精品解析：山东淄博市淄川区2026-2027学年七年级上学期期中考试数学试卷

初二数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期中数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列四个运动项目图标，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个正多边形，其中对称轴条数最多的是（） A. B. C. D. 4. 下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们不能摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ） A. P是等边三角形，Q是等腰三角形 B. P是等腰三角形，Q是等边三角形 C. P是直角三角形，Q是锐角三角形 D. P是钝角三角形，Q是等腰三角形 6. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在中，，，，点，分别在边，上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 如图，已知，若要用“”说明，还需添加的一个条件是__________． 14. 根据下列表示，这两个三角形全等的理由是__________． 15. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，，两点之间的距离是__________． 17. 一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是______． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=6， BC=10，则DE的长为___________． 19. 如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________． 20. 如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 按要求完成以下小题 （1）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． （2）通过对第二章《轴对称》的学习，你对轴对称及其作用的认识有怎样的提升？请以此为主题写一篇字左右的小短文． 22. 按要求完成以下小题 （1）如图，方格纸上每个小正方形的面积为个单位．请在三幅图中分别画出面积为个单位、个单位、个单位的正方形． （2）如图，在中，，，为边的中点，点在上，，连接．求的度数． 23. 如图，，． （1）与垂直吗？ （2）请利用这个图形验证勾股定理． 24. 如图，与相交于点，且，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）与全等吗？为什么？ 25. 今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．（选自《九章算术》） 题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为尺．在距木杆底端尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直． （1）问这根绳索有多长． （2）将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长，弦长与股长的差为，求弦长．（试用，表示） 26. 证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法． （1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：； （2）如图2，在中，，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期中数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列四个运动项目图标，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形沿如下图所示的虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：由三角形的高线的定义可得，D选项中线段是的高． 3. 下列四个正多边形，其中对称轴条数最多的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正边形的对称轴条数等于边数，分别数出各图形的边数进行比较即可． 【详解】解：A选项图形为正五边形，有条对称轴． B选项图形为正六边形，有条对称轴． C选项图形为正七边形，有条对称轴． D选项图形为正八边形，有条对称轴． D选项图形的对称轴条数最多． 4. 下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们不能摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较每组较短两边长度之和与最长边的大小，即可判断求解． 【详解】解：、，∴能摆成三角形； 、，∴不能摆成三角形； 、，∴能摆成三角形； 、，∴能摆成三角形． 5. 下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ） A. P是等边三角形，Q是等腰三角形 B. P是等腰三角形，Q是等边三角形 C. P是直角三角形，Q是锐角三角形 D. P是钝角三角形，Q是等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形是特殊的等腰三角形即可得． 【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴P是等腰三角形，Q是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是掌握等边三角形和等腰三角形的关系． 6. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 7. 如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质及勾股定理，可以得到正方形的边长为，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：如图， 在中，用勾股定理可得到， 由题意可知，四个直角三角形全等， ∴，， 同理，可得， ∴在中，应用勾股定理得到： ． 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 10. 如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质得出，，结合直角三角形定义及三角形内角和定理求解． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，． 点落在上， ． 为直角三角形，结合图形可知， ． 在中，， 在中，． 11. 如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 12. 在中，，，，点，分别在边，上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，将转化为，利用垂线段最短及等面积法求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， ，  ，  ∵点，关于直线对称，  ，，，  ，，三点共线， ∴， ∵， ， 根据垂线段最短可知，当点三点共线且时，的值最小，最小值即为垂线段的长，如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ，  ， ， ∴的最小值为． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 如图，已知，若要用“”说明，还需添加的一个条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】题目已知，图形中隐含公共边，要利用“”判定全等，需补充第三组对应边相等． 【详解】解：∵ 要用“”证明， ∴ 需要三组对应边分别相等， ∵ 已知，且（公共边）， ∴ 还需添加的条件是． 14. 根据下列表示，这两个三角形全等的理由是__________． 【答案】##边角边 【解析】 【详解】解：由图知，两个三角形具备两边及夹角对应相等，则两三角形全等， 故这两个三角形全等的理由是． 15. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中①②两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 16. 如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，，两点之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移的性质，将所有台阶的宽度平移到一条直线上，所有台阶的高度平移到一条直线上，从而构造出直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作竖直向下的线段，过点作水平向左的线段，两线段交于点， 则为直角三角形， 观察图形可知台阶共有级，且每个台阶的宽度都是，高度都是 直角三角形的水平直角边的长为，竖直直角边的长为 在中，由勾股定理得： 、两点之间的距离是． 17. 一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的有关运算，掌握要使商最大，则被除数应该最大、除数最小成为解题的关键． 设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,，列出式子，根据要使商最大，被除数应该最大，除数最小，从而得到，进而完成解答． 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,， ∴ ， ∵要使商最大，， ∴当时，商的最大，最大值为：． 故答案为：100． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=6， BC=10，则DE的长为___________． 【答案】14 【解析】 【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6, BC=10 根据勾股定理，得AB=8， ∵DE∥BC， ∴∠E=∠EBC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠E=∠ABE， ∴AB=AE． 同理可得：AD=AC， ∴DE=AD+AE=AB+AC=14． 考点：1.勾股定理；2.平行线的性质 19. 如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，利用角平分线的性质得出，再利用等面积法求解的长． 【详解】解：如图，作于点， 平分，，， ． ， ， ． 20. 如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 按要求完成以下小题 （1）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． （2）通过对第二章《轴对称》的学习，你对轴对称及其作用的认识有怎样的提升？请以此为主题写一篇字左右的小短文． 【答案】（1） （2）学完轴对称，我懂得用“对应点连线被对称轴垂直平分”去搬动线段和角，把分散的条件凑到一处；对称既是解题的工具，也是生活中的美． 【解析】 【分析】（1）先用三角形内角和求，再用角平分线把这个角平均分成两份，最后用的内错角相等求； （2）围绕“判断与性质—它的作用—自己的体会”写两句话，控制在50字左右． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 22. 按要求完成以下小题 （1）如图，方格纸上每个小正方形的面积为个单位．请在三幅图中分别画出面积为个单位、个单位、个单位的正方形． （2）如图，在中，，，为边的中点，点在上，，连接．求的度数． 【答案】（1）三个正方形的边长分别为，顶点都取在格线交点上，见答图． （2） 【解析】 【分析】（1）把5、10、13分别写成两个平方数的和，用直角边为整数格的格点直角三角形，以它的斜边作正方形的边； （2）等腰三角形底边上的中线也是高，得且，再由求，用即可求解． 【小问1详解】 解：． 以直角边为1格、2格的格点直角三角形的斜边为边，正方形边长为，面积为5； 以直角边为1格、3格的为边，正方形边长为，面积为10； 以直角边为2格、3格的为边，正方形边长为，面积为13． 画这三个正方形时，四个顶点都取在格线交点上（见答图）． 【小问2详解】 解：∵为的中点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 23. 如图，，． （1）与垂直吗？ （2）请利用这个图形验证勾股定理． 【答案】（1）垂直 （2） 解：如下图所示，连接、， 设，，， ， ，，， 则， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可证，，根据直角三角形的两个锐角互余可证，等量代换可证，根据三角形内角和定理可得，从而可证结论成立； （2）把梯形的面积用不同的方法表示出来，根据面积相等验证勾股定理． 【小问1详解】 解： 证明：， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 如图，与相交于点，且，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）与全等吗？为什么？ 【答案】（1）解：，理由如下， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 25. 今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．（选自《九章算术》） 题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为尺．在距木杆底端尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直． （1）问这根绳索有多长． （2）将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长，弦长与股长的差为，求弦长．（试用，表示） 【答案】（1）尺 （2） 【解析】 【分析】（1）设未知数（绳索长），根据“绳索长拖地长=木杆高”利用勾股定理列方程求解； （2）已知勾长a和弦股之差d，需将股长用c和d表示，代入勾股定理公式中，通过代数变形消去b，从而解出c． 【小问1详解】 解：设绳索长为x尺，则木杆高为（）尺，根据勾股定理得 解得尺 即这根绳索长尺； 【小问2详解】 解：设直角三角形的勾长为a，弦长为c，股长为b． 已知弦与股的差为d，即，所以， 根据勾股定理： ． 26. 证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法． （1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：； （2）如图2，在中，，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1） 证明：射线平分， ， ，， ， ． （2） 证明：在上截取，连接，如图所示． ，，平分， ，． ， ， ，． ， ， ， ． ， ． （3）13 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后易证，进而问题可求证； （2）在上截取，连接，由题意易得，，则有，然后可得，则根据三角形外角的性质可得，然后可得，进而问题可求证； （3）在上分别截取，，连接、，同理（1）（2）可证，，则有，，然后可得，进而可得是等边三角形，最后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上分别截取，， 连接，，如图所示． 同理（1）（2）可得，， ，，，． 为边的中点，， ． ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $