精品解析：河北省邯郸市部分校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，且，则（ ） A. 1或 B. 或4 C. D. 4 4. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若过坐标原点的直线的一个方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 7. 若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为，平行于轴的直线交于，两点（在的左侧），延长至点，使得，连接交轴于点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线恒过定点 D. 过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程为 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面的夹角的正弦值为 D. 点在平面内的射影为 11. 已知是圆上的一点，是直线上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点到直线的距离的取值范围是 B. 若直线与圆相切，则的最小值为 C. 若，则点的横坐标的取值范围是 D. 若是直线与轴的交点，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆与圆内切，则实数的值为________． 13. 在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 14. 已知点，为抛物线的焦点，若以点、为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点，，． （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程． 16. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知边长为的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线上． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求证：． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的右支交于，两点，且的周长为24，求直线的方程； （3）若，是上的两点，为的右顶点，直线与的斜率之积为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求的方程； （2）是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，则，解得，故． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程． 【详解】因为抛物线，化为标准方程为，，故， 故抛物线准线方程为. 故选：C. 3. 已知直线，，且，则（ ） A. 1或 B. 或4 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件建立关于参数的方程求解. 【详解】由，得， 整理得， 所以或. 4. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程进行判断充分必要性． 【详解】由方程表示椭圆可得，解得且； 则“”是“且”的必要不充分条件． 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 5. 若过坐标原点的直线的一个方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】，故， ， 设点到直线的距离为，则． 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线焦点到渐近线距离为，求得；设到两焦点距离为，利用双曲线定义和勾股定理联立，结合关系求出两线段乘积，再用直角三角形面积公式算出三角形面积. 【详解】∵双曲线 ， ∴渐近线：，左焦点 ，， 则 到渐近线距离：， 又∵ ，得 ， 设 ， 由双曲线定义：，则： ， ，由勾股定理： ， 将 代入 ：， 整理：， ∵ ，∴ ， . 7. 若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程转化为上半圆与斜率为2的平行直线系的交点问题，通过相切、过端点两个临界状态确定的取值范围. 【详解】 由得，且.原方程等价于两个函数有交点： ，即，表示圆心在原点、半径为2的上半圆； ，表示斜率为2的平行直线系。 方程有两个实数解等价于两函数图象有2个交点. 直线整理为，当直线与上半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径： ， 解得，因相切于上半圆，截距，故，此时仅有1个交点，故需. 上半圆左端点为，代入直线方程得，解得， 此时直线与半圆交于和两个点，符合题意，故. 综上，的取值范围为. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为，平行于轴的直线交于，两点（在的左侧），延长至点，使得，连接交轴于点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线平行于轴（即所在直线），可得，得出，再利用已知条件及双曲线定义进行转化列出等式，结合离心率，化简后即可求解. 【详解】设的横坐标分别为，则， 由离心率，得， 由双曲线的焦半径公式：左支上点到左焦点的距离为， 右支上点到左焦点的距离为， 依题意，延长至，即三点顺次共线，且， 所以， ， 因为直线平行于轴，而都在轴上，所以， 在中，在边上，在边上，且，由三角形相似的判定定理，得，于是对应边成比例：， 代入，，， 得， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线恒过定点 D. 过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别判断截距、倾斜角及定点，并注意截距相等时截距为零的情形. 【详解】对于A，令，得，所以直线在轴上的截距为，A正确. 对于B，直线的斜率为，设倾斜角为，则且，所以，B正确. 对于C，将代入直线方程，得恒成立，所以直线恒过该定点，C正确. 对于D，当两轴截距均为零时，直线过原点和点，方程为； 当两轴截距均为非零实数时，设直线方程为，代入点，得，解得，即. 因此所求直线还有，D错误. 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面的夹角的正弦值为 D. 点在平面内的射影为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，将向量坐标表示出来，根据投影向量公式计算投影向量； B选项，根据两直线夹角与向量夹角之间的关系，计算两直线方向向量的夹角，可得两直线夹角； C选项，求出两平面的法向量，根据法向量夹角计算两个平面的夹角； D选项，点在面内的投影必然与平面垂直，可通过判断是否与平面的法向量平行得到D． 【详解】因为点，，，， 则，； 故，；； 则向量在向量上的投影向量为，故A错误； 因为，， 则， 故直线与所成角的余弦值为，B正确； 设为平面的法向量， 则，即，令，可得； 设为平面的法向量； 则，即，解得， 令，可得； 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故C正确； 因为，与不共线，故不是点在平面内的射影，D错误． 11. 已知是圆上的一点，是直线上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点到直线的距离的取值范围是 B. 若直线与圆相切，则的最小值为 C. 若，则点的横坐标的取值范围是 D. 若是直线与轴的交点，，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，可判断A；由，可求得的最小值判断B；由题意可得，可求得点的横坐标的取值范围判断C；取点，令，可求得的轨迹方程即为，进而计算可求得的最小值判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的取值范围是，即，故A错误； 因为直线与圆相切，所以，所以， 所以最小时，取得最小值，又， 所以，故B正确； 因为，所以在圆上存在使， 又直线与圆相切时，最大，即此时， 又由正弦定理可得，所以， 设，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，解得， 所以点的横坐标的取值范围是，故C错误； 当是直线与轴的交点时，可得， 取点，设，令，可得， 化简得，即为圆，所以， 所以， 当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆与圆内切，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】，圆心 ， ， ，圆心 ， ， 两圆内切 , 或(舍)， 故 13. 在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，将所求向量用基底表示后，结合已知的模长和夹角计算数量积. 【详解】由，得， 且， ∴ ，， ， ， 代入得： . 14. 已知点，为抛物线的焦点，若以点、为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设以点、为焦点的椭圆的焦距为，长轴长为，求出的值，在抛物线上任取一点，则，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得出，利用抛物线的定义结合图形求出的最小值，即可得出该椭圆离心率的最大值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点， 设以点、为焦点的椭圆的焦距为，长轴长为， 则，， 所以该椭圆的离心率为， 要使得取最大值，则取最小值，如下图所示： 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点， 由抛物线的定义可知，所以， 由图可知，当点、、共线时，即当时，取最小值， 且最小值为点到直线的距离，故， 因此该椭圆离心率的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点，，． （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，两点纵坐标均为，所以平行于轴，且， 直线的方程为，点到直线的距离，即边上的高为4，故. 【小问2详解】 设外接圆的方程为，将，， 分别代入，得 ， 即， 解得，，， 故外接圆方程为，化为标准方程为. 16. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设该正方体的棱长为，则、、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以，则，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，平面的一个法向量为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知边长为的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线上． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求证：． 【答案】（1） （2）过点的直线与交于，两点，则直线斜率不为0， 设直线的方程为，， 则，得，其中恒成立 所以， 则， 因为，， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在抛物线上，代入计算即可求解； （2）设直线的方程为，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合向量数量积坐标运算计算可得，即可得证. 【小问1详解】 因为边长为的等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个顶点在抛物线上，并且该抛物线关于轴对称，又， 所以点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的右支交于，两点，且的周长为24，求直线的方程； （3）若，是上的两点，为的右顶点，直线与的斜率之积为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）直线过定点，证明如下. 双曲线右顶点，设，由， 得 ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立双曲线， 整理得，由韦达定理得，， 将、代入，合并同类项得， 将，代入展开化简后可得 ， 当时，直线为，过点，此时或与重合，舍去； 当时，直线为，恒过定点； 当直线斜率不存在时，设直线 为，由双曲线对称性可设 ， 由，得 ， 点代入双曲线方程得 ，所以 ，所以 得 ，即直线为 ，恰好过定点 ， 综上，直线过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用焦距得、渐近线得比例关系，结合双曲线关系式求出，，写出双曲线方程； （2）先用双曲线定义转化三角形周长，求出弦长，再联立直线与双曲线，借助弦长公式求解直线斜率； （3）设直线并联立双曲线，结合直线与的斜率之积为的条件化简，分离参数找到恒过定点. 【小问1详解】 由焦距，得， 由渐近线方程为，得，即， 又，得，解得，， 因此双曲线的方程为； 【小问2详解】 根据双曲线的定义， ，，所以，， 故的周长为， 由周长为24，得，即， 右焦点， 当直线的斜率不存在时，直线为，代入，得，弦长，不符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，联立方程， 消去整理得：， 设，， 由韦达定理得，所以，即 ， ， ， 解得，即，满足， 因此直线的方程为或， 即或； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求的方程； （2）是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知左顶点和离心率，直接求出的值即可写出椭圆标准方程. （2）（i）以直线的斜率为参数表示出中点的坐标，利用构成的相似三角形面积比推出，再将点坐标代入椭圆方程解出即可求得点，（ii）将两弦长用斜率表示出来，化简发现平方和为定值，最后由基本不等式直接求出最大值. 【小问1详解】 由题意得，所以，所以， 进而，即， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设点，由点在椭圆上且位于轴的上方知， 故直线的斜率必存在且大于，故设的方程为， 联立，整理得， 所以有，整理得，进而， 因为是线段的中点，所以点，即， 因为直线过原点且与平行，即，所以相似于， 直线即直线交于点，交于点， 则有， 因为时在第二象限,所以的斜率小于， 此时三点共线且在之间，即， 即，即，故点， 将其代入椭圆方程得， 代入得， 解得，因为，所以， 所以，即点. （ⅱ）由上知，直线的斜率为，其方程为， 联立，整理得， 则， 又直线的斜率为 故直线的方程为， 联立，整理得， 则， 则， 所以， 当且仅当，即，解得时等号成立， 此时点，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $