专题09角复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题09角复习讲义 1.理解角的静态、动态两种定义，分清角的组成：顶点、两条射线边；能区分平角与直线、周角与射线。 2.掌握角的四种规范表示方法，能结合图形正确标注角，避免混淆相邻角。 3.认识锐角、直角、钝角、平角、周角，熟记各类角的度数范围，会对角进行分类判断。 4.掌握度、分、秒之间的换算，熟练完成角度的加减运算。 5.理解角平分线的含义，会利用角平分线进行角度和差计算。 6.会看方位角，能用方位角准确描述方向，解决简单方位相关问题。 7.能够在图形中数角，做到不重不漏；会根据要求画角。 8.理清常见易错点：角的大小只和张开程度有关，和边长无关；区分角的表示规范，看清图形条件，不凭主观臆断计算角度。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 题型一：角的概念理解 1．用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于理解放大镜只改变物体的大小不改变图形的形状．根据放大镜的原理回答即可． 【详解】解：放大镜放只改变物体的大小，不改变物体的形状， 放大4倍的角与原的角相等， 故选：A． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 3．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 【答案】66 【分析】首先数出引出3条射线或4条或5条射线时，一共有多少个角，再找出规律，求出答案． 【详解】解：在的内部从O引出3条射线，图中共有角的个数：， 如果引出4条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出5条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出n条射线，则图中共有角的个数：， ∴如果引出10条射线，有个角． 题型二：角的表示方法 4．下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 【详解】解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 5．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 6．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型三：角的分类 7．下列标注的四个角中，最小的角是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】B 【分析】根据角的分类即可得． 【详解】解：A是钝角，大于小于；B是锐角，小于；C是直角，等于；D是平角，等于， ∴最小的角是锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的分类和比较大小，解题的关键是掌握角的分类． 8．下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型四：钟面角 10．从到，钟面上时针走了______度． 【答案】 【分析】先计算经过的时长，再根据时针的转动规律计算转动角度，钟面一圈为，时针12小时转一圈． 【详解】解：计算从到经过的时长：时分时分时分小时， ∵ 钟面一圈为，时针12小时转完一圈， ∴ 时针每小时转动的角度为 ， ∴ 时针一共转动的角度为 ． 11．如图，小羽每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为____________． 【答案】70 【分析】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义，理解钟面上时针和分针在旋转过程中所成角度的变化规律是正确解答的关键．根据钟面角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知， ，， 所以， 故答案为：70． 12．冬至这天，某地7点10分太阳升起，16点47分太阳落下，则这两个时间点，时针与分针的夹角（小于）的差为_____． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角问题． 分别计算7点10分和16点47分时时针与分针的夹角（小于），然后求它们的差即可． 【详解】解：7点10分时，时针与分针的夹角为； 16点47分即下午4点47分时，时针与分针的夹角为； 因此它们的差为． 故答案为：． 题型五：方向角的表示 13．如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 【答案】/80度 【详解】解：由题意得：． 14．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是_______． 【答案】北偏东 【分析】本题考查角平分线的定义、方向角的表示方法、角的运算，记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，进而计算出，即可解题． 【详解】解：由题知，， 因为平分， 所以， 记正北方为， 因为， 所以的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 15．如图，甲、乙两人同时从地出发，乙沿北偏东方向步行前行，甲沿图示方向前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时甲位于地的（   ）    A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查方向角的计算，正确掌握方向角的表示方法是解题关键． 需要理解方向角的概念，并利用角度的加减运算来确定甲相对于O地的具体方向进行求解即可． 【详解】解：如图，    根据题意，得，， ∴， 又， ∴， ∴甲位于地的南偏西， 故选：A． 题型六：与方向角有关的计算题 16．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】根据余角的性质得到，进而求出，再利用方向角的定义解答即可． 【详解】解：如图， 射线与射线成角， ， ， ， ， ， 射线表示的方向是南偏东方向． 17．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ____ ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键．记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【详解】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 18．如图，点A与点O在东西方向的直线上，点O与点C在南北方向的直线上，点B在点O的北偏东方向上，射线是射线的反向延长线，点N在点O的东南方向上．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角，角度的和差，角平分线的定义，熟练掌握图中角度之间的关系是解题的关键．先求出，再求出 ，利用平分和点N在点O的东南方向上求出和，即可求解． 【详解】解：如图， ∵点B在点O的北偏东方向上， ∴， ∴， ∵，射线是射线的反向延长线， ∴ ， ∵平分，点N在点O的东南方向上， ∴，， ∴， 故选：C． 题型七：角的单位与角度制 19．若，，，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．三个角互不相等 【答案】D 【分析】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，小的单位化大的单位除以进率． 根据度化成分，乘以进率，秒为成分除以进率，可化成分，根据有理数大小比较，可得答案． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、因为，所以“三个角互不相等”的说法不正确，符合题意． 故选：D． 20．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的度、分、秒之间的换算，依据,，进行互化，逐一分析选项. 【详解】解：A、, 不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意. 故选：C ． 【点睛】本题考查了角度的度分秒换算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进制为，进行准确的换算. 21．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是________．    【答案】 【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键． 题型八：角的度数大小比较 22．比较大小：______填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 23．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（    ） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【答案】C 【分析】先把两个角统一化为度、分的形式，再比较即可得答案． 【详解】∵36.5°=36°30′，36°30′＞36°5′， ∴∠1＜∠2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，解答本题的关键是先统一形式，注意以60为进制． 24．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 题型九：角的比较 25．如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 26．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 27．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 题型十：三角板中角度计算问题 28．小明将一副三角板摆成如图所示，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差． 根据图示确定与两个直角的关系，它等于两直角的和减去的度数． 【详解】解：． 故选：D． 29．如图，将一副三角板的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记为和，若，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系，熟练掌握利用公共角建立角度之间的等量关系是解题的关键．利用两个三角板的已知角度，通过重叠部分的公共角建立等式，推导出与的关系，再代入的度数计算． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 题型十一：几何图形中角度计算问题 31．为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，进行计算即可. 【详解】解：由题意，，为， ∴. 32．在线段上有一点平分，设，，则三个角的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查余角及角平分线的定义、角的运算，灵活掌握这些知识是解题关键． 由已知可求出，再根据平角的定义得到三者的关系． 【详解】解：∵，且， 又∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 33．已知正方形，正方形，正方形按如图所示的方式放置，设，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，先根据正方形得，再由图可得，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， ∵， 即， ∴． 故选：D． 题型十二：角度的四则运算 34．若是锐角，是钝角，则计算的结果可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角和钝角的概念求出范围，然后进行判断． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是理解锐角和钝角的概念． 35．已知．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据度分秒的计算方法求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了度分秒的运算法则，正确的计算是解决本题的关键． 36．计算（用度、分、秒表示）： （1）________． （2）________． （3）________． （4）________． 【答案】 【分析】（1）根据度分秒的加法，相同单位相加，满60向上一单位进1，可得答案； （2）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，可得答案； （3）根据度分秒的除法，从大单位算起，余数化成下单位再除，可得答案； （4）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，再算减法，可得答案． 【详解】解：（1）原式＝ （2）原式 （3）原式 （4）原式＝ 故答案为：①  ② ③ ④． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，度分秒的加法，相同单位相加，满60向上一单位进1；度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1；度分秒的除法，从大单位算起，余数化成小单位再除．解决问题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 题型十三：实际问题中角度计算问题 37．星期六，李豪同学参加了登山运动，到达山顶时他看了时间刚好用了1小时27分钟，那么时钟的时针转过的角度是____________． 【答案】 【分析】此题考查了时钟的时针转过的角度问题，解题的关键是求出时钟的时针一分钟走． 【详解】解：，即：时钟的时针一分钟走， 则此时时钟的时针转过的角度为， 故答案为：． 38．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是___________度． 【答案】5 【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解． 【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间． ∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过， 分针每分钟转过，因而转过了， ∴时针和分针所成的夹角是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键． 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型十四：角平分线的有关计算 40．一个的角被角平分线平分，每个小角的度数为_____． 【答案】 /度 【分析】根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的角，将原角度数除以2即可得到每个小角的度数． 【详解】解：根据角平分线的定义可知，角平分线将一个角分成两个大小相等的角， 已知原角为，因此每个小角的度数为：． 41．已知从点O引三条射线，，，其中一条射线平分另外两条射线的夹角，，则_______________． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． 分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：①当平分时，； ②当平分时，； ③当平分时，； 综上，或或； 故答案为：或或． 42．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵射线是的平分线，，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 题型十五：角 n 等分线的有关计算 43．已知为的三等分线，若，则______°． 【答案】或/100或50 【分析】本题可根据三等分线的定义来求解的度数．分射线靠近和射线靠近两种情况进行解答即可． 【详解】解：为的三等分线，， 当射线靠近时，， 当射线靠近时，， 故答案为：或． 44．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 45．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 题型十六：尺规作一个角等于已知角 46．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点，画射线，若，则的度数为_________． 【答案】 /度 【详解】解：根据作图过程可知， ∴． 47．如图，点在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以为圆心，长为半径画弧，交于点；②作射线，则；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_____________．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作一个角等于已知角的方法，根据尺规作等角的基本方法重新排序即可． 【详解】解：由题意知，正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；①以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；②作射线，则． 48．如图，已知，嘉淇用尺规作出了，其中点为射线上一点，以下是乱排的作图过程： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． 则正确的作图顺序为（    ） A．①③②④ B．①②③④ C．④③①② D．④②③① 【答案】D 【详解】解：先以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；再以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；然后以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；最后连接并延长交于点即可． 即正确的作图顺序为④②③①． 解答题 49．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了角度制的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 50．如图，点在直线上，平分． (1)图中小于平角的角共有_____个；（直接写出答案） (2)若，求的大小； (3)尺规作图：作（不与重合），请直接写出_____． 【答案】(1)5 (2) (3)3 【分析】本题考查了角的计数、角平分线的性质及尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是准确识别角的数量、利用角平分线的性质计算角度以及掌握尺规作图的基本方法． （1）逐一列举以O为顶点的角，排除平角后计数； （2）根据角平分线的定义得出与的2倍关系； （3）确定的位置（外侧），通过角度和计算得出倍数关系． 【详解】（1）图中小于平角的角为，共5个． （2）∵平分， ∴． 已知，则 （3）尺规作图：以O为顶点，为一边作，如图． 由于不与重合，在外侧， 此时． 51．【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；② (2)．理由如下： ∵； ∴； (3)或或 【分析】（1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． ②∵ ∴； 即 （2）略 （3）解：①在上方时， ∴； ②在内部， 同理可得：； ③在内部， ； ④在下方， ． 综上所述，或或． 52．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． (1)如图1，若，是的一条三分线，求的度数； (2)如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则 ． (3)如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 【答案】(1)或； (2)或； (3)25，26，28或29秒 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿顺时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：，是的一条三分线， ，或， 或． （2）解：现以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况： 当是的三分线，且时，如图2②， ， ， ， 当是的三分线，且时，如图2③， ， 或50； 故答案为：或；． （3）解：是的一条三分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图3， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿顺时针方向旋转的时间是25，26，28或29秒． 故答案为：25，26，28或29秒． 53．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求：手表 的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）.时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为______度． (3)在（2）的条件下，作射线，使，则的度数为________． 【答案】(1)12 (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差关系，中点有关的计算，钟面角： （1）根据是中点，，可得，，即可求解； （2）先计算出每分钟时针走过的角度，再根据时，时针与分针的位置，即可求解； （3）时分针和时针的夹角为，则，当射线在内部时，当射线在外部时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，是中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 即手表的全长为 （2）解：由图可知，每分钟时针走过的度数为， 8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动 则时，分针指向6，时针在8时过的地方， 即， （3）解：∵时分针和时针的夹角为， ∴ 当射线在内部时，； 当射线在外部时，； 故答案为：或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09角复习讲义 1.理解角的静态、动态两种定义，分清角的组成：顶点、两条射线边；能区分平角与直线、周角与射线。 2.掌握角的四种规范表示方法，能结合图形正确标注角，避免混淆相邻角。 3.认识锐角、直角、钝角、平角、周角，熟记各类角的度数范围，会对角进行分类判断。 4.掌握度、分、秒之间的换算，熟练完成角度的加减运算。 5.理解角平分线的含义，会利用角平分线进行角度和差计算。 6.会看方位角，能用方位角准确描述方向，解决简单方位相关问题。 7.能够在图形中数角，做到不重不漏；会根据要求画角。 8.理清常见易错点：角的大小只和张开程度有关，和边长无关；区分角的表示规范，看清图形条件，不凭主观臆断计算角度。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 题型一：角的概念理解 1．用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 3．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 题型二：角的表示方法 4．下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A．B．C．D． 5．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 题型三：角的分类 7．下列标注的四个角中，最小的角是（    ） A．   B．   C．  D．   8．下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：钟面角 10．从到，钟面上时针走了______度． 11．如图，小羽每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为____________． 12．冬至这天，某地7点10分太阳升起，16点47分太阳落下，则这两个时间点，时针与分针的夹角（小于）的差为_____． 题型五：方向角的表示 13．如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 14．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是_______． 15．如图，甲、乙两人同时从地出发，乙沿北偏东方向步行前行，甲沿图示方向前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时甲位于地的（   ）    A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏西 题型六：与方向角有关的计算题 16．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 17．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ____ ． 18．如图，点A与点O在东西方向的直线上，点O与点C在南北方向的直线上，点B在点O的北偏东方向上，射线是射线的反向延长线，点N在点O的东南方向上．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型七：角的单位与角度制 19．若，，，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．三个角互不相等 20．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 21．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是________．    题型八：角的度数大小比较 22．比较大小：______填“>”“<”或“=” 23．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（    ） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 24．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 题型九：角的比较 25．如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 26．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 27．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型十：三角板中角度计算问题 28．小明将一副三角板摆成如图所示，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 29．如图，将一副三角板的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记为和，若，则的度数为_____°． 30．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 题型十一：几何图形中角度计算问题 31．为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 32．在线段上有一点平分，设，，则三个角的数量关系为______． 33．已知正方形，正方形，正方形按如图所示的方式放置，设，则可表示为（   ） A． B． C． D． 题型十二：角度的四则运算 34．若是锐角，是钝角，则计算的结果可能是（　　） A． B． C． D． 35．已知．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．计算（用度、分、秒表示）： （1）________． （2）________． （3）________． （4）________． 题型十三：实际问题中角度计算问题 37．星期六，李豪同学参加了登山运动，到达山顶时他看了时间刚好用了1小时27分钟，那么时钟的时针转过的角度是____________． 38．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是___________度． 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 题型十四：角平分线的有关计算 40．一个的角被角平分线平分，每个小角的度数为_____． 41．已知从点O引三条射线，，，其中一条射线平分另外两条射线的夹角，，则_______________． 42．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十五：角 n 等分线的有关计算 43．已知为的三等分线，若，则______°． 44．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 45．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 题型十六：尺规作一个角等于已知角 46．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点，画射线，若，则的度数为_________． 47．如图，点在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以为圆心，长为半径画弧，交于点；②作射线，则；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_____________．（填序号即可） 48．如图，已知，嘉淇用尺规作出了，其中点为射线上一点，以下是乱排的作图过程： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． 则正确的作图顺序为（    ） A．①③②④ B．①②③④ C．④③①② D．④②③① 解答题 49．计算 (1) (2) (3) 50．如图，点在直线上，平分． (1)图中小于平角的角共有_____个；（直接写出答案） (2)若，求的大小； (3)尺规作图：作（不与重合），请直接写出_____． 51．【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 52．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． (1)如图1，若，是的一条三分线，求的度数； (2)如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则 ． (3)如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 53．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求：手表 的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）.时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为______度． (3)在（2）的条件下，作射线，使，则的度数为________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $