第1章 数学与我们同行单元复习（6大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上学期

第1章 数学与我们同行 知识点1：图形与生活 　　1.生活中充满了图形，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识。 　　2.说明：生活中的图形一般由基本的几何图形构成；生活中的图形一般具有特殊的含义，要准确读出图形所具有的含义，不能胡乱猜测。 知识点2：数字与生活 　　1.生活中所遇到的很多数字都蕴含着数学问题，数字已成为人们表达与交流的工具，如身份证号码、高铁票上的数字、学生的学籍号等。 　　2.身份证号码的含义：第1~2位表示省（自治区、直辖市）编码，第3~4位表示市（地区）编码，第5~6位表示县（区）编码，第7~14位表示出生年、月、日，第17位表示性别（奇数表示男性，偶数表示女性），第18位是校验码。 知识点3：动手操作 　　1.动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案，这类问题主要培养学生的创新能力和实践能力。 　　2.动手操作包括折叠、裁剪、拼图等活动，解题时要注意折叠与展开、裁剪与拼合的前后对应关系。 知识点4：运算推理 　　1.数学为我们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式，通过运用符号运算、形式推理等数学方法，能够分析、解决数学问题和实际问题。 　　2.通过运用计算思维，能将各种信息简约和形式化，进行问题求解与系统设计，如时间统筹、数据变化规律的推理等。 知识点5：表达规律 　　1.表达规律主要是指通过探究一些数字或图形信息，寻求其内在的共同之处，并利用数学语言解释与表达。 　　2.解题过程是由特殊向一般转化的过程：先对几个特例进行分析寻找规律并归纳，再猜想符合规律的一般性结论，最后验证结论是否正确。 知识点6：生活中的数学问题 　　1.数学来源于生活，是研究数量关系和空间形式的科学，很多实际问题都可用数学知识求解。 　　2.常见的数量关系：路程＝速度×时间，总价＝单价×数量，工作效率×时间＝工作量等。 【基础必考题型】 【题型1】从图形中获取信息 1.核心知识点 　图形的组成；从图形中抽象出几何图形；图形所蕴含的信息 2.解题方法技巧 　① 观察图形的形状，识别其中的平面图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）和立体图形（长方体、圆柱、圆锥等） 　② 读懂图形的现实意义，如交通标志、安全标志等，准确理解其所传达的信息 　③ 答案不唯一时，说出合理的几何图形组成即可，注意尽量全面 【例题1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下图的卡纸上有一个“L型”的孔，下面的几何体中不能从这个孔中穿过去的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断各选项中的几何体从不同方向看，得到的形状图能否从“L型”的孔穿过去，即可得答案． 【详解】 解：A中几何体从正面看和从左面看，得到的形状图都是，从上面看得到的形状图是，故该几何体不能从这个孔中穿过去，符合题意； B中几何体从左面看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意； C中几何体从左面看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意； D中几何体从左边看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意． 【变式题1-1】.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过．若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式，根据不超过是小于等于的意思即可得到答案． 【详解】解：∵小型汽车在该路段行驶的速度不超过， ∴， 故选：A． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察立体图形可知，其顶面和底面是由两条线段旋转得到的两个大小不同的圆，其侧面是由向内凹陷的曲线旋转而成， 观察四个选项可知，选项A中的图形绕虚线旋转一周可以得到这个立体图形． 【变式题1-3】.（24-25九年级下·江苏淮安·期中）位于淮安市洪泽区县道米处的二河闸桥，由于桥梁主体结构老化，存在较大安全隐患，因此交通部门在此设立了如图限高标志，则通过该桥的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：通过该桥的车高的范围可表示为， 故选：． 【题型2】从数字中获取信息 1.核心知识点 　数字的含义；编码的解读；身份证号码、学籍号等信息 2.解题方法技巧 　① 了解常见编码的结构，如身份证号码各位数字的含义 　② 根据编码的位次对应关系，提取所需信息，如出生日期、性别等 　③ 注意区分顺序码和校验码，第17位数字决定性别（奇数男、偶数女） 【例题2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知小朱的身份证号是410381201005183279，那么小朱生日所在的月份对应的可能是以下哪种活动？（   ） A．在3月举办植树活动 B．在5月举办赏花活动 C．在8月举办夏日消暑活动 D．在10月举办秋收庆祝活动 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律，理解身份证号的数字规律是解题的关键． 根据身份证号的结构，第位表示出生日期，从中提取月份即可判断对应的活动． 【详解】解：∵ 身份证号410381201005183279的第7-14位为20100518，表示出生日期为2010年5月18日， ∴ 出生月份为5月． ∵ 选项B为在5月举办赏花活动， ∴ 小朱生日所在的月份对应的活动是在5月举办赏花活动． 故选B． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；第7~14位是出生日期；第15、16位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小慧的爷爷、爸爸、妈妈及小慧四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小慧的妈妈的身份证号码应该是（    ） A．41061120130603086* B．41061119830108101* C．41061119841225304* D．41061119601205601* 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的数字编码，理解身份证号码位数的含义是解题关键．根据身份证号码的组成，第17位奇数表示男性，偶数表示女性，据此解答即可得． 【详解】解：∵ 小慧的妈妈是女性， ∴ 身份证第17位应为偶数， 选项A第17位为6（偶数），但出生日期2013年，年龄过小，应为小慧； 选项B第17位为1（奇数），男性，不符合； 选项C第17位为4（偶数），女性，出生日期1984年，年龄合理； 选项D第17位为1（奇数），男性，出生日期1960年，年龄过大，应为爷爷， ∴ 小慧妈妈的身份证号码为C， 故选：C． 【变式题2-2】.（2024七年级上·全国·专题练习）如表是刘彤同学的午餐缴费通知单．妈妈只要利用手机银行输入“20190428”就可以完成自助缴费．刘彤的弟弟入学年份是2021年，现在是四年级5班19号学生．按照这个编码规则，妈妈给弟弟缴费时应该输入的编码是（    ） 姓名 入学年份 年级 班级 学号 缴费编码 金额 刘彤 2019 六年级 4班 28号 20190428 507元 A．20200519 B．20210419 C．20210519 D．20200419 【答案】C 【分析】本题主要考查了各数位上数字的含义， 根据20190428表示的含义，可知前4位是入学年份，第5,6位是班级，第7,8位是学号，再根据现在刘彤的弟弟的实际情况编码即可． 【详解】解：因为刘彤的入学年份是2019，班级是4班，学号为28号，她的编码是20190428， 所以刘彤弟弟的编码是20210519． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知某人的身份证号码为，则他的生日是每年的______． 【答案】11月6日 【分析】本题考查了身份证的数字编码问题，身份证上，前六位是地区代码，7—14位是出生日期，15—17位是顺序码，其中第17位奇数分给男性，偶数分给女性，第18位是校验码，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得可得：他的生日是每年的11月6日， 故答案为：11月6日． 【题型3】估算问题 1.核心知识点 　质量的估计；长度、时间的估计；单位换算 2.解题方法技巧 　① 结合生活经验建立常见量的大小感觉，如人的质量约几十千克、课桌长约1米等 　② 注意单位的换算与比较，将不同单位统一后再比较大小 　③ 运用数感合理估计，排除明显不合理的选择 【例题3】.（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）对下面生活数据的估计，最合理的是（     ） A．婴儿蹒跚学步时，最快速度为5米/秒 B．一名六年级学生体重约是0.5吨 C．一瓶矿泉水大约有550升 D．数学课本的封面约是5平方分米 【答案】D 【分析】先通过常见物理量的量级快速排除明显不合理的选项，再验证剩余选项的合理性. 【详解】解：A选项，成年人快跑速度约为米/秒，婴儿学步速度远小于该值，不合理. B选项，吨千克，六年级学生正常体重约为千克，不合理. C选项，一瓶矿泉水容积约为毫升，升远大于常规矿泉水容积，不合理. D选项，数学课本长约分米，宽约分米，封面面积约为平方分米，接近平方分米，合理. 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）某学校准备对其名学生的视力情况进行调查，为方便调查，学校采取了抽样调查的方式，从中随机抽出了名学生，发现有名学生的眼睛近视，那么请估计一下，该校名学生中，眼睛近视的人数约为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】先计算样本中近视学生的占比，再用总人数乘该占比，即可估计出该校总体近视人数. 【详解】解：∵抽取的40名样本中，近视人数为28， ∴样本中近视人数的占比为， ∴估计该校800名学生中近视人数为人. 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）估计下列事件发生的概率最大的是（    ） A．水中捞月 B．玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C．购买1张福利彩票中大奖 D．抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 【答案】D 【分析】分别确定各选项事件的概率大小，比较后即可得到结果． 【详解】解：选项A中“水中捞月”是不可能事件，； 选项B中，出“剪刀”获胜的所有等可能结果共种，获胜情况仅种， ； 选项C中，购买张福利彩票中大奖是极小概率事件，概率远小于； 选项D中，抛一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的概率； 比较可得，因此概率最大的是D． 【变式题3-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）六年级四位同学对生活数据进行估计，估计最准确的是（   ） A．六年级学生跑步速度大约是每秒米 B．数学课本的封面大约是 C．一台家用两门冰箱容积约3000毫升 D．一名六年级学生体重大约是吨 【答案】B 【分析】根据生活常识，理解解答即可． 本题考查对生活常见量的合理估算，熟练掌握生活常识是解题的关键． 【详解】解：选项A：六年级学生跑步速度约为米/秒，即公里/小时，此速度接近步行速度，远低于正常跑步速度，故A错误。 选项B：数学课本封面面积约，与实际接近，故B正确； 选项C：两门冰箱容积约3000毫升（即3升）。家用冰箱容积通常在升之间，3升明显过小，故C错误； 选项D：学生体重吨即500公斤正常六年级学生体重为公斤，故D错误； 故选：B． 【培优高频题型】 【题型4】折叠与展开 1.核心知识点 　折叠、对折与展开；空间想象能力；对称关系 2.解题方法技巧 　① 沿对称轴折叠后，重叠部分形状相同，展开后图形左右或上下对称 　② 多次对折时，注意每次折叠的位置和剪裁的位置，推断展开后的图形 　③ 可借助实物操作验证，或依据对称性分析剪痕对应的位置 【例题4】.（26-27七年级上·山西太原·开学考试）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 【答案】 和 【详解】解：由正方体展开图的特点可得：将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒后，点所在的正方形分别和点、点所在的两个正方形相交，即点与点 、点重合． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·山东济南·开学考试）从如图所示的个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是________，“美”的相对面是________________ 【答案】 欢 迎 【分析】正方体展开图不能包含“田”字格，需破坏由“育、英、欢、迎”组成的“田”字结构，且剩余部分需连通并符合正方体展开图的11种基本形态，最后找相对面． 【详解】解：观察图形可知，“育、英、欢、迎”四个小正方形组成了“田”字格， ∵根据正方体展开图的特点，展开图中不能出现“田”字格， ∴必须剪去这四个小正方形中的一个， ①若剪去“育”，则“美”与“大”与其他部分断开，无法围成正方体； ②若剪去“迎”，则“您”与其他部分断开，无法围成正方体； ③若剪去“英”，剩余图形中“美”、 “育”、 “欢”纵向排列，“欢”、 “迎”、 “您”横向排列，此时“欢”的相对面既是“美”又是“您”，矛盾，无法围成正方体； ④若剪去“欢”，剩余图形属于“”型展开图，能围成正方体； ∵在剩余的图形中，“大”与“英”相对，“美”与“迎”相对，“育”与“您”相对， ∴剪去的小正方形上的字是“欢”， “美”的相对面是“迎”． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图是某几何体的形状图，该几何体是_____． 【答案】正六棱柱 【分析】由六棱柱的特点可以判断该几何体． 【详解】解：由几何体上面看是正六边形，从正面和左面看是长方形，可知该几何体是正六棱柱． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）请写一个从前面看与从左面看得到的平面图形相同的几何体：________． 【答案】正方体（答案不唯一） 【详解】解：∵正方体从前面观察得到的平面图形是正方形，从左面观察得到的平面图形也是正方形，两个图形完全相同， ∴这个几何体可以是正方体． 【题型5】拼图与裁剪 1.核心知识点 　图形的分割与拼接；面积不变思想；空间想象能力 2.解题方法技巧 　① 拼图前后图形面积不变，是解决拼图问题的核心 　② 裁剪时要考虑如何分割才能拼成目标图形，常利用平移、旋转 　③ 借助示意图分析，明确每一部分的归属和拼接方式 【例题5】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【变式题5-1】.（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有______． 【答案】等腰直角三角形、正方形、平行四边形 【分析】本题考查简单的平面图形的特征，熟悉常见的平面图形的特点是解题的关键．根据等腰直角三角形，正方形、平行四边形特征判断． 【详解】解：图形由等腰直角三角形，正方形，平行四边形组成， 故答案为：等腰直角三角形、正方形、平行四边形． 【变式题5-2】.（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 【题型6】数字规律探究 1.核心知识点 　数字变化规律；等差、等比数列；周期规律；斐波那契数列 2.解题方法技巧 　① 观察相邻两项的差或比，判断规律类型（等差、等比、周期等） 　② 将每一项与序号对应，找出第项与序号的关系 　③ 周期问题用总个数除以周期，根据余数确定结果；斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项之和 【例题6】.（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）有一组数：、、、、，第十个数是__________，第个数是__________． 【答案】 【分析】将这组数按序数拆分分子和分母，分别找出分子、分母与对应序数的变化规律，即可推导得到结果． 【详解】解：将数组按顺序标号，第1个数为，第2个数为，第3个数为，依此类推， 先分析分子规律： 第1个数的分子： 第2个数的分子： 第3个数的分子： ... 可得第个数的分子为. 再分析分母规律： 第1个数的分母： 第2个数的分母： 第3个数的分母： ... 可得第个数的分母为. 因此第个数是. 当时，代入得第十个数为． 【变式题6-1】.（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【答案】 【分析】分别找出系数的变化规律和的指数的变化规律，总结得到一般规律即可求解． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， ∴第个式子：． 【变式题6-2】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． 【变式题6-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题可以有多种表示方法：①横向来看，左右两个数的差都是1；②纵向看，上下两个数字的差相等；③对角线的角度看，两个数字的和相等． 【详解】解：①横向来看，，则； ②纵向看，，则； ③对角线的角度看：． 【题型7】图形规律探究 1.核心知识点 　图形变化规律；从特殊到一般；数形结合 2.解题方法技巧 　① 观察后一个图形与前一个图形相比数量上的变化，找出递增关系 　② 将图形个数转化为数列，再求数字规律，如对应平方数 　③ 归纳出第个图形的数量，代入特殊值验证 【例题7】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 【答案】 【分析】先数出前几个图形中小圆圈的个数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中小圆圈的个数为； 第2个图形中小圆圈的个数为； 第3个图形中小圆圈的个数为； 第4个图形中小圆圈的个数为； ∴第个图形中小圆圈的个数为． 【变式题7-1】.（2026·河南平顶山·三模）喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【答案】B 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个； …… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 【变式题7-2】.（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【分析】通过观察前三个图形中三角形个数的具体数值，分析数值与图形序号之间的倍数关系，归纳出第个图形中三角形个数的通项公式，最后代入进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，； ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时， ． 【变式题7-3】.（2026·河南濮阳·二模）烷烃是由碳原子和氢原子构成的有机化合物，如图是前4种这类化合物的分子结构模型，第1种化合物由1个碳原子和4个氢原子构成，第2种化合物由2个碳原子和6个氢原子构成；…，第种化合物的分子结构模型中的原子总个数是________． 【答案】 【分析】先分别求出前面四幅图中氢原子的个数，然后归纳规律即可解答． 【详解】解：第1种化合物由1个碳原子和个氢原子构成， 第2种化合物由2个碳原子和个氢原子构成， 第3种化合物由3个碳原子和个氢原子构成， 第4种化合物由4个碳原子和个氢原子构成， … 第n种化合物由n个碳原子和个氢原子构成， 第n种化合物的分子结构模型中的原子总个数是． 【题型8】实际问题中的数学表达（综合应用） 1.核心知识点 　用数学语言表达现实问题；数量关系分析；规律的应用；跨学科情境 2.解题方法技巧 　① 从实际问题中提取数学信息，用式子或关系式表达数量关系 　② 结合情境（如生态、科技、传统文化等），用数学的思维分析和解释现象 　③ 多问时注意各问之间的联系，合理推理并给出有依据的结论 【例题8】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 【答案】 【详解】解：由图形得绿绳的长度是米． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，学校有一块长方形空地，长为a米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分阴影部分铺设草坪． (1)用代数式表示草坪阴影部分的周长C和面积S； (2)当，时，求草坪的面积保留． 【答案】(1)； (2)草坪的面积为 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握圆的周长，面积公式． （1）用加上圆的周长为草坪的周长，用长方形面积减去圆的面积为草坪的面积； （2）将a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：草坪阴影部分的周长； 草坪阴影部分的面积； （2）解：当，时，， 草坪的面积为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示的长度为_____； (2)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (3)若，求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)27 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列出正确的代数式是解题的关键． （1）根据图形及已知数据列出代数式即可； （2）用长方形的面积减去两个三角形的面积即可； （3）将已知数值代入（2）中列出的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）解： ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由（2）可得：当时， ， 即阴影部分的面积为27． 易错点 1.　读图形信息时凭主观猜测，未准确理解图形或标志所表示的实际含义。 2.　估算时单位换算出错，或在比较时未统一单位就下结论。 3.　找规律时只看数字本身，忽略图形位置、序号与数量的对应关系。 4.　时间统筹问题未抓住最长时间环节，导致并行任务安排不完整。 5.　折叠与展开、裁剪与拼合题缺少空间想象，误判展开或拼接后的形状。 重点 1.　从图形和数字中获取信息，用数学的眼光观察现实世界。 2.　数字规律与图形规律的探究，掌握从特殊到一般的归纳方法。 3.　动手操作（折叠、裁剪、拼图）与运算推理，培养创新和实践能力。 4.　实际问题中的数量关系与时间统筹，用数学解决实际问题。 5.　数据整理与分析，用数学的语言表达现实世界。 难点 1.　规律探究题的灵活运用，需观察、归纳、验证并准确表达一般性结论。 2.　折叠与展开、拼图裁剪问题的空间想象与图形变换。 3.　时间统筹与最优化方案的制定，需理清任务间关系并合理安排。 4.　运算推理中的一题多问与循环周期问题的综合应用。 5.　跨学科、真实情境问题的数学建模与表达。 【对应练习题】 一、单选题 1．李老师为了方便查找电脑中的资料，用“首字母+时间”的格式命名文件夹，其中字母W代表工作，L代表生活．例如命名为的文件夹存放的是2024年4月的工作资料．按照这个规律，名为的文件夹存放的是（    ）． A．9月10日的生活资料 B．2009年10月的生活资料 C．2009年1月的生活资料 D．2009年10月的工作资料 【答案】B 【分析】这类型的题目先根据给出的编号，找出各个位上数字表示的含义，再由这个含义求解．根据命名规则，首字母表示资料类型（W为工作，L为生活），后续四位数字中前两位为年份的后两位，后两位为月份． 【详解】文件名“”中，首字母L表示生活资料．数字部分“”拆分：前两位“”对应年份年，后两位“”对应月份月．因此，该文件夹存放的是年月的生活资料． 故选：B． 2．如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过，若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合“不超过”用不等号“”表示，即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，符合该路段限速规定的不等式是． 3．如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的图都不是正方体的表面展开图． 根据正方体展开图的特征作答即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征可知，A同学补画正确． 故选：A． 4．如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（   ） A．2024个 B．2025个 C．2026个 D．2027个 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（两个图形相邻）多3个灰色小正方形，再结合第1个图形中有4个灰色小正方形总结规律求解即可． 【详解】第1个图案中，灰色小正方形的个数为； 第2个图案中，灰色小正方形的个数为； 第3个图案中，灰色小正方形的个数为； ……； 以此类推，可知第个图案中，灰色小正方形的个数为， ∴第675个图案中，灰色小正方形的个数为． 故选：C． 5．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识，熟练掌握一些基本的数学常识是解题关键．根据生活经验、对长度单位、容积单位、质量单位和时间单位和数据的大小的认识，对各个选项进行分析，找出最合理的即可． 【详解】解：A、一瓶矿泉水约为500毫升，则此项合适，符合题意； B、七年级学生1000米跑合格成绩约为180秒，则此项不合适，不符合题意； C、一张数学试卷的面积约为20平方分米，则此项不合适，不符合题意； D、一本七年级数学教科书的质量约为350克，则此项不合适，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点． 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 7．如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．牢记正方体的种展开图的模型是解题的关键． 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是． 故答案为：． 8．观察下列数列：，第个数是_____ 【答案】 【分析】观察可得，第1项；第2项；第3项；第4项 ，据此即可求解． 【详解】解： 相邻两项的差： ． 差分别为 ，依次增加1． 观察可得：第1项；第2项；第3项；第4项 ； 因此第项． 验证：当时，，正确；当时， ，正确． ∴第个数是． 三、解答题 9．如图，学校有一块长方形空地，长为a 米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分（阴影部分）铺设草坪． (1)用代数式表示草坪（阴影部分）的周长C和面积S； (2)当时，求草坪的面积（保留）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握长方形面积公式和圆的面积公式． （1）结合周长公式列式化简，得；用长方形的面积减去圆的面积得，即可作答； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：长方形上下边长为米，两半圆组成一个圆周长为米， 这个草坪的周长为， 长方形面积为，两半圆组成一个圆面积为， 这个草坪的面积为． （2）解：由（1）得， 当时，， 答：这个草坪的面积为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 数学与我们同行 知识点1：图形与生活 　　1.生活中充满了图形，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识。 　　2.说明：生活中的图形一般由基本的几何图形构成；生活中的图形一般具有特殊的含义，要准确读出图形所具有的含义，不能胡乱猜测。 知识点2：数字与生活 　　1.生活中所遇到的很多数字都蕴含着数学问题，数字已成为人们表达与交流的工具，如身份证号码、高铁票上的数字、学生的学籍号等。 　　2.身份证号码的含义：第1~2位表示省（自治区、直辖市）编码，第3~4位表示市（地区）编码，第5~6位表示县（区）编码，第7~14位表示出生年、月、日，第17位表示性别（奇数表示男性，偶数表示女性），第18位是校验码。 知识点3：动手操作 　　1.动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案，这类问题主要培养学生的创新能力和实践能力。 　　2.动手操作包括折叠、裁剪、拼图等活动，解题时要注意折叠与展开、裁剪与拼合的前后对应关系。 知识点4：运算推理 　　1.数学为我们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式，通过运用符号运算、形式推理等数学方法，能够分析、解决数学问题和实际问题。 　　2.通过运用计算思维，能将各种信息简约和形式化，进行问题求解与系统设计，如时间统筹、数据变化规律的推理等。 知识点5：表达规律 　　1.表达规律主要是指通过探究一些数字或图形信息，寻求其内在的共同之处，并利用数学语言解释与表达。 　　2.解题过程是由特殊向一般转化的过程：先对几个特例进行分析寻找规律并归纳，再猜想符合规律的一般性结论，最后验证结论是否正确。 知识点6：生活中的数学问题 　　1.数学来源于生活，是研究数量关系和空间形式的科学，很多实际问题都可用数学知识求解。 　　2.常见的数量关系：路程＝速度×时间，总价＝单价×数量，工作效率×时间＝工作量等。 【基础必考题型】 【题型1】从图形中获取信息 1.核心知识点 　图形的组成；从图形中抽象出几何图形；图形所蕴含的信息 2.解题方法技巧 　① 观察图形的形状，识别其中的平面图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）和立体图形（长方体、圆柱、圆锥等） 　② 读懂图形的现实意义，如交通标志、安全标志等，准确理解其所传达的信息 　③ 答案不唯一时，说出合理的几何图形组成即可，注意尽量全面 【例题1】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下图的卡纸上有一个“L型”的孔，下面的几何体中不能从这个孔中穿过去的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过．若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25九年级下·江苏淮安·期中）位于淮安市洪泽区县道米处的二河闸桥，由于桥梁主体结构老化，存在较大安全隐患，因此交通部门在此设立了如图限高标志，则通过该桥的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型2】从数字中获取信息 1.核心知识点 　数字的含义；编码的解读；身份证号码、学籍号等信息 2.解题方法技巧 　① 了解常见编码的结构，如身份证号码各位数字的含义 　② 根据编码的位次对应关系，提取所需信息，如出生日期、性别等 　③ 注意区分顺序码和校验码，第17位数字决定性别（奇数男、偶数女） 【例题2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知小朱的身份证号是410381201005183279，那么小朱生日所在的月份对应的可能是以下哪种活动？（   ） A．在3月举办植树活动 B．在5月举办赏花活动 C．在8月举办夏日消暑活动 D．在10月举办秋收庆祝活动 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；第7~14位是出生日期；第15、16位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小慧的爷爷、爸爸、妈妈及小慧四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小慧的妈妈的身份证号码应该是（    ） A．41061120130603086* B．41061119830108101* C．41061119841225304* D．41061119601205601* 【变式题2-2】.（2024七年级上·全国·专题练习）如表是刘彤同学的午餐缴费通知单．妈妈只要利用手机银行输入“20190428”就可以完成自助缴费．刘彤的弟弟入学年份是2021年，现在是四年级5班19号学生．按照这个编码规则，妈妈给弟弟缴费时应该输入的编码是（    ） 姓名 入学年份 年级 班级 学号 缴费编码 金额 刘彤 2019 六年级 4班 28号 20190428 507元 A．20200519 B．20210419 C．20210519 D．20200419 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知某人的身份证号码为，则他的生日是每年的______． 【题型3】估算问题 1.核心知识点 　质量的估计；长度、时间的估计；单位换算 2.解题方法技巧 　① 结合生活经验建立常见量的大小感觉，如人的质量约几十千克、课桌长约1米等 　② 注意单位的换算与比较，将不同单位统一后再比较大小 　③ 运用数感合理估计，排除明显不合理的选择 【例题3】.（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）对下面生活数据的估计，最合理的是（     ） A．婴儿蹒跚学步时，最快速度为5米/秒 B．一名六年级学生体重约是0.5吨 C．一瓶矿泉水大约有550升 D．数学课本的封面约是5平方分米 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）某学校准备对其名学生的视力情况进行调查，为方便调查，学校采取了抽样调查的方式，从中随机抽出了名学生，发现有名学生的眼睛近视，那么请估计一下，该校名学生中，眼睛近视的人数约为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）估计下列事件发生的概率最大的是（    ） A．水中捞月 B．玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C．购买1张福利彩票中大奖 D．抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 【变式题3-3】.（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）六年级四位同学对生活数据进行估计，估计最准确的是（   ） A．六年级学生跑步速度大约是每秒米 B．数学课本的封面大约是 C．一台家用两门冰箱容积约3000毫升 D．一名六年级学生体重大约是吨 【培优高频题型】 【题型4】折叠与展开 1.核心知识点 　折叠、对折与展开；空间想象能力；对称关系 2.解题方法技巧 　① 沿对称轴折叠后，重叠部分形状相同，展开后图形左右或上下对称 　② 多次对折时，注意每次折叠的位置和剪裁的位置，推断展开后的图形 　③ 可借助实物操作验证，或依据对称性分析剪痕对应的位置 【例题4】.（26-27七年级上·山西太原·开学考试）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·山东济南·开学考试）从如图所示的个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是________，“美”的相对面是________________ 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图是某几何体的形状图，该几何体是_____． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）请写一个从前面看与从左面看得到的平面图形相同的几何体：________． 【题型5】拼图与裁剪 1.核心知识点 　图形的分割与拼接；面积不变思想；空间想象能力 2.解题方法技巧 　① 拼图前后图形面积不变，是解决拼图问题的核心 　② 裁剪时要考虑如何分割才能拼成目标图形，常利用平移、旋转 　③ 借助示意图分析，明确每一部分的归属和拼接方式 【例题5】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【变式题5-1】.（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有______． 【变式题5-2】.（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型6】数字规律探究 1.核心知识点 　数字变化规律；等差、等比数列；周期规律；斐波那契数列 2.解题方法技巧 　① 观察相邻两项的差或比，判断规律类型（等差、等比、周期等） 　② 将每一项与序号对应，找出第项与序号的关系 　③ 周期问题用总个数除以周期，根据余数确定结果；斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项之和 【例题6】.（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）有一组数：、、、、，第十个数是__________，第个数是__________． 【变式题6-1】.（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【变式题6-2】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【变式题6-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 【题型7】图形规律探究 1.核心知识点 　图形变化规律；从特殊到一般；数形结合 2.解题方法技巧 　① 观察后一个图形与前一个图形相比数量上的变化，找出递增关系 　② 将图形个数转化为数列，再求数字规律，如对应平方数 　③ 归纳出第个图形的数量，代入特殊值验证 【例题7】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 【变式题7-1】.（2026·河南平顶山·三模）喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【变式题7-2】.（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【变式题7-3】.（2026·河南濮阳·二模）烷烃是由碳原子和氢原子构成的有机化合物，如图是前4种这类化合物的分子结构模型，第1种化合物由1个碳原子和4个氢原子构成，第2种化合物由2个碳原子和6个氢原子构成；…，第种化合物的分子结构模型中的原子总个数是________． 【题型8】实际问题中的数学表达（综合应用） 1.核心知识点 　用数学语言表达现实问题；数量关系分析；规律的应用；跨学科情境 2.解题方法技巧 　① 从实际问题中提取数学信息，用式子或关系式表达数量关系 　② 结合情境（如生态、科技、传统文化等），用数学的思维分析和解释现象 　③ 多问时注意各问之间的联系，合理推理并给出有依据的结论 【例题8】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，学校有一块长方形空地，长为a米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分阴影部分铺设草坪． (1)用代数式表示草坪阴影部分的周长C和面积S； (2)当，时，求草坪的面积保留． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示的长度为_____； (2)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (3)若，求出阴影部分的面积． 易错点 1.　读图形信息时凭主观猜测，未准确理解图形或标志所表示的实际含义。 2.　估算时单位换算出错，或在比较时未统一单位就下结论。 3.　找规律时只看数字本身，忽略图形位置、序号与数量的对应关系。 4.　时间统筹问题未抓住最长时间环节，导致并行任务安排不完整。 5.　折叠与展开、裁剪与拼合题缺少空间想象，误判展开或拼接后的形状。 重点 1.　从图形和数字中获取信息，用数学的眼光观察现实世界。 2.　数字规律与图形规律的探究，掌握从特殊到一般的归纳方法。 3.　动手操作（折叠、裁剪、拼图）与运算推理，培养创新和实践能力。 4.　实际问题中的数量关系与时间统筹，用数学解决实际问题。 5.　数据整理与分析，用数学的语言表达现实世界。 难点 1.　规律探究题的灵活运用，需观察、归纳、验证并准确表达一般性结论。 2.　折叠与展开、拼图裁剪问题的空间想象与图形变换。 3.　时间统筹与最优化方案的制定，需理清任务间关系并合理安排。 4.　运算推理中的一题多问与循环周期问题的综合应用。 5.　跨学科、真实情境问题的数学建模与表达。 【对应练习题】 一、单选题 1．李老师为了方便查找电脑中的资料，用“首字母+时间”的格式命名文件夹，其中字母W代表工作，L代表生活．例如命名为的文件夹存放的是2024年4月的工作资料．按照这个规律，名为的文件夹存放的是（    ）． A．9月10日的生活资料 B．2009年10月的生活资料 C．2009年1月的生活资料 D．2009年10月的工作资料 2．如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过，若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（   ） A．2024个 B．2025个 C．2026个 D．2027个 5．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 二、填空题 6．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 7．如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是______． 8．观察下列数列：，第个数是_____ 三、解答题 9．如图，学校有一块长方形空地，长为a 米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分（阴影部分）铺设草坪． (1)用代数式表示草坪（阴影部分）的周长C和面积S； (2)当时，求草坪的面积（保留）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $