专题04有理数的乘除运算期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题04有理数的乘除运算期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.概念与法则掌握：熟记有理数乘法法则、除法法则，理解倒数的定义；清楚两数 相乘/除时符号确定规则，多个有理数相乘时积的符号判断方法，知道0不能作 除数。 2运算能力训练：能熟练完成两个及多个有理数的乘法、除法运算；掌握乘除同级 运算顺序，能准确处理负号、括号，规范计算步骤。 3运算律运用：会使用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算，重点区分分配 律展开时的符号问题，能用运算律简化复杂算式。 4.混合运算：掌握有理数乘除混合运算，能把除法转化为乘法统一运算，正确进行 分数、小数形式的乘除转换。 5.实际应用：可以利用有理数乘除运算解决简单实际问题，如增长率、平均变化 量、盈亏类应用题，读懂题意并列式求解。 6数形结合与辨析：能结合数轴判断因数正负，推理乘积、商的符号；区分相反数 与倒数，理清概念差异。 7易错点梳理：避免符号判断错误：牢记0没有倒数；乘除运算中不能随意使用 分配律；小数、分数转化时不要出错，养成验算习惯。 ☆ 题型梳理 年。”””。” 题型 考察方向 难度 ★ 题型一 两个有理数的乘法运算 ★★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★ 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★★★ 题型十一 数轴上的翻折 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 ■ee■e年e■e年e 知识点01：倒数 1定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2.关键点：0没有倒数（不存在一个数与0相乘等于1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符 号相同。 刚：3的倒数是了：的数是。 4.倒数的求法 试卷第2页（共3页） 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除 以这个数求倒数 小数的倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照 真、假分数求倒数的方法来进行 先把带分数化为假分数，然后将分子分 带分数的倒数 母调换位置 知识点02：有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何 数同0相乘，都得0。 2分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积： 组合符号与绝对值结果。 3.举例：(-3)×(4)：同号得正，3×4=12，结果12； （-5)×2:异号得负，5×2=10，结果-10；0×(7.5)=0。· 二、多个有理数相乘符号规律 1,几个不为0的数相乘，负因数的个数决定积的符号：负因数有偶数 个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 试卷第3页（共3页） 2简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是0，积直接等于0，无需 判断符号。例：(1)×(-2)×(3)，3个负因数（奇数），积为负： （-2)×0×5=0。 三乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先 把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 个数与两个数的和相乘，等于把这个数 乘法分配率 分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 简便计算4种分组技巧 ①凑1分组：互为倒数优洗相乘；②凑整分组；®同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03：有理数的除法 一、除法两条核心法测 法则1（转化法，通用） 除以一个不等手0的数，等于乘这个数的倒数。 公试：ah=axbb≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 试卷第4页（共3页） 法则2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除：0除以任何一个不 等手0的数，都得0。 注意：0不能作除数，00无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04：有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒 数)； 2统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积： 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移 动数字必须连带自身符号。 知识点05：实际应用题型 试卷第5页（共3页） 通用解题流程 1规定相反意义量的正负； 2根据题意列乘除算式； 3按乘除法测计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06：高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0有倒数 0的倒数是0 0没有倒数 概念记忆模糊 括号内每一项都要 分配律漏乘 2×(3-5)=6-5 2×3-2×5 乘外面因数 奇数个负因数结果 多因数符号数错 (-2)×(-3)×(-1)=6-6 为负 除法直接约分不变倒数4=()-4× 4×(-2) 忘记除法要乘倒数 0不能做除 0作除数 8÷0=0 忽略除法限制条件 数， 式子无意义 ☆ 题型精析 试卷第6页（共3页） 题型一、两个有理数的乘法运算 1.填空： (1)（+2)x(+5)=+(2× )= 3} (4× )= (3)（-8)×(-7)= (8×7)= (4)（-2027)x0= 2,定义新运算： aeh=(a-bxa+b),则3(-2) 的值为() A.5 B.13 C.-5 D.-1 3.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16 个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 B D E F 十进制 0 2 3 8 9 10 12 13 5 例如，用十六进制表示D+E=1B,用十进制表示也就是13+14=1×16+11， 则用十六进制 表示E×F为() A.D2 B.2D C.6E D.210 题型二、多个有理数的乘法运算 4.下列运算结果为正数的是() A.（-4x(-8) B.（4)x0 c.3×(-2) D.（-8)×(-3)×(-6) 5,幻方是我国古代数学的杰作之一，珍珍仿照幻方，自己做了如图所示的七点积幻阵（七 个数不相等，且都是负整数)，每条穿过中心一7的直线上的三个数的乘积都相等，且 m>n,则m的值为一 试卷第7页（共3页） m 12 6.下列式子中，积的符号为负的是() A.（-2)x3x(-6) B.（-3列x6x(-H)x(-5)x(-2) c.（-3)x(-5)x(+7)x0x(-4) D.（-3列x3x(-4)x7x(-2) 题型三、有理数乘法的实际应用 7.乐乐家安装了一台太阳能热水器，一天她测量发现19：00时，太阳能热水器水箱内水的 温度是70℃，以后每小时水的温度变化量是-5℃，则22：00时热水器水箱内水的温度是 () A.55C B.45℃ C.35℃ D.15C 8.在青少年科创挑战赛上，评委对参赛人形机器人进行分项考核（分数均为整数，每项满 分均为100分)，每项考核项目以60分为合格基准，单项得分高于60分的部分记为正 数，低于60分的部分记为负数，各项得分情况记录如下表： 动作复 考核项目 自主导航 物体抓取 续航能力 图像识别 刻 得分偏差分 +20 -8 +28 9 2 已知参赛人形机器人的测评总得分为335分，则考核项目中“图像识别”得分为」 分 9.从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等.如果要使所 有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？() A.1 B.2 C.3 D.4 题型四、倒数 10.若一个数的倒数是4，则这个数是() 试卷第8页（共3页） B 1 A.4 C.4 D.-4 11.2023的倒数的相反数是—· 12.-2023的倒数是() 1 1 A.2023 B.-2023 C.2023 D.-2023 13.如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则 m+n+P的值为() -2 3 m n p A. > 5 6 B. C.6 D.0 题型五、有理数乘法运算律 14.0)=30+0 5运用了乘法() A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.交换律和结合律 15.计算： 16对打t 可以转换为() 我(4+号4 c.(←)4 D.(←5)+2x4 5 题型六、有理数的除法运算 17.计算7)小=14 结果是() 试卷第9页（共3页） A.2 B.2 c.月 D.2 18.下列运算正确的是() A.8÷(-2)=4 B.2-1 21 c.（4(-2)=2 D.0÷1=1 19.小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为： a÷b(b>0) -3a☆b= -a÷b(b<0),则1☆(-2)的值为 题型七、有理数除法的应用 20.江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛 由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则 “苏超”第一轮常规赛共比赛() A.12场 B.24场 C.78场 D.85场 21,现定义一种新运算： gm-）=8(网*g回，80)*0.若32)=2 ,则 8(2)=g(4-2)=g(4)÷8(2) 所以4)=g(2)g(2)=2x24.若8)=5，则6 22.鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪 60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 22 新鞋号 220 230 235 260 5 旧鞋号 34 35 36 37 m 则m的值为() A.40 B.41 C.42 D.43 题型八、有理数乘除混合运算 试卷第10页（共3页） A.2 B.-1 C.1 D.4 )9号 25.下列计算正确的是（) a(+- C.(-5)x01=-5 D23》2 题型九、有理数四则混合运算 26.把-2)(-6)-5统一为加法运算，正确的是（) A.（-2)+(6)+(-5) B.（-2)+(+6)+(+5) c.（-2)+(+6)+(←-5) D.（2)+(6)+(+5) 27.现定义同级的两种运算“⊕”“※”：对于任意两个数，a田b=a+b-1, ※b=a÷b-1,则 ⊕8※[2®(-3刃的结果是 28.下列等式不成立的是() A.5×8+8到x0.125=2x8+8x0.125 B 2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3x(-7] 。25 D(28号 试卷第11页（共3页） 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 29.出租车司机小张某天营运时是在东西走向的大街上进行的.如果规定向东为正，向西 为负，则他当天所接20份订单的行车里程（单位：k)如下表： km) 行车里程 -10 -8 +3 +4 订单数 2 8 2 小张完成最后一份订单时，位于出发点( A.西侧39km B.西侧l6km C.东侧l6km D.东侧 39km 30.小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为一厘米， 5厘米 8厘米 31.甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李 老师要为学校购买10个足球，选择()商店能让支付的金额最少 商店 分 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A. 甲 B.乙 C.丙 D.无法确 定 题型十一、数轴上的翻折 32.小明将画在纸上的数轴对折，把表示-5的点与表示1的点重合，此时与表示-2025的 点重合的点表示的数是() A.2024 B.2023 C.2022 D.2021 33.已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示-1的点与表示7的点重合.若数轴上 A,B两点之间的距离为2026，且A,B两点经以上方法折叠后重合，则B点表示的数是( ) A.-1013或1013 B.-1016或1010 试卷第12页（共3页） C.-1010或1016 D.-1013或1016 34.如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是-4,10，现 以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且在点B左侧，到点B的距离为 6,则点C表示的数是 B 解答题 35.计算： 15).14 )2825: 213)x(-0.25)x4 人1s(别 o3667+8 36.计算： (1)58.26-13.6-6.4+1.74: (1+21)1 26+5230 e5层42714 37.请你仔细阅读下列材料并计算： 试卷第13页（共3页) 解法：简便计算，先求其倒数 （得0+6引060+6引}(30=-20+3-52=-0 211_ 原式的倒数为： 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： 38.A!(人工智能)技术有望为传统的教学方式带来新变化，如AI解题.某公司为测验其 AI产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行不同科目测试.分数记录以60分为基准， 超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数.将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 历史 相对分数 -25 -18 +20 -9 已知该AI产品的数学测试分数为79分. (1)请补全上表： (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分.最低分为 分： (3)求该产品在本次测试中所有科目的总分. 39.电脑课上，小亮画了一条数轴，并用AI技术画了两只可沿数轴匀速运动的小蚂蚁（分 别用P,Q表示)（如图所示），若小蚂蚁P从原点O出发，以5个单位长度/秒的速度向 左运动，同时另一只小蚂蚁Q从点A出发，以10个单位长度/秒的速度也向左运动，到达 原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒. PO Q A 0 20 (1)当1=0.5时，小蚂蚁9到原点O的距离为 (2)当1=2.5时，小蚂蚁2到原点0的距离为 (3)当小蚂蚁Q到点A的距离为10时，求两只小蚂蚁的距离。 试卷第14页（共3页） 专题04有理数的乘除运算期中复习讲义 1.概念与法则掌握：熟记有理数乘法法则、除法法则，理解倒数的定义；清楚两数相乘 / 除时符号确定规则，多个有理数相乘时积的符号判断方法，知道 0 不能作除数。 2.运算能力训练：能熟练完成两个及多个有理数的乘法、除法运算；掌握乘除同级运算顺序，能准确处理负号、括号，规范计算步骤。 3.运算律运用：会使用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算，重点区分分配律展开时的符号问题，能用运算律简化复杂算式。 4.混合运算：掌握有理数乘除混合运算，能把除法转化为乘法统一运算，正确进行分数、小数形式的乘除转换。 5.实际应用：可以利用有理数乘除运算解决简单实际问题，如增长率、平均变化量、盈亏类应用题，读懂题意并列式求解。 6.数形结合与辨析：能结合数轴判断因数正负，推理乘积、商的符号；区分相反数与倒数，理清概念差异。 7.易错点梳理：避免符号判断错误；牢记 0 没有倒数；乘除运算中不能随意使用分配律；小数、分数转化时不要出错，养成验算习惯。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★★ 题型十一 数轴上的翻折 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积； 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 一、除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型一、两个有理数的乘法运算 1．填空： （1）____________； （2）__________________； （3）____________； （4）______． 【答案】 5 10 56 0 【分析】根据有理数乘法法则计算各空结果． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 2．定义新运算：，则的值为（     ） A．5 B．13 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，． 3．计算机中常用的十六进制是一种逢进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示为（    ） A． B．2D C．6 D．210 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意正确列式是解决问题的关键．由题意，将利用十六进制表示出来即可． 【详解】解：， 则用十六进制表示为． 故选：A． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．下列运算结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，为正数，符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，为负数，不符合题意； 选项D，，为负数，不符合题意． 5．幻方是我国古代数学的杰作之一，珍珍仿照幻方，自己做了如图所示的七点积幻阵（七个数不相等，且都是负整数），每条穿过中心的直线上的三个数的乘积都相等，且，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，再结合七个数不相等，且都是负整数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵，且七个数不相等，且都是负整数， ∴为， ∵， ∴m的值为． 6．下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过统计各选项负因数个数及是否含0，判断积的符号． 【详解】解：A选项有2个负因数，积的符号为正，不符合题意． B选项有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． C选项含因数0，积为0，不符合题意． D选项有3个负因数，积的符号为负，符合题意． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．乐乐家安装了一台太阳能热水器，一天她测量发现时，太阳能热水器水箱内水的温度是，以后每小时水的温度变化量是，则时热水器水箱内水的温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵到经历了个小时， ∴由题意得：时热水器水箱内水的温度是． 8．在青少年科创挑战赛上，评委对参赛人形机器人进行分项考核（分数均为整数，每项满分均为100分），每项考核项目以60分为合格基准，单项得分高于60分的部分记为正数，低于60分的部分记为负数，各项得分情况记录如下表： 考核项目 动作复刻 自主导航 物体抓取 续航能力 图像识别 得分偏差/分 ？ 已知参赛人形机器人的测评总得分为335分，则考核项目中“图像识别”得分为______分． 【答案】 【分析】先计算项考核的基准总分，用总得分减去基准总分得到所有偏差的总和，再减去已知四项的偏差得到图像识别的偏差，最后加上基准分即可得到实际得分. 【详解】解：一共有5项考核，基准总分为（分）， 所有偏差的总和为总得分减去基准总分：（分）， 已知四项偏差的和：， 则图像识别的偏差为（分）， 因此图像识别的实际得分为（分）． 9．从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可． 【详解】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为， ∵， ∴会议室地点应设在3层， 故选：C． 题型四、倒数 10．若一个数的倒数是4，则这个数是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的倒数是4， ∴若一个数的倒数是4，则这个数是． 11．2023的倒数的相反数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数、相反数等知识点，掌握乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数成为解题的关键． 先求出2023的倒数，再求出其相反数即可． 【详解】解：2023的倒数为，其相反数为． 故答案为：． 12．的倒数是（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 13．如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字、倒数等知识点，掌握长方体的表面展开图找相对面的方法成为解题的关键． 根据同层隔一面、“Z”字两端是对面求出m、n、p的值，然后求和即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故选A． 题型五、有理数乘法运算律 14．运用了乘法（     ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 【答案】C 【分析】左边是一个数与两个数的和相乘，右边是这个数分别与这两个数相乘后相加，运用了乘法分配律． 【详解】解：运用了乘法分配律． 15．计算：_____． 【答案】 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据乘法分配律即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 16．对于算式可以转换为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，原式利用乘法分配律变形即可得到结果，熟练掌握乘法分配律是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 题型六、有理数的除法运算 17．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 18．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误． 19．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 题型七、有理数除法的应用 20．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． 21．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 【答案】25 【分析】根据新运算规则，将改写为的形式，代入运算规则即可求出． 【详解】解：根据新运算定义，可得 整理得 ， ． 22．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 题型八、有理数乘除混合运算 23．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： 24．计算_________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，属于基本题目，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的乘法，根据有理数的除法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 题型九、有理数四则混合运算 26．把统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查加减法的逆运算，掌握减去一个数等于加上它的相反数是解题的关键． 将减法统一为加法，利用减去一个数等于加上它的相反数的性质进行转换． 【详解】∵ 减去一个数等于加上它的相反数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 27．现定义同级的两种运算“”“※”：对于任意两个数，，，则的结果是______． 【答案】 【分析】先根据新定义运算规则计算最内层括号的结果，再按照同级运算从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 28．下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则分别算出每个等式的左右两边，进而即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴该选项等式不成立，符合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 、∵，， ∴该选项等式成立，不合题意； 故选：． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 29．出租车司机小张某天营运时是在东西走向的大街上进行的．如果规定向东为正，向西为负，则他当天所接20份订单的行车里程（单位：km）如下表： 行车里程 订单数 3 2 5 8 2 小张完成最后一份订单时，位于出发点（     ） A．西侧 B．西侧 C．东侧 D．东侧 【答案】A 【分析】先根据题意列式，再运用有理数的混合运算法则计算，最后根据计算结果确定其位于出发点的位置． 【详解】解：由题意可得：， 所以小张完成最后一份订单时，位于出发点西侧． 30．小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为_____厘米． 【答案】26 【分析】本题主要考查的是有理数的运算，熟练掌握长方形的周长公式是解题的关键； 经过平移楼梯模型可变为长方形； 根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据平移性质，楼梯模型周长等于矩形周长， ∴模型总共用的铁丝长为（）． 故答案为：26． 31．甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店． 【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）； ， 乙商店实际支付金额最少，为640元， 故选：B． 题型十一、数轴上的翻折 32．小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 33．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上A，B两点之间的距离为2026，且A，B两点经以上方法折叠后重合，则B点表示的数是（     ） A．或1013 B．或1010 C．或1016 D．或1016 【答案】C 【分析】根据折叠重合的两点对称，先确定对称中心，再结合两点距离分情况计算B点表示的数． 【详解】解：折痕对应的数为． ∵A，B两点折叠后重合， ∴A，B关于表示3的点对称． ∵A，B两点之间的距离为2026， ∴两点到3的距离为． 当点B在表示3的点左侧时，B表示的数为． 当点B在表示3的点右侧时，B表示的数为． 34．如图，数轴上从左到右有、、三点，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且在点左侧，到点的距离为6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意求出折叠后点A表示的数，再根据数轴上两点间的中点公式求解即可． 【详解】解：由题意得，折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点表示的数是． 解答题 35．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1） 利用加法交换律和结合律进行简便计算． （2）将除法转化为乘法后，利用乘法分配律进行简便计算． （3）按照四则运算顺序，先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外的除法． （4）按照四则运算顺序，先算括号内乘法，再算括号内加法，最后从左到右依次计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 37．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【分析】模仿所给材料的简便计算方法，先求原式的倒数，再进行计算，最后根据倒数关系得出原式的结果． 【详解】解：原式的倒数为： ，             ∴． 38．（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行不同科目测试．分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 历史 相对分数 ________ 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表： (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为________分．最低分为________分； (3)求该产品在本次测试中所有科目的总分． 【答案】(1) (2)80；35 (3)287分 【分析】（1）数学测试分数减去基准分即可； （2）相对分数最大的对应最高分，最小的对应最低分，据此求解即可； （3）基准总分加上所有学科的相对分数之和即可． 【详解】（1）解：， 则数学的相对分数为； （2）解：∵， ∴该产品所得最高分为（分）； 最低分为（分）； （3）解：（分）， （分）， 答：该产品在本次测试中全科目的总分是287分． 39．电脑课上，小亮画了一条数轴，并用技术画了两只可沿数轴匀速运动的小蚂蚁（分别用P，Q表示）（如图所示），若小蚂蚁P从原点O 出发，以5个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只小蚂蚁Q从点A出发，以10个单位长度/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，小蚂蚁Q到原点O的距离为___________； (2)当时，小蚂蚁Q到原点O的距离为___________； (3)当小蚂蚁Q到点A的距离为10时，求两只小蚂蚁的距离． 【答案】(1)15 (2)5 (3)两只小蚂蚁的距离为15或25或55 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间结合两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据路程等于速度乘以时间结合两点间的距离公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时， 小蚂蚁 Q 运动的距离为． 由数轴可知，， ∴， 小蚂蚁Q 到原点O的距离为； （2）解：当时， 小蚂蚁 Q 运动的距离为． ∵， ∴， ∴当时，小蚂蚁Q到原点O的距离为5． （3）解：当小蚂蚁Q到点A 的距离为10时． 分三种情况讨论： ①小蚂蚁Q 向左运动还没到达原点O 时． ∵， ∴， 运动时间（秒）， ∴， ∴； ②小蚂蚁Q 向右运动且还没经过点 A 时， ∵，，小蚂蚁Q运动的距离为，运动时间（秒）， ∴， ∴； ③小蚂蚁Q 向右运动且经过点A 后， ∵，，小蚂蚁Q运动的距离为， 运动时间（秒）， ∴， ∴， 综上所述，两只小蚂蚁的距离为15或25或55． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $