精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期中阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个各选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分. 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 4. 在平面直角坐标系中，有一个机器人从原点出发进行移动任务．已知点代表机器人的一个初始位置，我们把与初始位置关于原点对称的位置设定为机器人完成动作后的目标位置．那么机器人完成动作后对应的目标位置坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 8. 2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为_______ 米． 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 10. 2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 11. 在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为_________ ． 12. 关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共 30 分) 13. 解下列方程： （1） （2）． 14. （1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 15. 已知a，b，c分别是中所对的边长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 16. 在一次科学与数学融合的活动中，生物学家发现某种昆虫的繁殖规律与数字有着奇妙的联系．他们准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．这些数字代表着该昆虫在不同生长阶段的某种特征数值． （1）一位同学从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 （2）两位同学分别从中随机抽取1张卡片（不放回），求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表方法说明理由）． 17. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画弧的中点D； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24 分) 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 19. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 20. 2025年9月27日下午，南昌市在建军雕塑广场举办“爱我英雄城·骑行阅赣江”自行车骑行活动，吸引了5800余名骑友参与活动．设置体验骑、欢乐骑、铁人骑三个项目，路线全长约20公里，沿途经过赣江两岸的标志性景观，如滕王阁、南昌之星摩天轮、南昌国际体育中心等，旨在通过骑行展示南昌的城市风貌与生态建设成果．如果今后每年都举行这个活动，豆包预计到2027年有8352人参加． （1）求参加骑行活动的人数的年均增长率； （2）某网店以本次活动的纪念礼品为参考，在活动开始前以每套192元的原价，售卖定制骑行服，平均每日卖出40套．活动结束后，该网店进行降价促销，平均每套每降低6元，每日可多卖出4件，每日最多可售卖80套，已知平均每日收到货款为10368元，则每套降价多少元？ 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. (1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　 ． (2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．) (3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心． 22. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 六、解答题(本大题共 12 分) 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个各选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分. 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移． 利用“左加右减，上加下减”的规则，逐步平移即可得出表达式． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 故选：A． 3. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】∵ a， b是方程的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，有一个机器人从原点出发进行移动任务．已知点代表机器人的一个初始位置，我们把与初始位置关于原点对称的位置设定为机器人完成动作后的目标位置．那么机器人完成动作后对应的目标位置坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一点关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，这两个点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，机器人完成动作后对应的目标位置坐标是， 故选：B． 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 6. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质．根据开口向下可得，可判断①；根据对称轴为直线，可得，据此可判断②；由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点，可判断③；根据当时，，可判断④；根据二次函数与轴交于正半轴，可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向下， ，故①错误； 对称轴为直线， ， ∴，故②正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故⑤正确； 由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点， ，故③正确； 当时，， ，故④错误； 正确的有②③⑤， 故选：D． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 8. 2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为_______ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由给定的顶点式可直接得出函数的最大值． 【详解】∵，二次项系数， ∴函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴最大高度为34米． 故答案为：34． 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 10. 2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键．总共有4部影片，两人各自独立选择，总共有16种等可能的结果．其中两人选择同一部影片的情况有4种，因此概率为. 【详解】解：设四部影片为A、B、C、D．李明和肖红各自随机选择一部影片，列表： 李明 肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 所有可能的选择组合共有种，且每种组合发生的可能性相等．二人选择同一部影片的情况有：A,A、B,B、C,C、D,D，共4种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：. 11. 在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为_________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，全等三角形的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点是直线上的动点，当时，则有最小值，整理得，故． 【详解】解：∵是正三角形， ∴， 将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且，则点是直线上的动点， 当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴在中，． 故答案为：2． 12. 关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________． 【答案】0或1或 【解析】 【分析】分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值． 【详解】解：若，则是方程的根， 若，根据根与系数的关系，得，， 两式相减得，则， 不妨设， 若，，解得，，此时，， 若，，解得，，此时，， 综上：k的值为0或1或． 故答案是：0或1或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共 30 分) 13. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴ 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 14. （1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 15. 已知a，b，c分别是中所对的边长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为． 所以其面积． 16. 在一次科学与数学融合的活动中，生物学家发现某种昆虫的繁殖规律与数字有着奇妙的联系．他们准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．这些数字代表着该昆虫在不同生长阶段的某种特征数值． （1）一位同学从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 （2）两位同学分别从中随机抽取1张卡片（不放回），求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表方法说明理由）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：在2，3，5，7中，只有2是偶数，总共4个数字，所以随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：从4个数中随机抽取2个数（不放回），所有可能的情况列表如下： 2 3 5 7 2 5 7 9 3 5 8 10 5 7 8 12 7 9 10 12 共有12种等可能的结果，其中两个数之和为偶数有6种情况， 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 17. 如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画弧的中点D； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】（1） 如图所示； （2）① ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【解析】 【分析】对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），①先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ②略 【点睛】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24 分) 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质并结合图像求解是解题关键． （1）把点，分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可． （2）根据二次函数的性质得出不等式求解即可； （3）结合函数图像即可得出结果． 【小问1详解】 解：把点，分别代入，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方， ∴的解集为或． 19. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证； （）①连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；②连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ②如图，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由①可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 2025年9月27日下午，南昌市在建军雕塑广场举办“爱我英雄城·骑行阅赣江”自行车骑行活动，吸引了5800余名骑友参与活动．设置体验骑、欢乐骑、铁人骑三个项目，路线全长约20公里，沿途经过赣江两岸的标志性景观，如滕王阁、南昌之星摩天轮、南昌国际体育中心等，旨在通过骑行展示南昌的城市风貌与生态建设成果．如果今后每年都举行这个活动，豆包预计到2027年有8352人参加． （1）求参加骑行活动的人数的年均增长率； （2）某网店以本次活动的纪念礼品为参考，在活动开始前以每套192元的原价，售卖定制骑行服，平均每日卖出40套．活动结束后，该网店进行降价促销，平均每套每降低6元，每日可多卖出4件，每日最多可售卖80套，已知平均每日收到货款为10368元，则每套降价多少元？ 【答案】（1） （2）每套降价48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设参加骑行活动的人数的年均增长率为x，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可； （2）设每件降价y元，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设参加骑行活动的人数的年均增长率为x， 则， ， ， 解得，（舍去）； 【小问2详解】 解：设每件降价y元， 则， ， ， 两边同时乘以3得， 移项并整理得， 因式分解得， 解得，． 当时，，，不符合每日最多售卖80件的条件，舍去． 所以，即每套降价48元． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. (1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　 ． (2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．) (3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心． 【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC； (2)证明：连接MD、ME ∵BD、CE是△ABC的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M为BC的中点 ∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC ∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC+CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC (3)证明：取BG中点N，连接EN、FN ∵CE、AF是△ABC的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG ∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG ∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED 同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点G是△DEF的内心 【解析】 【分析】(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等． (2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补． (3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线． 【详解】解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上 故答案为：ME＝MD＝MB＝MC (2)略 (3)略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系. 22. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：描点，连线，画图如下： 一次，二次； 【检验】：，， 验证：当时，，符合题意； 验证：当时，，符合题意； 【应用】：最大为 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 六、解答题(本大题共 12 分) 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①若选择小舞同学的结论，证明如下： 连接，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择小矢同学，证明如下： 由小舞同学可得四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， 即点M是的中点； ② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而根据平行四边形的判定定理可进行求证； （3）①若选择小舞同学的结论，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定定理可进行求证； ②由①可知：，，由旋转的性质可知：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：； （2）略 （3）①略 ②由①可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $