不含分母的项也要乘，不能漏乘。 知识点7：解一元一次方程的一般步骤 　　去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1（有括号先去括号，有分母先去分母）。 知识点8：列方程解应用题的步骤 　　1.审题意；2.设未知数；3.找等量关系；4.列方程；5.解方程；6.检验作答。 知识点9：常见应用题型 类型 关键等量关系 要点 利润 利润=售价－进价，利润率=利润÷进价 折扣=售价÷标价 行程 路程=速度×时间；相遇、追及 相向、同向看方向 工程 工作量=效率×时间 总工作量看作1 数字 两位数=十位×10+个位 弄清数位意义 方案 两种方案费用相等 分类讨论择优 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 移项 移项不变号 移项必须变号 去分母 漏乘不含分母项、分子忘加括号 每项都乘公倍数，分子整体加括号 去括号 负号前漏变号 括号前为负各项变号 应用题 解后不检验实际意义 解要符合实际再作答 【易错题型】 【题型1】去分母解方程 　　1.易错点总结 　　（1）去分母时漏乘不含分母的项； 　　（2）分子是多项式时忘加括号； 　　（3）去分母后符号错误。 　　2.纠错技巧 　　（1）方程两边都乘各分母最小公倍数； 　　（2）分子多项式整体加括号； 　　（3）每项都要乘，不漏项。 【例题1】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程： 【变式题1-1】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程： 【变式题1-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 【基础题型】 【题型2】一元一次方程的识别 　　解题技巧： 　　（1）判整式、一个未知数、次数为1； 　　（2）含等号； 　　（3）化简后再判断； （4）由定义求参数。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【题型3】方程的解与检验 　　解题技巧： 　　（1）代入方程验证； 　　（2）由解求参数； 　　（3）解与整式对应值的关系； （4）表格中找解。 【例题3】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（     ） 0 1 3 3 A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型4】等式的性质 　　解题技巧： 　　（1）加同数、乘同数（非0）仍相等； 　　（2）变形依据判断； 　　（3）除以的数不为0； （4）天平、图形情境建模。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【题型5】解一元一次方程 　　解题技巧： 　　（1）按步骤：去括号、移项、合并、系数化1； 　　（2）移项变号； 　　（3）检验解； （4）含分母去分母。 【例题5】.（26-27七年级上·北京昌平·期中）解方程： (1) (2) 【变式题5-1】.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）解方程： (1)； (2)； 【变式题5-2】.（26-27六年级上·上海·阶段检测）解方程： 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）求未知数，要求写出必要的解题过程． (1) (2) (3) (4) 【提升题型】 【题型6】根据解的关系求参数 　　解题技巧： 　　（1）同解：先解一方程再代入另一方程； 　　（2）相反数、差关系列方程； 　　（3）解是整数、非负分类讨论； （4）解出参数验证。 【例题6】.（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【题型7】程序框图与方程求值 　　解题技巧： 　　（1）按流程列代数式； 　　（2）由输出求输入列方程； 　　（3）判断条件分支； 　　（4）多解时逐个验证。 【例题7】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（   ） A． B．8 C．9 D．12 【变式题7-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的程序图中，若输入，则输出结果为161；若输入，则输出结果为80．若输出结果为71，则输入正整数m的值为（   ） A．7 B．23 C．4或23 D．7或23 【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，一个数从A出发，按逆时针方向进行计算．若在A处输入x，能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，则输入的x值为______．（用含m的代数式表示） 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）数学兴趣小组设计了一台“智能运算器”，输入一对数，它会按照以下程序操作： 若输入一对数 ，且，输出结果为，则满足条件的正整数对为__________． 【题型8】整体思想解方程 　　解题技巧： 　　（1）把相同部分看作整体换元； 　　（2）先解整体； 　　（3）再代回求x； （4）简化计算。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【背景资料】阅读材料并解答下列问题：“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化． 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【迁移运用】 (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，，求代数式的值； (3)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． 【题型9】利润与打折问题 　　解题技巧： 　　（1）进价、标价、售价、利润关系； 　　（2）折扣=售价÷标价； 　　（3）总利润＝单件利润×销量； （4）列方程求解。 【例题9】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了_____件衬衫． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某商场做活动，其中一个型号的手机第一次降价，第二次又在降价的基础上再降，两次降价后手机售价为1620元，则这个型号的手机原价为________元． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【变式题9-3】.（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【题型10】行程与工程问题 　　解题技巧： 　　（1）相遇：甲路程+乙路程=总路程； 　　（2）追及：快者路程差=开始距离； 　　（3）工程：效率×时间=1； （4）设速度或时间列方程。 【例题10】.（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【变式题10-1】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）一个米长的传送带正以米/秒的速度向前运行．某时刻，到达传送带的起点，并站在传送带上随传送带一起前行．秒后，到达传送带的起点，并相对于传送带以米/秒的速度沿着传送带方向前行；再过秒，到达传送带的起点，请问需以怎样的速度（相对于传送带的速度）才能追上、，三人汇合在一个点上？ 【变式题10-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【培优题型】 【题型11】含绝对值的一元一次方程 　　解题技巧： 　　（1）分类讨论去绝对值（±）； 　　（2）利用数轴距离； 　　（3）解的个数与参数有关； （4）检验各分支解。 【例题11】.（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）满足的a的值的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在 【变式题11-1】.（2026七年级上·浙江·专题练习）解方程： 【变式题11-2】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）解方程： (1) (2) 【变式题11-3】.（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【题型12】方案设计与综合应用 　　解题技巧： 　　（1）分类讨论不同方案； 　　（2）各方案列方程比较； 　　（3）结合实际意义择优； 　　（4）项目式建模与验证。 【例题12】.（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【变式题12-2】.（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【变式题12-3】.（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某运算程序如图所示，若输入的值是3，则输出的值是1；若输出的值是，则输入的值是______． 3．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）三阶幻方的游戏规则：将数字填入个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，那么其中的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是________________． 5．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）若，则___． 6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 三、解答题 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 8．（26-27六年级上·山东济南·期中）请根据图示的对话解答下列问题． (1)分别求出和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知是最小的正整数，是2的相反数，计算：的值． 9．（26-27六年级上·上海闵行·期中）在“校园读书节”活动中，小李计划用三天读完一本课外书．他第一天阅读了全书的，第二天阅读了全书的． (1)小李第一天的阅读量是第二天的阅读量的几分之几？ (2)如果这本书共页，那么小李第三天阅读的页数比第二天少几页？ (3)如果小李前两天阅读的总页数比第三天多页，那么这本课外书共有多少页？ 10．（2026七年级上·全国·专题练习）若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)判断方程是否为方程的“后移方程”：________；（填“是”或“否”） (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程 知识点1：方程与一元一次方程 　　1.方程：含有未知数的等式。 　　2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，且两边都是整式。 　　3.一般形式：（，a、b为常数）。 知识点2：方程的解 　　1.解方程：求方程解的过程；方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 　　2.检验：把解代入方程，看左右两边是否相等。 　　3.解与方程一一对应，代入可求参数。 知识点3：等式的性质 性质 内容 性质1 等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等 注意 除以的那个数不能为0 知识点4：移项与合并同类项 　　1.移项：把方程中某一项变号后从一边移到另一边。 　　2.依据是等式性质1；移项必须变号。 　　3.合并同类项：把含x的项合并，系数相加。 知识点5：去括号解方程 　　1.依据分配律；括号前为负号时各项变号。 　　2.系数要乘每一项。 　　3.多层括号由内向外去。 知识点6：去分母解方程 　　1.方程两边都乘各分母的最小公倍数。 　　2.分子是多项式时要去掉分数线并加括号。 　　3.不含分母的项也要乘，不能漏乘。 知识点7：解一元一次方程的一般步骤 　　去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1（有括号先去括号，有分母先去分母）。 知识点8：列方程解应用题的步骤 　　1.审题意；2.设未知数；3.找等量关系；4.列方程；5.解方程；6.检验作答。 知识点9：常见应用题型 类型 关键等量关系 要点 利润 利润=售价－进价，利润率=利润÷进价 折扣=售价÷标价 行程 路程=速度×时间；相遇、追及 相向、同向看方向 工程 工作量=效率×时间 总工作量看作1 数字 两位数=十位×10+个位 弄清数位意义 方案 两种方案费用相等 分类讨论择优 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 移项 移项不变号 移项必须变号 去分母 漏乘不含分母项、分子忘加括号 每项都乘公倍数，分子整体加括号 去括号 负号前漏变号 括号前为负各项变号 应用题 解后不检验实际意义 解要符合实际再作答 【易错题型】 【题型1】去分母解方程 　　1.易错点总结 　　（1）去分母时漏乘不含分母的项； 　　（2）分子是多项式时忘加括号； 　　（3）去分母后符号错误。 　　2.纠错技巧 　　（1）方程两边都乘各分母最小公倍数； 　　（2）分子多项式整体加括号； 　　（3）每项都要乘，不漏项。 【例题1】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 【答案】 任务一：2，一，去分母时常数项漏乘； 任务二：见解析 【分析】根据一元一次方程的解法解题即可． 【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这一步错误的原因是去分母时常数项漏乘； 任务二：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【基础题型】 【题型2】一元一次方程的识别 　　解题技巧： 　　（1）判整式、一个未知数、次数为1； 　　（2）含等号； 　　（3）化简后再判断； （4）由定义求参数。 【例题2】.（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥ ①⑥ 【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式）和一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； ②，不是等式，不是方程，也不是一元一次方程； ③，是含有未知数的等式，是方程；含两个未知数，不是一元一次方程； ④，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑤，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑥，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； 综上，是方程的为①③④⑤⑥，是一元一次方程的为①⑥． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的限制条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解： 是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 【题型3】方程的解与检验 　　解题技巧： 　　（1）代入方程验证； 　　（2）由解求参数； 　　（3）解与整式对应值的关系； （4）表格中找解。 【例题3】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（     ） 0 1 3 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程解的问题转化为多项式的值为时的取值问题，结合表格查找． 【详解】解：由表格得，当时，， ∴方程的解为． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 【题型4】等式的性质 　　解题技巧： 　　（1）加同数、乘同数（非0）仍相等； 　　（2）变形依据判断； 　　（3）除以的数不为0； （4）天平、图形情境建模。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：取，，． 此时，但，故A错误． 若，则，，均成立， 故B、C、D正确． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】优先验证涉及除法的等式变形，判断除数是否可能为0，可快速找到错误选项． 【详解】解：∵， ∴，，A、B选项变形正确，不符合题意． ∵当时，恒成立，此时与不一定相等， ∴由不能直接推出，C选项变形错误，符合题意． ∵， ∴，D选项变形正确，不符合题意． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 【题型5】解一元一次方程 　　解题技巧： 　　（1）按步骤：去括号、移项、合并、系数化1； 　　（2）移项变号； 　　（3）检验解； （4）含分母去分母。 【例题5】.（26-27七年级上·北京昌平·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项合并同类项，将未知数系数化为求解； （2）先去括号，再移项合并同类项，将未知数系数化为求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过去分母，合并同类项，一次项系数化为1等步骤逐一求解即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤逐一求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以8，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以6，得； （2）解：， 方程两边同乘以15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 【变式题5-2】.（26-27六年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）求未知数，要求写出必要的解题过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【提升题型】 【题型6】根据解的关系求参数 　　解题技巧： 　　（1）同解：先解一方程再代入另一方程； 　　（2）相反数、差关系列方程； 　　（3）解是整数、非负分类讨论； （4）解出参数验证。 【例题6】.（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系． (1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可； (2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 【题型7】程序框图与方程求值 　　解题技巧： 　　（1）按流程列代数式； 　　（2）由输出求输入列方程； 　　（3）判断条件分支； 　　（4）多解时逐个验证。 【例题7】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（   ） A． B．8 C．9 D．12 【答案】D 【详解】解： 当输入时，， ， 解得： 当时，， ∴输出的值为． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的程序图中，若输入，则输出结果为161；若输入，则输出结果为80．若输出结果为71，则输入正整数m的值为（   ） A．7 B．23 C．4或23 D．7或23 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值、一元一次方程的应用等，读懂程序框图的规则、从而正确列出算式是解题的关键． 根据输出的结果71，结合程序框图依次倒推即可． 【详解】解：若，则有； 若，则有； 若，则有； ∵为正整数， ∴满足条件的的正整数值为23或7． 故选：D 【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，一个数从A出发，按逆时针方向进行计算．若在A处输入x，能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，则输入的x值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】先根据题意列代数式，进而列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：；；：； ∵从A处输入的x值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同， ∴，整理得：，解得：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）数学兴趣小组设计了一台“智能运算器”，输入一对数，它会按照以下程序操作： 若输入一对数 ，且，输出结果为，则满足条件的正整数对为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题；关键是根据的取值进行分类讨论；根据且为正整数，分别求出的值，再根据是正整数和的大小逐一判断即可． 【详解】解：∵且为正整数， ∴当时， 若，则，即：，，符合题意； 若，则，即：，解得：（舍）； 当时， 若，则，即：，解得：（舍）； 若，则，即：，解得（舍）； 当时， 若，则，即：，解得：（舍）； 若，则，即：，解得：（舍）； 综上：满足条件的为：， 故答案为：． 【题型8】整体思想解方程 　　解题技巧： 　　（1）把相同部分看作整体换元； 　　（2）先解整体； 　　（3）再代回求x； （4）简化计算。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】识别两个方程的结构特征，利用整体代换简化计算． 【详解】解：∵， ∴． 令，则． ∵的解为， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【背景资料】阅读材料并解答下列问题：“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化． 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【迁移运用】 (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，，求代数式的值； (3)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． 【答案】(1) (2)19 (3) 【分析】本题考查了合并同类项、求代数式值、解一元一次方程，运用“整体思想”解决问题是解题的关键． （1）仿照题意的方法，合并同类项即可； （2）根据求出的值，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把看成一个整体，移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ； （3）解： 解得． 【题型9】利润与打折问题 　　解题技巧： 　　（1）进价、标价、售价、利润关系； 　　（2）折扣=售价÷标价； 　　（3）总利润＝单件利润×销量； （4）列方程求解。 【例题9】.（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了_____件衬衫． 【答案】40 【分析】设总进货件数为未知数，根据总获利等于原价销售利润加打折销售利润，列出一元一次方程求解． 【详解】解：设商店一共进了件衬衫，则按原价售出件． 根据题意列方程得：， 化简得：， ， ， 解得， ∴商店一共进了40件衬衫． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某商场做活动，其中一个型号的手机第一次降价，第二次又在降价的基础上再降，两次降价后手机售价为1620元，则这个型号的手机原价为________元． 【答案】2000 【分析】设手机原价为未知数，根据两次降价的规则表示出最终售价，结合最终售价列方程求解． 【详解】解：设这个型号的手机原价为元， 根据题意可列方程： ， 解得， 则这个型号的手机原价为元． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 【变式题9-3】.（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【分析】（1）种商品的利润率用“利润率 ”直接计算，将上述公式变形后，可得“”，代入公式即可求解种商品每件进价． （2）可以设购进种商品件，则购进种商品件，由于总进价是元，根据等量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 【题型10】行程与工程问题 　　解题技巧： 　　（1）相遇：甲路程+乙路程=总路程； 　　（2）追及：快者路程差=开始距离； 　　（3）工程：效率×时间=1； （4）设速度或时间列方程。 【例题10】.（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【答案】(1)3小时后相遇 (2)出发小时或小时后两车相距40千米 【分析】（1）设两车出发x小时后相遇，根据题意列方程求解即可； （2）设两车出发x小时后相距40千米，根据题意分为相遇前和相遇后进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车出发x小时后相遇， 由题意得， 解得， 答：3小时后相遇； （2）解：设两车出发x小时后相距40千米， 由题意得，相遇前： 解得； 相遇后：， 解得． 答：出发小时或小时后两车相距40千米． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）一个米长的传送带正以米/秒的速度向前运行．某时刻，到达传送带的起点，并站在传送带上随传送带一起前行．秒后，到达传送带的起点，并相对于传送带以米/秒的速度沿着传送带方向前行；再过秒，到达传送带的起点，请问需以怎样的速度（相对于传送带的速度）才能追上、，三人汇合在一个点上？ 【答案】 需以相对于传送带米/秒的速度沿传送带方向前行 【分析】三人汇合点即、的相遇点，先计算、的相遇时间与位置，再推导的相对速度． 【详解】解：设到达传送带起点后经过秒，、相遇， 随传送带匀速运动，速度为米/秒，相遇时的路程为米， ∵比晚出发秒，B相对传送带的速度为米/秒， ∴相对地面的速度为米/秒，相遇时的路程为米， ∵相遇时两人路程相等， ∴，解得， ∴相遇位置距起点的距离为（米）， ∵， ∴相遇点在传送带上，符合题意； 设相对于传送带的速度为米/秒，则相对地面的速度为米/秒， 比晚出发秒， ∴到相遇时的运动时间为秒，运动路程为米， ∵ 三人汇合时位置相同， ∴，解得． 答：需以相对于传送带米/秒的速度沿传送带方向前行． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【答案】(1)1， (2)A工程队一共做了12天 【分析】（1）根据总量为单位“1”和B工程队的工作时间即可求解； （2）设A工程队一共做了天，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设A工程队一共做了天， 根据题意，得， 解得． 答：A工程队一共做了12天． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 【培优题型】 【题型11】含绝对值的一元一次方程 　　解题技巧： 　　（1）分类讨论去绝对值（±）； 　　（2）利用数轴距离； 　　（3）解的个数与参数有关； （4）检验各分支解。 【例题11】.（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）满足的a的值的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】原式变形为，再分和两种情况去绝对值讨论，判断解的情况． 【详解】解：原方程可写为， 当，即时，有，这是一个恒等式，当a取任何大于等于2值时都成立，这样的值有无数个， 当，即时，有，解得，不符合，舍去， 综上满足条件的的值有无数个， 故C选项符合题意． 【变式题11-1】.（2026七年级上·浙江·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值． 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了解一元一次方程，含绝对值的方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去绝对值符号得到，再分情况讨论，解一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，； （2）解：∵， ∴， ①当时，， 若，即时，， 解得（舍）； 若即时，， 解得（舍）； ②当时，， 若，即时，， 解得； 若，即时，， 解得； 综上，原方程的解为或． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 【题型12】方案设计与综合应用 　　解题技巧： 　　（1）分类讨论不同方案； 　　（2）各方案列方程比较； 　　（3）结合实际意义择优； 　　（4）项目式建模与验证。 【例题12】.（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【答案】王强购买A类票4张，购买C类票6张 【分析】设购买A类票x张，则购买C类票张，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设购买A类票x张，则购买C类票张． 根据题意，得． 解得． 则． 答：王强购买A类票4张，购买C类票6张． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 【变式题12-2】.（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 【变式题12-3】.（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某运算程序如图所示，若输入的值是3，则输出的值是1；若输出的值是，则输入的值是______． 【答案】 【分析】先求出的值，之后将分别代入和的情况，再将解出的值看是否符合当前的取值范围． 【详解】解：将和代入， 解得， 当时， 将代入， 得， 不符合，故舍去． 当时， 将代入， 得， 符合， ． 3．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）三阶幻方的游戏规则：将数字填入个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，那么其中的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设第一行第三列的数为a，第二行第二列的数为b，第三行第三列的数为c，由右对角线和第三列、第一行和左对角线可得，求出b，再由第二列可求出幻方的和，再由左对角线可求出c，最后根据第一行和第三列即可求出m值． 【详解】解：设第一行第三列的数为a，第二行第二列的数为b，第三行第三列的数为c，如图， 因为每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等， 根据第一行和第三列得， ∴， 根据右对角线和第三列得， ∴， 根据第一行和左对角线得， ∴， ∴ 解得， 根据第二列可得，幻方的和为， 根据左对角线可得，， ∴ ． 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是________________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入原方程， 解得． 5．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）若，则___． 【答案】或 【分析】先根据绝对值的性质求出的所有可能值，再代入计算的值． 【详解】解：∵， ∴或 ，解得或， 当时，， 当时，， 因此的值为或． 6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 三、解答题 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 8．（26-27六年级上·山东济南·期中）请根据图示的对话解答下列问题． (1)分别求出和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知是最小的正整数，是2的相反数，计算：的值． 【答案】(1)，； (2)，， (3) 【分析】（1）根据相反数、绝对值的意义，再结合求解即可； （2）根据绝对值的非负性以及（1）中的结果求解即可； （3）先求出的值，再代入求解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， 的绝对值是5， ， ， ， ，； （2）解：， ，， 由（1）得，， ，， 解得，； （3）解：由条件可知，， ． 9．（26-27六年级上·上海闵行·期中）在“校园读书节”活动中，小李计划用三天读完一本课外书．他第一天阅读了全书的，第二天阅读了全书的． (1)小李第一天的阅读量是第二天的阅读量的几分之几？ (2)如果这本书共页，那么小李第三天阅读的页数比第二天少几页？ (3)如果小李前两天阅读的总页数比第三天多页，那么这本课外书共有多少页？ 【答案】(1)小李第一天的阅读量是第二天的阅读量的 (2)小李第三天阅读的页数比第二天少页 (3)这本课外书共有页 【分析】（1）根据已知条件用第一天的阅读量除以第二天的阅读量即可得到答案； （2）根据已知条件求出前两天阅读的页数，接着求出第三天阅读的页数，用第二天的页数减去第三天的页数即可； （3）设这本书的总页数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 答：小李第一天的阅读量是第二天的阅读量的． （2）解：第一天阅读（页）， 第二天阅读（页）， 第三天阅读（页）， 第三天比第二天少（页）， 答：小李第三天阅读的页数比第二天少6页． （3）解：设这本课外书共有页，根据题意得， ， 解得， 答：这本课外书共有页． 10．（2026七年级上·全国·专题练习）若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)判断方程是否为方程的“后移方程”：________；（填“是”或“否”） (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义进而列出方程求解即可． 【详解】（1）解： 解得， 解得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； （2）解： 解得， 解得， 根据题意得， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $