精品解析：江西南昌市东湖区2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年东湖区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形． 【详解】解：A、B、C图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以都不是中心对称图形，不符合题意； D图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程，即方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程． 3. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两点横坐标代入反比例函数解析式，求出与的值后比较大小． 【详解】解：把代入，得. 把代入，得. ∵， ∴． 4. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线的开口向下 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大， B、C、D选项不符合题意，A选项符合题意． 故选：A． 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴、轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴，则，， ∴，所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， 于是有，联立，解得， ∴，所以②正确； 当图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； 若关于的一元二次方程没有实数根， 即：，亦即， ∴，即：，亦即：， ∵， ∴，所以④正确； 对于任意实数，总有 ， 故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为___________A． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值； 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，， 故答案为：3． 8. 已知两点，若A、B两点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点坐标特点，代数式求值，解题的关键是求出的值． 根据题意可知关于原点对称点横纵坐标都互为相反数，即可得到的值，再代入代数式即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于原点对称， ， ， 故答案为：． 9. 一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 10. 点是二次函数图像上一点，则的值为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可． 【详解】解：∵点是二次函数图像上， ∴则． ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键． 11. 如图，O是坐标原点，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，3），顶点C在的坐标为（﹣4，0），函数（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为_____． 【答案】-18 【解析】 【分析】先求出B点的坐标，然后即可求出k值． 【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∵点A的坐标为（﹣2，3），点C在的坐标为（﹣4，0）， ∴点B的坐标为（﹣6，3）， ∴k=-6×3=-18， 故答案为：-18． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数和几何综合，求出B的坐标是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，当三角形直角顶点P坐标为时，设一直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，在三角板绕点P旋转的过程中，使得为等腰三角形．请写出所有满足条件的点B的坐标________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据P点坐标的特点,可以判断出∠AOP=45°,然后分别从OA=PA,OP=PA,OA=OP去分析求解即可求出答案. 【详解】解:∵P点坐标为(4,4), ∴∠AOP=45°, ① 如图, 若OA=PA.则∠AOP=∠OPA=45°, ∴∠OAP=90°, 即PA⊥x轴, ∵∠APB=90°, ∴PA⊥y轴, ∴点B的坐标为(0,4) ②如图,若OP=PA, 则∠AOP=∠OAP=45°, ∴∠OPA=90°, ∵∠BPA=90°, 点B与点O重合, ∴点B的坐标为(0,0) ③如图, ∵OA=OP,则∠OPA=∠OAP= 过点P作PC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥OP于点D, 则PC∥OA, 设 则 在中 解得： 综上可得：点B的坐标为： 故答案为 【点睛】本题考查了动点问题,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握等腰直角三角形的相关性质定理.实际做题中注意分情况进行讨论. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 14. 已知关于x的一元二次方程．求证：方程一定有两个实数根． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式化简判断即可证明． 【详解】解：方程， 其中，，， ∴， ， ， ， ∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根， 即方程一定有两个实数根． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，理解题意，熟练运用一元二次方程根的判别式是解题关键． 15. 已知二次函数的图像为抛物线． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】（1）开口向上，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的开口向上． ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线 16. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时， 求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【小问1详解】 解：设，依题意得 ，解得． 【小问2详解】 解：当时， 17. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求出抛物线的函数解析式； （2）当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 【答案】（1） （2） 足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可． 【小问1详解】 解：∵当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． ∴设抛物线的函数解析式 将代入中，得 ，解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件商品进价为70元，售价为120元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）． （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1）；；（2）20元． 【解析】 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，则商场日销售量为件，每件商品盈利=原来的盈利－降低的钱数； （2）等量关系为：每件商品的盈利×可售出商品的件数=2100，即可求得． 【详解】（1）设每件商品降价元 则商场日销售量为件 每件商品盈利（元） （2）根据题意可得 或 ∵该商场为了尽快降低库存，则不合题意，舍去 ∴ 故每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出等量关系是解题的关键． 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】（1） （2） （3）饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； 【小问2详解】 在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； 【小问3详解】 由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． （1）直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． （2）请结合图像回答，时，的取值范围______． （3）如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． 【小问3详解】 解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．在x轴上改变点M的位置，用上述同样的方法可得到相应的点P，试着用平滑的曲线连接这些点P，记为曲线L． （1）【基础感知】 ① 当点M的坐标为时，点P的坐标是 ________； ② 当点M的坐标为时，点P的坐标是 ________； ③ 线段与的数量关系是 ________． （2）【推理验证】 对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的数量关系求出x，y满足的关系式．（提示：根据勾股定理，用含x，y的式子表示线段的长） （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，已知点，求出的最小值，并直接写出此时点的坐标． 【答案】（1）①；②；③相等 （2） （3）的最小值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线定理可得，再设点坐标，结合距离公式求解； （2）由可得，再化简即可； （3）由可得，再结合及点的坐标进行求解． 【小问1详解】 解：①当点M的坐标为时，如图， 点在的垂直平分线上， ， 又点在过点M作x轴的垂线上，则可设， ，即， 解得， 点P的坐标是； ②当点M的坐标为时，如图， 同理可得，设， ，即， 解得， 点P的坐标是； ③线段与的数量关系是相等． 【小问2详解】 解：， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：如图， ， ， 又，， 所以当三点共线时，最小，最小为， 即的最小值为， 时，， 则的最小值为，此时点的坐标为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 （1）当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知，_____，_____． 【探究证明】 （2）如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，E为平面内任一点，且，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1），90 （2），见解析 （3）AF的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可证得，从而可求解； （2）根据旋转的性质可得，从而即可得证； （3）过点C作，交AB的延长线于点G，则可得是等腰直角三角形，根据旋转的性质可得，，根据三角形三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，由旋转可知，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵线段是线段绕点C顺时针旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 即的最大值为，最小值为． ∴的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年东湖区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线的开口向下 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为___________A． 8. 已知两点，若A、B两点关于原点对称，则_____． 9. 一元二次方程的两根为，，则______． 10. 点是二次函数图像上一点，则的值为__________ 11. 如图，O是坐标原点，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，3），顶点C在的坐标为（﹣4，0），函数（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，当三角形直角顶点P坐标为时，设一直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，在三角板绕点P旋转的过程中，使得为等腰三角形．请写出所有满足条件的点B的坐标________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知关于x的一元二次方程．求证：方程一定有两个实数根． 15. 已知二次函数的图像为抛物线． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线的函数解析式． 16. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时， 求y的值． 17. 某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求出抛物线的函数解析式； （2）当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件商品进价为70元，售价为120元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）． （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． （1）直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． （2）请结合图像回答，时，的取值范围______． （3）如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．在x轴上改变点M的位置，用上述同样的方法可得到相应的点P，试着用平滑的曲线连接这些点P，记为曲线L． （1）【基础感知】 ① 当点M的坐标为时，点P的坐标是 ________； ② 当点M的坐标为时，点P的坐标是 ________； ③ 线段与的数量关系是 ________． （2）【推理验证】 对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的数量关系求出x，y满足的关系式．（提示：根据勾股定理，用含x，y的式子表示线段的长） （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，已知点，求出的最小值，并直接写出此时点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 （1）当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知，_____，_____． 【探究证明】 （2）如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，E为平面内任一点，且，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $