山东济南市2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟试卷

2026-2027学年九年级数学期中模拟试卷（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第4章】（北师大版） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．) 1. 小赵同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ） A． B． C． D． 2. 下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3. 如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（    ） A． B． C． D． 5. 如图是某个几何体从不同方向看到的平面图形，则这个几何体的表面展开图是（   ） A． B． C． D． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7. 如图，正方形网格图中的△ABC与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 8. 顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（    ） A．对角线相等且平分 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线相等且垂直 9 . 2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 10. 如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 12. 一张水平放置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为 ． 13. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 15. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△ABC的顶点的坐标为．以点为位似中心作与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18-20，每题7分，21- 23题9分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 解方程： (1)； (2)； (3)． 18. 如图，在网格图中，已知△ABC和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与△ABC位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 19. 某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小赵的影长是多少？ 20. 如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 21. 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 22. 【数学眼光】 某学校比邻园区海关大楼，该学校九年级学生小赵在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小赵选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小赵发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小赵进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小赵测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小赵在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 23. 阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 24. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学期中模拟试卷（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第4章】（北师大版） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．) 1. 小赵同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据矩形的图形特征与平行投影的原理可知，矩形木框投影不可能是一个点， 2. 下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； 3. 如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 4. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程可以配方成的形式， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴代入得， ∴ ∴ ∴ ∴． 5. 如图是某个几何体从不同方向看到的平面图形，则这个几何体的表面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 选项 A：是圆柱体的表面展开图，由两个圆形底面和一个长方形侧面组成，符合圆柱体的特征； 选项 B：是正方体的表面展开图，不符合要求； 选项 C：是三棱柱的表面展开图，不符合要求； 选项 D：是圆锥的表面展开图，不符合要求. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 7. 如图，正方形网格图中的△ABC与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【详解】解：如图所示，位似中心是点． 8. 顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（    ） A．对角线相等且平分 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线相等且垂直 【答案】C 【详解】解：如下图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 证明：由于E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据三角形中位线定理得：，， ∴四边形是平行四边形 ∴当时， ∴四边形是矩形． ∴顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是对角线垂直． 9 . 2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 10. 如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在△BCE与△CDF中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在中，H是边的中点， ∴， 故④正确； 连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 12. 一张水平放置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为 ． 【答案】个 【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子， 主视图可知左侧碟子有个，右侧有个， 而左视图可知左侧有个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计个， 故答案为：个 13. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】4049 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 将代入方程得，，即， 原式 ． 故答案为：． 14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 15. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 即， 整理得， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△ABC的顶点的坐标为．以点为位似中心作与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18-20，每题7分，21- 23题9分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ， 或， 所以，； （2）解： 或 ∴，． （3） 解： 方程化为一般式为， ，，． ． ， 即， 所以，． 18. 如图，在网格图中，已知△ABC和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与△ABC位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：如图，延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点、，依次连接，即为所求作； （2）解：由图可得：． 19. 某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小赵的影长是多少？ 【答案】(1)画图见详解； (2)小赵的影长是米． 【详解】（1）如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； （2）设小赵的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小赵的影长是米． 20. 如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 21. 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 22. 【数学眼光】 某学校比邻园区海关大楼，该学校九年级学生小赵在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小赵选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小赵发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小赵进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小赵测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小赵在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 23. 阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见详解，，，，， (3) 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 24. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至F，使．连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过作，交延长线于D， ∵在直角梯形中，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 得：， ∴． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $