精品解析：河北承德市双滦区实验中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

实验中学2026—2027学年上学期高二年级期中考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间距离公式即可求解. 【详解】因为、， 所以， 故选：C. 2. 已知圆：，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由圆的标准方程可知， 圆心，半径. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60， ∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3， 丙车间生产产品所占的比例， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的， 所以样本容量n=3÷=13． 考点：分层抽样方法 4. 已知直线与平行，则他们之间的距离是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行求，再将方程化为，根据平行直线距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，所以， 所以直线可化为， ∴两平行线之间的距离， 故选：B. （2009·陕西卷，理4） 5. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为 A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，直线方程为：，即， 圆的标准方程为：， 圆心到直线的距离：， 则弦长为：. 本题选择A选项. 点睛：圆的弦长的常用求法 (1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 6. 若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解． 【详解】解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，. 故选B． 【点睛】本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题． 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 两人均成功破译的概率为 B. 恰有一人成功破译的概率为 C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码破译失败的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】A：两人均成功为独立事件同时发生，直接用概率乘法公式计算即可判断；B：恰有一人成功分两种互斥情形，分别计算后相加即可验证结果；C：密码被破译等价于至少一人成功，利用对立事件（两人均失败）简化计算；D：密码破译失败即两人均未成功，用独立事件乘法计算两人同时失败的概率即可. 【详解】设“甲成功破译密码”为事件，“乙成功破译密码”为事件， 由题意可知、为相互独立事件，且，， 因此，. 选项A：两人均成功破译的概率为，故A错误； 选项B：恰有一人成功破译的概率为，故B错误； 选项C：密码被成功破译等价于至少有一人成功破译，其对立事件为两人均未破译， 因此对应概率为，故C正确； 选项D：密码破译失败等价于两人均未破译，对应概率为，故D错误. 8. 已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线过定点、纵截距、倾斜角、数形结合等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，过定点，A选项正确. B选项，直线即，纵截距为，B选项错误. C选项，直线的斜率为， 倾斜角为，C选项正确. D选项，直线即过定点， 画出图象如下图所示， 其中， 直线的斜率为，所以或， 解得或，所以D选项错误. 故选：AC （2023·新高考1卷，9） 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 11. 已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 B. 直线AB的方程为 C. D. 若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D. 【详解】由圆C：知圆心为， 所以直线OC的方程为，即， 所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确； 因为圆O：与圆C：，两圆方程作差， 可得直线AB的方程为，故B正确； 点O到直线AB的距离，所以，故C错误； 点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是______. 【答案】6 【解析】 【分析】先依据题意列等量关系式求出m，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解. 【详解】由题该组数据的极差为，中位数为， 所以，又， 所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三位数为6. 故答案为：6. 13. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数，，则直线与圆有公共点的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算两次投掷骰子的所有基本事件总数，再结合直线与圆有公共点的距离条件推导满足要求的事件数，最后代入古典概型公式计算概率. 【详解】投掷骰子两次，，所有基本事件总数； 圆，圆心，半径，直线， 直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离， ，解得， 又，即，故原不等式等价于， 时，，有6组； 时，，有5组； 时，，有4组； 时，，有3组； 时，，有2组； 时，，有1组； 则直线与圆有公共点的概率为. 14. 如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线将划分为面积相等的两个区域，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，分析直线与圆的位置关系，得到直线将划分为面积相等的两个区域，并求出的值，进而得出结果. 【详解】设直线的方程为，当直线与相交时，随着的减小， 在这条直线上半部分的面积一定增加，下半部分的面积一定减小， 任意一条过的直线将圆1（圆心为)与圆2（圆心为)组成的区域划分为面积相等的两个区域， 任意一条过的直线将圆3（圆心为)与圆4（圆心为)组成的区域划分为面积相等的两个区域， 对于其余的四个圆，直线将其平分，因此直线将划分为面积相等的两个区域且. 所以直线的方程为，即直线. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线：与：相交于点． （1）求点的坐标； （2）求过点且与直线：平行的直线； （3）求过点且与直线：垂直的直线． 【答案】（1）点的坐标为； （2）过点与平行的直线方程为； （3）过点与垂直的直线方程为. 【解析】 【小问1详解】 由得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 所求直线与直线平行，则所求直线可设， 所求直线过点，则，解得， 故所求直线为； 【小问3详解】 所求直线与直线垂直，则所求直线可设， 所求直线过点，则，解得， 故所求直线为. 16. 为了了解我市参加2023年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数； （3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要得多少分？ 【答案】（1）分数在内的频率为， 补全频率分布直方图： （2）众数为和，平均数为； （3）分. 【解析】 【分析】（1） 利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，计算出缺失组的频率及纵坐标，进而补全图形； （2） 根据众数是最高矩形底边中点，平均数是各组中点值与对应频率乘积之和进行计算； （3）根据前的频率值，结合直方图确定分数所在区间，利用面积关系求解分数线. 【小问1详解】 设分数在内的频率为， 根据频率分布直方图，则有，可得， 所以分数在内的频率为，所以频率分布直方图如下： 【小问2详解】 由图知，众数为：和，平均数为. 【小问3详解】 因为分数在内的频率为，内的频率为，而， 所以得分前的分界点应在至之间，设所求的分界点为， 则，解得， 所以得分前的分界点为，即获奖的同学至少需要得分. 17. 甲、乙两位乒乓球运动员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球乙赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球乙赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 打4个球乙赢，说明比赛在第4球结束且乙获胜， 需满足：第3、4球均为乙赢，且前3球无连续两球获胜的情况， 即胜负序列（按第1到4球顺序）为：乙胜、甲胜、乙胜、乙胜. ∵ 各球结果相互独立，∴ 所求概率为. 【小问2详解】 打5个球结束，说明比赛在第5球结束，分两种情况： ① 最终乙获胜：胜负序列为甲胜、乙胜、甲胜、乙胜、乙胜， 对应概率； ② 最终甲获胜：胜负序列为乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜， 对应概率. ∵ 两种情况互斥，∴ 打5个球结束的总概率为. 18. 如图，已知正方形的四个顶点分别为，，，． （1）求对角线所在直线的方程； （2）求正方形外接圆的方程； （3）若动点为外接圆上一点，点为定点，则线段的中点的轨迹是什么？请求出轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，方程为． 【解析】 【分析】 （1）利用两点式或斜截式求直线方程； （2）确定圆心坐标和半径，写出圆的标准方程； （3）利用相关点法（代入法），设出中点坐标，反表示出动点的坐标并代入圆方程化简． 【小问1详解】  由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 设直线的斜率为，则． 由直线的点斜式方程可得：， 整理得直线的方程为． 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以其外接圆的圆心为对角线的中点． 设圆心为，则的坐标为，即． 设外接圆的半径为，则． 所以正方形外接圆的方程为． 【小问3详解】 设线段的中点的坐标为，点的坐标为． 因为点的坐标为，由中点坐标公式可得： ，， 解得，． 因为点在正方形的外接圆上，所以点的坐标满足圆的方程， 即． 将，代入上式，得： ， 化简得，即， 整理得． 所以线段的中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为． 19. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点. （1）求圆的标准方程； （2）已知(2，1)，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于、 ①求证：为定值； ②求的最大值. 【答案】（1）； （2）①证明:设直线， 与圆联立方程组可得： ，， 则 为定值； ②. 【解析】 【分析】（1）根据圆切线的性质，结合互相垂直的两直线斜率之间的关系进行求解即可 （2）①：设出直线的方程，与圆的方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行证明即可； ②：利用两点间距离公式，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】解：（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点， 设， 直线的斜率为：， 则，所以 所以， 所以，即 所以圆的标准方程为： （2）①略； ② ， 令，则 所以 当且仅当时，取等号，即，也就是当时取等号， 所以的最大值为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2026—2027学年上学期高二年级期中考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知圆：，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 4. 已知直线与平行，则他们之间的距离是 A. B. C. D. （2009·陕西卷，理4） 5. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为 A. B. 2 C. D. 6. 若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 两人均成功破译的概率为 B. 恰有一人成功破译的概率为 C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码破译失败的概率为 8. 已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或 （2023·新高考1卷，9） 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 11. 已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 B. 直线AB的方程为 C. D. 若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是______. 13. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数，，则直线与圆有公共点的概率为________． 14. 如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线将划分为面积相等的两个区域，则直线的方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线：与：相交于点． （1）求点的坐标； （2）求过点且与直线：平行的直线； （3）求过点且与直线：垂直的直线． 16. 为了了解我市参加2023年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数； （3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要得多少分？ 17. 甲、乙两位乒乓球运动员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球乙赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球乙赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率． 18. 如图，已知正方形的四个顶点分别为，，，． （1）求对角线所在直线的方程； （2）求正方形外接圆的方程； （3）若动点为外接圆上一点，点为定点，则线段的中点的轨迹是什么？请求出轨迹方程． 19. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点. （1）求圆的标准方程； （2）已知(2，1)，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于、 ①求证：为定值； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $