精品解析：天津外国语大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

天津外国语大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考 数学试题 （90分钟，满分120分） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 若直线的倾斜角是，则实数a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的倾斜角即可得到其斜率，然后将直线化为斜截式，即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 由可得，即，所以. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量是. 3. 已知，则“直线与直线平行”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两条直线平行的条件求出对应的的值，再根据两条直线垂直的条件求出对应的的值，即可得出结论. 【详解】直线与直线平行， 等价于，解得. 直线与直线垂直， 等价于，即，解得或. 由可以推出或；由或不能推出. 所以“直线与直线平行”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 4. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得：，， ， ， ， . 5. 如图所示，空间四边形中，，，，为中点，点在上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知，，根据几何图形和空间向量的加减法运算，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，，， . 故选：B. 6. 在正方体中，平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系求解两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值的绝对值得到两平面夹角的余弦值，进而确定角度. 【详解】设正方体棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得，，，， 、，设，则 ， 令，得， 、，设，则 ， 令，得， 设两平面夹角为，，则 ，故，即. 7. 设过点的直线被圆截得的线段长为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得到圆心与半径，再由弦长公式求出圆心到直线的距离，设出直线点斜式方程，利用点到直线距离公式即可求解斜率. 【详解】圆的标准方程为：，圆心为，半径. 由题意得，解得. 设直线的斜率为，直线过，则直线方程为，即. 所以， 即，两边平方得，整理得， 解得. 8. 已知点，，动点在圆上，则的面积的最大值为（） A. 15 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算线段AB的长度与直线AB的方程，再求出圆心到直线AB的距离，结合圆的半径得到点M到直线AB的最大距离，最终代入三角形面积公式求解最大值. 【详解】已知，，由两点间距离公式得：， 由截距式可得直线的方程为，整理为一般式：， 由圆，得圆心，半径， 圆心到直线的距离：， 圆上的点到直线的距离的最大值为， 因此面积的最大值为：. 9. 如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法，选取基底向量表示出和，通过计算向量的数量积和模长，结合异面直线所成角的定义求解. 【详解】设，，， 由题意可得，，且， 所以，， ， 在平行六面体 中，， ， 则 ， 所以， 又， 设异面直线与所成角为，则， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 10. 已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条直线的斜率可得所求范围． 【详解】曲线整理得， 则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 直线即过定点， 如图， 当时，曲线与直线有两个不同的交点， 由，得或，所以，， 所以实数的取值范围是. 11. 已知长方体中，，，，动点在棱上（含端点），则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，代入公式求出直线与平面所成角的正弦值，再令，得，求导判断单调性即可. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，， 因动点在棱上，故设，， 设平面的法向量为， 则，令，则，故平面的法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 令，则， 记，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 12. 设为空间的一个基底，，，.若空间向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由出发，将两边与作数量积，利用已知条件，可得，即所求式，再由，直接得到的取值范围. 【详解】令，则. . 又，故. 于是，即. 由数量积的性质，，故，解得. 当与同向或反向时等号成立，故的取值范围为. 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知空间向量，，且，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 由可得，所以， 解得. 14. 过点且轴截距与轴截距相等的直线的方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据点斜式设出直线方程，求出截距，令截距相等即可求解. 【详解】依题意直线的斜率存在且不为0，设为． 令，得；令，得． 因此，解得或． 故所求方程为或． 15. 设过点的直线与圆交于、两点，当取到最大值时，直线的方程为_______；若，则直线的方程为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心及半径，再根据圆内最长的弦是直径，且直径过圆心，进而即可得到直线的方程；先根据三角函数的定义得到圆心到直线的距离为，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，进而结合点到直线的距离公式，即可得到直线的方程． 【详解】圆的标准方程为, 则圆的圆心为，半径为， 当取到最大值，即为圆的直径， 即直线过圆心，又直线过点， 所以直线的方程为，即； 过圆心作直线的垂线，且垂足为， 在等腰中，有，且， 则，所以圆心到直线的距离为． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时圆心到直线的距离为，化简得，解得， 此时直线的方程为，即． 综上直线的方程为或． 16. 设圆上有且仅有个点到直线的距离为．若，则______；若，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心及半径，再根据点到直线的距离公式，结合圆上点到直线距离的分布即可求解． 【详解】由圆的标准方程为，则其圆心为，半径为， 若，则直线方程为， 又圆心到直线的距离为，此时， 则直线与圆相交，且圆上有且仅有个点到直线的距离为，所以； 若，即圆上有且仅有个点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离，此时， 即，即，即， 解得，或， 所以的取值范围是． 17. 设四棱锥中，，，，平面截四棱锥得到体积分别为和的两部分（），则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用基底法确认截面与的交点，得到，再结合同一顶点出发、对应棱共线的两个三棱锥，体积比等于侧棱比之积即可求解. 【详解】 根据题意， ，，，则为中点，， 在上，， ，，底面为梯形， 平面含底面顶点及侧棱 、 上的点、，必与侧棱相交于一点 ，故截面为四边形 ， 含顶点的一侧是小四棱锥，即， 以，，为基底，则，且， 设，则，因此 ， 又在平面 内，可设， 因此，解得，即 ，所以， 设，由于梯形中与 的高相同，底之比，故，， 又因为三棱锥与同以为顶点，底面、 共面， 故体积比等于对应棱长之比：，， 由于与 共顶点 ，三条侧棱上各取一点，故， 则，，， 因此 18. 设点，圆，直线与圆相切，切点为，点在直线上，为坐标原点，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】构造点，利用代数不等式得出，因此可得，再说明两个不等号可以同时取到即可． 【详解】设，则由得， 又由直线与圆相切且为切点，得， 故， 取点，则， 因为， 故，故， 所以， 故，所以， 另一方面，当时，，且三点共线，故上式的两个不等号可以同时取到， 因此的最小值为． 三、解答题（共42分） 19. 设点、、. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）设直线过点且与的外接圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）先利用中点坐标公式和垂直直线斜率关系求垂直平分线； （2）联立直线与的垂直平分线求得外接圆的圆心，再计算半径，从而得到外接圆的标准方程； （3）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，根据切线到圆心距离等于半径求解出直线的方程. 【小问1详解】 ，，由中点坐标公式，得的中点坐标为，即的中点坐标为， 直线的斜率，故其垂直平分线的斜率为， 由点斜式得方程为，整理得的垂直平分线的方程为. 【小问2详解】 线段的中点为，且平行于轴，故其垂直平分线为， 联立与，解得，所以圆心的坐标为， 设圆心为，则外接圆的半径为， 因此外接圆的标准方程为. 【小问3详解】 ①当直线斜率存在时，设其方程为，整理为， 由直线与圆相切的性质，圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，解得， 代入整理得直线方程为和； ②当直线斜率不存在时，方程为，圆心到该直线的距离为，直线与圆相交，不符合题意，舍去. 综上，直线的方程为或. 20. 如图，在多面体中，平面，平面，直角梯形中，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在棱上是否存在点使直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，以点为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，结合点到平面的距离公式即可求解； （2）由（1）可得到直线的方向向量和平面的法向量，从而得到直线与平面所成角的余弦值； （3）设，，用表示出平面的法向量，由在线段上存在点，使得直线平面，等价于存在，使平面，计算即可求解. 【小问1详解】 如图所示，建立空间直角坐标系：以点 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向， 由题设条件得各点坐标： ，，，，，， 则，， 设平面法向量 ， 则，令 ，则，得， 取平面上点 ，向量 ， 则点到平面距离. 【小问2详解】 直线的方向向量 ， ，为平面 内的两个不共线的向量， 设平面法向量 ， 则，令 ，则，得 ， 设直线与平面所成角为 ，为锐角， 则， 故余弦值. 【小问3详解】 根据题意，设 ，，则 ， ，， 设平面的法向量， 则， 令，则，，得， 直线 平面，当且仅当 （且直线不在平面内），其中 ， 故， 此时，此时直线上点均不在平面内，故平行成立， 由 得 ，，故. 21. 设点，直线，. （1）设过点的直线与交于点，与交于点，若，求直线的方程； （2）若在中，的角平分线所在直线为，边上的中线所在直线为，求直线的方程； （3）设直线过点且斜率为正数，记直线、、围成的三角形的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）利用坐标表示向量关系结合点在直线上解方程组，然后利用点斜式可得； （2）结合中点坐标公式和点关于直线的对称点分别求出坐标后可得； （3）解方程组得到交点再利用点到直线的距离公式和弦长公式表示出三角形的面积，然后由判别式法求出最值可得. 【小问1详解】 设， 因为，所以，① 又分别在直线上， 代入可得，② 联立①②可得， 所以， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设， 由，③ 由为的中点，可得， 因为，所以，④ 由③④可得， 设点关于直线的对称点为， 所以， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 设直线，可得交点坐标为， 则解方程组可得， 设，， 则到的距离，， 由可得， 由可得， 所以， 所以三角形的面积为，， 令， 展开可得，③ 令，代入到③中检验可得， 所以此时最小面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考 数学试题 （90分钟，满分120分） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 若直线的倾斜角是，则实数a的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“直线与直线平行”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，空间四边形中，，，，为中点，点在上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 设过点的直线被圆截得的线段长为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，动点在圆上，则的面积的最大值为（） A. 15 B. C. 16 D. 9. 如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知长方体中，，，，动点在棱上（含端点），则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 设为空间的一个基底，，，.若空间向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知空间向量，，且，则实数_______. 14. 过点且轴截距与轴截距相等的直线的方程为_______. 15. 设过点的直线与圆交于、两点，当取到最大值时，直线的方程为_______；若，则直线的方程为_______． 16. 设圆上有且仅有个点到直线的距离为．若，则______；若，则的取值范围是______． 17. 设四棱锥中，，，，平面截四棱锥得到体积分别为和的两部分（），则_______. 18. 设点，圆，直线与圆相切，切点为，点在直线上，为坐标原点，若，则的最小值为_______． 三、解答题（共42分） 19. 设点、、. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）设直线过点且与的外接圆相切，求直线的方程. 20. 如图，在多面体中，平面，平面，直角梯形中，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在棱上是否存在点使直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 21. 设点，直线，. （1）设过点的直线与交于点，与交于点，若，求直线的方程； （2）若在中，的角平分线所在直线为，边上的中线所在直线为，求直线的方程； （3）设直线过点且斜率为正数，记直线、、围成的三角形的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $