第四章 一元一次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第四章一元一次方程单元卷，基础与应用结合，融入《算法统宗》问题、格子乘法等传统文化及促销方案、动态几何等生活情境，适配单元复习，提升数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|方程定义、解的应用、等式变形|基础巩固，如第4题以牧童分杏体现文化传承| |填空题|8/24|单项式次数、方程解、实际建模|能力提升，如第13题“3方程”定义创新| |解答题|10/72|解方程、错解分析、动态几何|综合应用，如25题动态几何问题考察推理意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 一元一次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A B B D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12．5 13．（答案不唯一） 14． 15．2 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：；·································2分 （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：．································5分 18．（5分） 【答案】(1)一，去分母时，多项式分子未加括号，错误将变形为，符号错误； (2) 【分析】本题为解一元一次方程的纠错问题，按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，检查原解题过程找出错误，再按正确步骤计算得到方程的正确解即可． 【详解】（1）解： 原方程为．去分母时，给方程两边同乘4，对分子是多项式的需要添加括号，正确形式应为， 因此第一步开始出现错误，错误为去分母时多项式分子未加括号，符号错误．································2分 （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ．································5分 19．（6分） 【答案】 【分析】先求出方程的解，再把解代入方程进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ，································2分 ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为，································4分 ∴ ， 解得.································6分 20．（6分） 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元；································2分 （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台．································6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得．································2分 （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得．································6分 22．（8分） 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个；································4分 （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子．································8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为；································2分 （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33．································8分 24．（8分） 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的方程，整理即可得出． 【详解】解：方程的解为，而，符合“差解方程”的定义， ∴方程是差解方程 故答案为：是；································2分 （2）由题意可知， 由一元一次方程可知 所以， 解得 ；································5分 （3）因为方程是“差解方程”，所以， 解方程， 得 所以 所以， 即．································8分 25．（10分） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米；································2分 （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得；································4分 （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得．································10分 26．（10分） 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：；································2分 （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：；································4分 ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点；································6分 （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或．································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不是等式，不属于方程，故A不符合题意； B．中未知数的次数为2，不满足一元一次方程的要求，故B不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，故 C符合题意； D．含有两个未知数，不满足一元一次方程的要求，故D不符合题意． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A若，根据等式性质1，两边同时加1，得，变形正确； B若，根据等式性质2，两边同时乘2，得，变形正确； C若，根据等式性质1，两边同时减1，得，变形正确； D若，当时，与无意义，只有才能得到，变形错误． 4．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程． 【详解】解：设杏有个，两种分法的牧童总人数相等． ∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏， ∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为． ∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏， ∴实际分掉个杏，组数为，总人数为． ∵总人数相等，因此可得方程． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按照小明的解法可得：，从而可得的值，再把代入原方程，再解方程即可；掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解：按照小明的解法可得去分母后为： ， 将代入方程后， ， ∴， 解得． 将代入方程，得 ， 去分母得：， 整理得：， 解得：． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设报5的人心里想的数是x，根据题意用含x的式子表示出另外几个人报出来的数，找出等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设报5的人心里想的数是x， 则报3的人心里想的数是， 报2的人心里想的数是， 报4的人心里想的数是， 报1的人心里想的数是， 由题意得：， 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如果单项式的次数是5，那么________． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义，得到关于的一元一次方程，求出的值后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：单项式的次数是， ∴，解得， ． 10．（25-26七年级下·江苏南通·开学考试）若，则______． 【答案】 【分析】先由绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件得出关于的方程求解，最后将值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，， ，， 解得，， ． 11．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为___________． x 0 1 5 3 1 【答案】 【分析】先求得m，n的值，再解一元一次方程解答即可； 【详解】解：根据题意，得当，；当，； 故， 故方程变形为， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 12．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 13．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 14．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 【答案】2 【分析】本题是一元一次方程的应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图， ， 解得， 故答案为：2． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值． 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26七年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：；·································2分 （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：．································5分 18．（5分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 【答案】(1)一，去分母时，多项式分子未加括号，错误将变形为，符号错误； (2) 【分析】本题为解一元一次方程的纠错问题，按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，检查原解题过程找出错误，再按正确步骤计算得到方程的正确解即可． 【详解】（1）解： 原方程为．去分母时，给方程两边同乘4，对分子是多项式的需要添加括号，正确形式应为， 因此第一步开始出现错误，错误为去分母时多项式分子未加括号，符号错误．································2分 （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ．································5分 19．（6分）（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再把解代入方程进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ，································2分 ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为，································4分 ∴ ， 解得.································6分 20．（6分）（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元；································2分 （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台．································6分 21．（6分）（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得．································2分 （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得．································6分 22．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个；································4分 （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子．································8分 23．（8分）（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为；································2分 （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33．································8分 24．（8分）（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的方程，整理即可得出． 【详解】解：方程的解为，而，符合“差解方程”的定义， ∴方程是差解方程 故答案为：是；································2分 （2）由题意可知， 由一元一次方程可知 所以， 解得 ；································5分 （3）因为方程是“差解方程”，所以， 解方程， 得 所以 所以， 即．································8分 25．（10分）（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米；································2分 （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得；································4分 （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得．································10分 26．（10分）（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：；································2分 （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：；································4分 ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点；································6分 （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或．································10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如果单项式的次数是5，那么________． 10．（25-26七年级下·江苏南通·开学考试）若，则______． 11．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为___________． x 0 1 5 3 1 12．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 13．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 14．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26七年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1) (2) 18．（5分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 19．（6分）（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 20．（6分）（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 21．（6分）（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 22．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 23．（8分）（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 24．（8分）（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 25．（10分）（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 26．（10分）（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如果单项式的次数是5，那么________． 10．（25-26七年级下·江苏南通·开学考试）若，则______． 11．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程的解为___________． x 0 1 5 3 1 12．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 13．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 14．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26七年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1) (2) 18．（5分）（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 19．（6分）（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 20．（6分）（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 21．（6分）（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 22．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 23．（8分）（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 24．（8分）（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 25．（10分）（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 26．（10分）（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $