精品解析：山东省淄博市淄川区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷（五四制）

2025-2026学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 2. 试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形 3. 下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在条以上的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 5. 如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，一只蚂蚁沿棱长为的正方体侧面从顶点爬到顶点，现将正方体侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图1是边长分别为的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ） A. 割⑤补⑥ B. 割③补① C. 割①补④ D. 割③补② 8. 图①是办公桌摆件，图②是其简化示意图．在图②中，四边形是长方形．若对角线，垂足为，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 16个 B. 12个 C. 10个 D. 6个 10. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 12. 如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 如图，已知是的平分线，要判定，若以“”为依据，还需添加的条件是______． 14. 下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有______个． 15. 给出下列条件：①已知两边；②已知两角；③已知一边和一角；④已知两角和一边．其中能用尺规作出唯一三角形的是_______（填序号） 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 17. 若一个直角三角形的两条直角边的平方分别为3和4，则斜边长的平方是______． 18. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 19. 若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的，则称这个三角形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是________度． 20. 如图，是等腰直角三角形，，D为内一点，且，，则的面积为______． 三、解答题：本题共9小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 一个轴对称图形的一半如图所示，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 22. 如图，在中,是的一条角平分线，求的度数． 23. 如图，在正方形中，，，是直角三角形吗？为什么？ 24. 如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？ 25. 如图，在中，，将三等分，点D，在上． （1）求的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形． 26. 一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m．这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？ 27. 如图，，，点O为上任意一点，过点O作直线分别交的延长线于点F，E，试说明： 28. 同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度． 29. 如图，已知在和中，，，．交于O点， （1）求证：； （2）当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了钝角三角形的高，根据过顶点作对边的高的方法即可判定． 【详解】解：根据图示可得，边上的高是， 故选：D． 2. 试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　） A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形，掌握等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义是解题的关键． 由等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义，即可判断． 【详解】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A不符合题意； B、一个等腰三角形有可能是锐角三角形，故B不符合题意； C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，故C不符合题意； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在条以上的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对称轴，在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份，找到对称轴的条数是解决问题的关键． 根据在轴对称图形的定义，找到对称轴即可解答． 【详解】、图形中有一条对称轴，不符合题意． 、图形中有两条对称轴，不符合题意． 、图形中有两条对称轴，不符合题意． 、图形中有六条对称轴，符合题意． 故选． 4. 小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断即可． 【详解】解：A、，构不成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故选项符合题意； C、，构不成直角三角形，故选项不符合题意； D、，构不成直角三角形，故选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形是直三角形，熟练应用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形是解答本题的关键． 5. 如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 先作于点E，然后根据角平分线的性质，即可得到点D到的距离． 【详解】解：作于点E，如图所示， ， 是的角平分线， ，，， ， 即点D到的距离6， 故选：C． 6. 如图，一只蚂蚁沿棱长为的正方体侧面从顶点爬到顶点，现将正方体侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据正方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最近路线为， 故选：A． 7. 如图1是边长分别为的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ） A. 割⑤补⑥ B. 割③补① C. 割①补④ D. 割③补② 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2所示可以判断如何剪拼能够拼成正方形． 【详解】解：由题意可得： 要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图形的设计，正确理解小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积是解题的关键． 8. 图①是办公桌摆件，图②是其简化示意图．在图②中，四边形是长方形．若对角线，垂足为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 在中， 由勾股定理得，， ． 9. 如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 16个 B. 12个 C. 10个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 10. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平角定义及三角形内角和定理，并且要明确知道三角尺各角的度数，进行计算．由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：如图所示： ， 因为， 所以． 故选：C． 11. 如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 12. 如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:B 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 如图，已知是的平分线，要判定，若以“”为依据，还需添加的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 先根据角平分线的定义得到，加上为公共边，所以根据“ASA”添加 【详解】解：是的平分线， ， ， 当添加时，可根据“”判定 故答案为： 14. 下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知， 线段，角，长方形，等边三角形和圆一定是轴对称图形； 直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形， 所以一定是轴对称图形有5个． 故答案为：． 15. 给出下列条件：①已知两边；②已知两角；③已知一边和一角；④已知两角和一边．其中能用尺规作出唯一三角形的是_______（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，只有已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，其他条件均不能用尺规作出唯一三角形，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，已知两边不能用尺规作出唯一三角形， 故①不符合题意； 已知两角不能用尺规作出唯一三角形， 故②不符合题意； 已知一边和一角不能用尺规作出唯一三角形， 故③不符合题意； 已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，即用尺规作出唯一三角形， 故④符合题意； 故答案为：④ 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 17. 若一个直角三角形的两条直角边的平方分别为3和4，则斜边长的平方是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的用法是关键． 根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和． 【详解】解：由勾股定理，斜边长的平方等于两直角边平方之和．已知两条直角边的平方分别为3和4，因此斜边长的平方为：． 故答案为：7． 18. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 19. 若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的，则称这个三角形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是________度． 【答案】72或 【解析】 【分析】设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，根据差半角三角形的定义得出方程，由此解方程即可求得答案． 【详解】解：设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°， 当α°－（180°－2α°）＝α°时 解得：α＝72， 当（180°－2α°）－α＝α°时 解得：α＝， 故答案为：72或． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，读懂题意，设出未知数列出方程是解答此题的关键． 20. 如图，是等腰直角三角形，，D为内一点，且，，则的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，过点A作，交CD的延长线于点H，则，证明，进而依据“”判定和全等得，然后再根据三角形的面积公式即可得出的面积，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点H，则， 如图： 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的面积为：， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 一个轴对称图形的一半如图所示，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 利用轴对称变换的性质分别作出A，B，P的对应点，，即可． 【详解】略 22. 如图，在中,是的一条角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理（三角形内角和为）和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理，求出，再根据角平分线定义，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的一条角平分线， ∴， ∴． 23. 如图，在正方形中，，，是直角三角形吗？为什么？ 【答案】 是直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及勾股定理和其逆定理的运用，熟记正方形的性质是解题关键． 根据勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，问题得解． 【详解】略 24. 如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？ 【答案】 ，理由如下： ， ，即， 在和中， ，  ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，利用证明即可，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 25. 如图，在中，，将三等分，点D，在上． （1）求的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） （2）、、，、 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，关键是掌握等角对等边． （1）由三角形内角和定理求出，，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由等角对等边推出，，，，． 【小问1详解】 解：， ，， ，将三等分， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中所有的等腰三角形是、、，、． 26. 一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m．这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？ 【答案】 解：如图，作弦EF∥AD， 设EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF， 由OH⊥EF，得HF=1.4， 在Rt△OFH中，， ∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4=4（米）， ∴这辆卡车能通过此隧道. 【解析】 【分析】由题意作弦EF∥AD，设EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF，求出隧道的高，即可判断. 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，解答本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 27. 如图，，，点O为上任意一点，过点O作直线分别交的延长线于点F，E，试说明： 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ∴， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 由“”可证，可得，可证，可得结论． 【详解】略 28. 同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度． 【答案】12.5米 【解析】 【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，，根据，得出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作，垂足为F，如图所示： 由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形， ∴，，， 在和中，根据勾股定理可得： ，， 即，， 又∵， ∴， 解得：． 答：学校旗杆的高度为12.5米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程． 29. 如图，已知在和中，，，．交于O点， （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $