4.3 多边形和圆的初步认识（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦多边形和圆的初步认识，系统梳理多边形的定义、顶点、边、内角、对角线及条数计算（n(n-3)/2）、正多边形概念，圆的定义、圆心、半径、弧、扇形、圆心角及计算，形成从概念抽象到性质推导再到拓展应用的学习支架。 资料融合新课标核心素养，通过实物抽象培养数学眼光（如图形识别题），逻辑推导发展数学思维（如对角线条数公式推导），公式应用提升数学语言表达（如扇形圆心角计算实例）。课中助力分层教学，课后通过基础通关与素养提升练习帮助学生查漏补缺。

第四章 基本平面图形 4.3 多边形和圆的初步认识 课标要点 1. 通过实物和模型，经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，了解多边形、正多边形及圆、扇形等有关概念。 2. 了解多边形的顶点、边、内角与对角线，掌握多边形对角线条数的计算方法。 3. 理解圆、弧、扇形、圆心角的概念，能根据扇形与圆的关系求扇形圆心角的度数。 学习重难点 学习重点 1. 掌握多边形和圆的有关概念，包括多边形的顶点、边、内角、对角线以及圆的圆心、半径、弧、扇形等。 2. 掌握多边形对角线条数的规律（过n边形一个顶点有n-3条对角线，n边形共有n(n-3)/2条对角线）。 学习难点 1. 正确理解正多边形（各边相等、各角也相等）的概念，以及多边形定义中“平面内”“不在同一直线上”“首尾顺次相连”等关键词的辨析。 2. 根据扇形与圆的关系计算扇形圆心角的度数，理解其隐含的数学意义。 知识点 多边形 1.定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 2.相关概念：顶点是相邻两条边的公共端点；边是组成多边形的各条线段；内角是相邻两条边所组成的角；对角线是连接不相邻两个顶点的线段。 3.性质：n边形有n个顶点、n条边、n个内角。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，n边形对角线的总条数为n(n - 3)/2（n≥3，且n为整数）。 4.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 特别提醒 n边形有n个顶点、n条边、n个内角；从同一顶点出发可引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。注意“对角线”是连接不相邻两个顶点的线段。 随学随练 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 4．（24-25八年级下·北京·课后作业）如图， （1）从八边形的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来； （2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？ 知识点 圆 1.定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。 2.相关概念：圆心是固定的端点O；半径是线段OA；圆弧是圆上任意两点间的部分；扇形是由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形；圆心角是顶点在圆心的角。 3.扇形圆心角的度数：将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的圆心角度数之和等于360°，每一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。 特别提醒 圆上各点到圆心距离相等（半径）。圆心决定位置，半径决定大小。扇形由两条半径和一段弧围成，其圆心角是顶点在圆心的角。注意区分“弧”与“扇形”。 随学随练 1.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 2．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 3．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 4．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 拓展 多边形截角后的边数问题 1. 过顶点截：截去一个角且截线经过两个顶点，边数减少1（如五边形变四边形）。 2.过一边截：截线经过一条边和一个顶点，边数不变（如五边形仍为五边形）。 3. 不过顶点截：截线不经过任何顶点，边数增加1（如五边形变六边形）。 关键：画图数截线与原多边形的交点个数，新增边数 = 交点个数 - 1。 活学活用 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 3．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 拓展 圆的周长和面积问题 1. 求圆周长，牢记公式C=2πr或C=πd，看清已知半径还是直径，直接代入计算。 2. 求圆面积，使用公式S=πr²，注意必须先算出半径，切勿直接用直径平方计算。 3. 组合图形题型，拆分图形，分清周长包含哪些线段，面积采用割补法加减求解。 活学活用 1．（2025六年级上·全国·专题练习）一个圆形桌面的周长是6.28m，求这个桌面的直径（取3.14）． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 3．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 4．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 题型 多边形的概念与分类 解题贴士 由若干条首尾顺次相连的线段围成的封闭图形。按边数分：三角形、四边形、五边形等；按凹凸分：凸多边形（所有对角线在内部）和凹多边形。注意：圆不是多边形。 ▌例1（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26七年级上·全国·期末）下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 题型 多边形的对角线的条数问题 解题贴士 n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线共 n(n-3)/2 条。推导：每个顶点有(n-3)条，n个顶点数重复两次，故除以2。注意n≥4。 ▌例2（25-26七年级上·陕西西安·期末）一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练2-1（25-26八年级下·全国·课后作业）过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． ▌对点练2-3（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）过八边形的任意一顶点的所有对角线有________条． 题型 对角线分成的三角形个数问题 解题贴士 从n边形同一顶点出发，连所有对角线，将多边形分成(n-2)个三角形（n≥3）。公式：三角形个数 = n-2。也可按不同顶点分割计算，但总三角形数不变。 ▌例3（25-26七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 ▌对点练3-1（25-26七年级上·江西吉安·期末）若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． ▌对点练3-2（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连，可将多边形分成4个三角形，则的值为______． ▌对点练3-3（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． (1)数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ (2)总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 题型 圆的基本概念辨析 解题贴士 圆是到定点距离等于定长的所有点组成的图形。圆心确定位置，半径确定大小；直径是半径的2倍，也是圆中最长的弦。注意“弧”是圆周的一部分，“弦”是连接圆上两点的线段。 ▌例4（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 ▌对点练4-1（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 ▌对点练4-2（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． ▌对点练4-3（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 题型 圆心角概念辨析及简单运算 解题贴士 顶点在圆心的角叫圆心角，所对弧的度数等于圆心角度数。计算时注意：周角360°，半圆180°，扇形面积与圆心角成正比。找圆心角要看顶点是否在圆心。 ▌例5（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26九年级上·全国·课前预习）“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） ▌对点练5-3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 基础通关 一、单选题 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）一张圆形纸片，要想找到圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 7．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）过八边形的一个顶点的所有对角线，可以将这个八边形分成 个三角形． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期中）小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 12（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    13.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 素养提升 1．（25-26七年级上·山东青岛·周测）以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025七年级上·全国·专题练习）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 3.（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·重庆·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 5．（25-26七年级上·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）有一个硬卡纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长（取3.14）．求： (1)做这样一个礼品盒共需要多长的彩带？ (2)做这样一个礼品盒至少需要多少硬卡纸？ (3)这个礼品盒的体积是多少？ 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形． (1)分别画出从正面、左面观察到的图形； (2)小明同学取其中1个正方体，将其展开，下列展开图正确的有______（填序号） (3)如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字互为相反数，已知c是最大的负整数，m的值满足从六边形一个顶点出发最多可以引出对角线的条数，且．求的值； 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 10．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用三张同样大小的正方形铁皮（边长是），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ 迁移创新 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 2．（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 3．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 4.3 多边形和圆的初步认识 课标要点 1. 通过实物和模型，经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，了解多边形、正多边形及圆、扇形等有关概念。 2. 了解多边形的顶点、边、内角与对角线，掌握多边形对角线条数的计算方法。 3. 理解圆、弧、扇形、圆心角的概念，能根据扇形与圆的关系求扇形圆心角的度数。 学习重难点 学习重点 1. 掌握多边形和圆的有关概念，包括多边形的顶点、边、内角、对角线以及圆的圆心、半径、弧、扇形等。 2. 掌握多边形对角线条数的规律（过n边形一个顶点有n-3条对角线，n边形共有n(n-3)/2条对角线）。 学习难点 1. 正确理解正多边形（各边相等、各角也相等）的概念，以及多边形定义中“平面内”“不在同一直线上”“首尾顺次相连”等关键词的辨析。 2. 根据扇形与圆的关系计算扇形圆心角的度数，理解其隐含的数学意义。 知识点 多边形 1.定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 2.相关概念：顶点是相邻两条边的公共端点；边是组成多边形的各条线段；内角是相邻两条边所组成的角；对角线是连接不相邻两个顶点的线段。 3.性质：n边形有n个顶点、n条边、n个内角。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，n边形对角线的总条数为n(n - 3)/2（n≥3，且n为整数）。 4.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 特别提醒 n边形有n个顶点、n条边、n个内角；从同一顶点出发可引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。注意“对角线”是连接不相邻两个顶点的线段。 随学随练 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 4．（24-25八年级下·北京·课后作业）如图， （1）从八边形的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来； （2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？ 【答案】（1）5条，它们分别是线段；（2）6个三角形． 【分析】根据过边形的一个顶点有条对角线，并将多边形分成个三角形，并按照题意将所有对角线用字母表示出来，根据对角线以及顶点即可表示出三角形． 【详解】（1）5条，它们分别是线段； （2）6个三角形，它们分别是． 【点睛】本题考查了求多边形的对角线条数问题，掌握过边形的一个顶点有条对角线，并将多边形分成个三角形是解题的关键． 知识点 圆 1.定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。 2.相关概念：圆心是固定的端点O；半径是线段OA；圆弧是圆上任意两点间的部分；扇形是由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形；圆心角是顶点在圆心的角。 3.扇形圆心角的度数：将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的圆心角度数之和等于360°，每一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。 特别提醒 圆上各点到圆心距离相等（半径）。圆心决定位置，半径决定大小。扇形由两条半径和一段弧围成，其圆心角是顶点在圆心的角。注意区分“弧”与“扇形”。 随学随练 1.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． 2．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 3．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再将半径代入圆的面积公式计算得到花坛的面积． 【详解】解：取，根据圆的周长公式，计算圆形花坛的半径： 米， 再根据圆的面积公式，计算圆形花坛的面积： 平方米． 4．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解． 【详解】外圈半径为 内圈半径为 如图， 该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即 ． 拓展 多边形截角后的边数问题 1. 过顶点截：截去一个角且截线经过两个顶点，边数减少1（如五边形变四边形）。 2.过一边截：截线经过一条边和一个顶点，边数不变（如五边形仍为五边形）。 3. 不过顶点截：截线不经过任何顶点，边数增加1（如五边形变六边形）。 关键：画图数截线与原多边形的交点个数，新增边数 = 交点个数 - 1。 活学活用 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 2．（24-25八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 3．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 【答案】4、5或6 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】 如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】略 拓展 圆的周长和面积问题 1. 求圆周长，牢记公式C=2πr或C=πd，看清已知半径还是直径，直接代入计算。 2. 求圆面积，使用公式S=πr²，注意必须先算出半径，切勿直接用直径平方计算。 3. 组合图形题型，拆分图形，分清周长包含哪些线段，面积采用割补法加减求解。 活学活用 1．（2025六年级上·全国·专题练习）一个圆形桌面的周长是6.28m，求这个桌面的直径（取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式， 已知周长求直径，需将公式变形为，解答即可． 【详解】解：. 答：这个桌面的直径是． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 3．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 4．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 题型 多边形的概念与分类 解题贴士 由若干条首尾顺次相连的线段围成的封闭图形。按边数分：三角形、四边形、五边形等；按凹凸分：凸多边形（所有对角线在内部）和凹多边形。注意：圆不是多边形。 ▌例1（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． ▌对点练1-1（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-2．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-3．（25-26七年级上·全国·期末）下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】 解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是． 故选：D． 题型 多边形的对角线的条数问题 解题贴士 n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线共 n(n-3)/2 条。推导：每个顶点有(n-3)条，n个顶点数重复两次，故除以2。注意n≥4。 ▌例2（25-26七年级上·陕西西安·期末）一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为， 又∵该多边形为七边形，即， ∴代入得． 故选：C． ▌对点练2-1（25-26八年级下·全国·课后作业）过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． 【答案】 1 2 2 【分析】依据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可将边形分成个三角形，边形对角线的总条数为的规律进行求解 【详解】解：对于四边形，，从一个顶点出发可画的对角线条数为条，将四边形分成的三角形个数为个，四边形的总对角线条数为条． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题关键．根据“边形从一个顶点出发可引出条对角线”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 过多边形的一个顶点能引出条对角线， ， 解得， 故答案为：． ▌对点练2-3（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）过八边形的任意一顶点的所有对角线有________条． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的定义，边形从一个顶点出发可引出条对角线是需要熟记的内容．根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，可知边形从一个顶点出发可引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：边形从一个顶点出发可以引条对角线， 从八边形的一个顶点出发可以画出条对角线． 故答案为：5． 题型 对角线分成的三角形个数问题 解题贴士 从n边形同一顶点出发，连所有对角线，将多边形分成(n-2)个三角形（n≥3）。公式：三角形个数 = n-2。也可按不同顶点分割计算，但总三角形数不变。 ▌例3（25-26七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． ▌对点练3-1（25-26七年级上·江西吉安·期末）若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． 【答案】九 【分析】本题考查了多边形．根据多边形从一个顶点出发可引出对角线将多边形分割成个三角形的性质，直接列方程求解． 【详解】解：设多边形边数为n，从一个顶点出发可分出的三角形个数为， 已知分出7个三角形，故， 解得，因此这个多边形是九边形． 故答案为：九． ▌对点练3-2（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连，可将多边形分成4个三角形，则的值为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形对角线的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形． 根据“经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形”求边数即可． 【详解】解：设多边形有条边， 由题意得， 解得． 故答案为：6． ▌对点练3-3（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． (1)数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ (2)总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 【答案】(1)四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形 (2)以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等 【分析】本题通过观察不同边数的多边形，在内部取一点连接各顶点后形成三角形的个数，进而总结出三角形个数与多边形边数的关系． 【详解】（1）对于四边形，在其内部取一点，连接这一点与各顶点，可直接数出被分成了个三角形； 对于五边形，同样的操作，数出被分成了个三角形； 对于六边形，数出被分成了个三角形； 可以总结出：四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形． （2）由（1）中四边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、五边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、六边形被分成个三角形（边数，三角形个数） 可以总结出：以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等． 题型 圆的基本概念辨析 解题贴士 圆是到定点距离等于定长的所有点组成的图形。圆心确定位置，半径确定大小；直径是半径的2倍，也是圆中最长的弦。注意“弧”是圆周的一部分，“弦”是连接圆上两点的线段。 ▌例4（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． ▌对点练4-1（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． ▌对点练4-2（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． ▌对点练4-3（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列结论错误的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义． 根据圆的定义和性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意； D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 题型 圆心角概念辨析及简单运算 解题贴士 顶点在圆心的角叫圆心角，所对弧的度数等于圆心角度数。计算时注意：周角360°，半圆180°，扇形面积与圆心角成正比。找圆心角要看顶点是否在圆心。 ▌例5（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． ▌对点练5-1（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． ▌对点练5-2（25-26九年级上·全国·课前预习）“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. ▌对点练5-3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 基础通关 一、单选题 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个三角形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 3．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）一张圆形纸片，要想找到圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的相关概念，找到圆心需要两条直径的交点，每次对折圆形纸片得到一条直径，至少需要两次不同方向的对折才能确定两条直径的交点，据此求解即可． 【详解】解：∵对折一次得到一条直径，但无法确定圆心， ∵对折两次（不同方向）得到两条直径，它们的交点即为圆心， ∴至少需要对折2次， 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 7．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）过八边形的一个顶点的所有对角线，可以将这个八边形分成 个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形的对角线性质，过n边形一个顶点可将其分成个三角形．即可求得答案． 【详解】解：过八边形的一个顶点的所有对角线可将八边形分成个三角形． 故答案为：6． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期中）小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 12（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 13.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 【答案】(1)这个运动场的周长是388.4米 (2)这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元 【分析】（1）根据题意可知，长方形的宽就为两端半圆的直径，两端的半圆可看作一个圆进行计算，运动场的周长等于圆的周长加上长方形的两条长边； （2）用长方形的面积加上圆的面积可计算出这个运动场的面积，然后再用运动场的面积乘100就是整个运动场所需要的费用，列式解答即可得到答案． 【详解】（1）解：（米） 答：这个运动场的周长是388．4米 （2）（平方米）． （元） 答：这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【分析】（1）根据图形，求解即可； （2）依据题中的图形，求解即可； （3）依据题中的图形，求解即可； （4）根据前面三种情况求解即可． 【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等； （2）可以得到4个三角形，它等于边数减1； （3）可以得到4个三角形，它等于边数减2； （4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 素养提升 1．（25-26七年级上·山东青岛·周测）以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查圆的认识，正多边形的定义，度、分、秒的换算，中点和线段的定义等，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，说法正确，符合题意； ②各边都相等，各角都相等的多边形叫正多边形，原说法错误，不符合题意； ③顶点在圆上的角叫做圆周角，原说法错误，不符合题意； ④，，所以用度、分、秒表示为，说法正确，符合题意； ⑤当点C在线段上，且时，点C是线段的中点，原说法错误，不符合题意； ⑥两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 3.（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 【答案】20 【分析】本题考查了多边形的性质． 过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，据此求出边数n，再代入对角线公式计算． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以对角线总数为：． 故答案为：20． 5．（25-26七年级上·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式及面积公式，根据题意，长方形的长是圆周长的一半，宽是半径，设圆的半径为，列方程求解得到，再由圆的面积公式即可解答． 【详解】解：设圆的半径为， 把一个圆形平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是， ，则， 这个圆的面积是． 故答案为：. 7．（2025七年级上·全国·专题练习）有一个硬卡纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长（取3.14）．求： (1)做这样一个礼品盒共需要多长的彩带？ (2)做这样一个礼品盒至少需要多少硬卡纸？ (3)这个礼品盒的体积是多少？ 【答案】(1)298cm的彩带． (2)做这样一个礼品盒至少需要的硬卡纸． (3) 【分析】（1）使用彩带的长度等于4个高，4条直径，外加打结的18cm即可； （2）求这个圆柱体的表面积，即两个底面积加侧面积即可； （3）根据“体积等于底面积乘以高”计算即可． 【详解】（1）解：． 答：做这样一个礼品盒共需要的彩带． （2）解：． 答：做这样一个礼品盒至少需要的硬卡纸． （3）解：． 答：这个礼品盒的体积是． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形． (1)分别画出从正面、左面观察到的图形； (2)小明同学取其中1个正方体，将其展开，下列展开图正确的有______（填序号） (3)如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字互为相反数，已知c是最大的负整数，m的值满足从六边形一个顶点出发最多可以引出对角线的条数，且．求的值； 【答案】(1) 解：如下图； (2)②③⑤ (3)或． 【分析】（1）根据从正面、左面观察到的图形作答即可； （2）根据正方体的展开图作答即可； （3）由题意得到，，再结合相对两面的数字互为相反数，求出、、的值，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由正方体的展开图可知，展开图正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤； （3）解：c是最大的负整数，m的值满足从六边形一个顶点出发最多可以引出对角线的条数， ，， 正方体的相对两面的数字互为相反数， ，，， ，，， ， ， 当时，； 当时，； 综上可知，的值为或． 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析 (2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； （2）解：结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 10．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用三张同样大小的正方形铁皮（边长是），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ 【答案】(1)三种圆片中每个圆的周长分别是． (2)剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多． (3)按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． 【分析】这道题考查的是正方形和圆的面积计算公式以及圆的周长计算公式的实际应用，要明确正方形的面积=边长×边长，圆的面积=圆周率×半径的平方，圆的周长=圆周率×直径． 根据圆的周长计算公式，即可分别求出三种圆片的周长；根据正方形和圆的面积计算公式，即可求出哪张铁皮剩下的废料多些. 【详解】（1）解： ， ， ， 答：三种圆片中每个圆的周长分别是5.652m，2.826m，1.884m； （2）， ， ， 答：剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多； （3）按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． 迁移创新 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1) 如图， (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 3．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 【答案】(1)涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； (2)的长是15厘米． 【分析】本题主要考查组合图形的周长和面积的计算，关键利用转化思想解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出涂色部分的周长，通过割补转化为半圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （2）根据图示可知，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，则半圆面积比三角形面积大7平方厘米，据此计算的长即可． 【详解】（1）解：涂色部分的周长是 （厘米） 涂色部分的面积是 （平方厘米） 答：涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； （2）解： （厘米） 答：的长是15厘米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $