精品解析：上海市行知中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

行知中学高一月考数学试卷 一．填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为__________（填写所有正确的序号） 2. 设，则的大小关系为______． 3. 写出命题“存在实数，，，使或”的否定__________ 4. 若集合，实数的值为______ 5. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向 处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，从现在起__________时间后，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为__________ 6. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 7. 已知实数满足，且，则的值为___________. 8. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 9. 存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 10. 已知集合，，若集合的子集个数为2，则实数m的取值范围为________. 11. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 12. 若实数满足，则的最大值是____________ . 二．选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 15. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 16. 集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三．解答题（本题满分78分，共有5题） 17. 设全集，集合，或 （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合，若，求的取值范围. 18. （1）求不等式：的解集； （2）当时，解关于的不等式． 19. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 20. 关于的方程 （1）若方程无实根，求的取值范围； （2）若方程有4个不等实根，求的取值范围； （3）若，且满足，，，试判断方程根的个数． 21. 设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或． （1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值； （2）若，证明：； （3）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 行知中学高一月考数学试卷 一．填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为__________（填写所有正确的序号） 【答案】 ② 【解析】 【分析】根据常见数集的定义、空集的性质、开区间的含义逐一判断各表达式的正误即可. 【详解】对于①：为自然数集，由自然数集的定义可知，故①错误； 对于②：空集是任意非空集合的真子集，集合为非空集合，因此成立，故②正确； 对于③：为有理数集，是无理数，因此，故③错误； 对于④：开区间等价于集合，故④错误. 2. 设，则的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】作差法可直接比较得出结果. 【详解】易知， 则. 3. 写出命题“存在实数，，，使或”的否定__________ 【答案】对任意的实数，，，有且. 【解析】 【详解】原命题：，，，或， 所以否定为：对任意的实数，，，有且. 4. 若集合，实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 5. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向 处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，从现在起__________时间后，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设 小时后风暴中心到达点 ，根据两点间距离公式列出不等式求解 的取值范围，进而得出开始受影响的时间和影响时长. 【详解】以码头为原点，正东方向为轴正半轴，正北方向为轴正半轴建立平面直角坐标系， 由题意可知，初始时刻热带风暴中心位于南偏东方向处， 则点的坐标为，即. 设从现在起经过小时后，热带风暴中心移动到点， 因为风暴中心以的速度向正北方向移动，所以点的坐标为； 若码头受到热带风暴的影响，则风暴中心与码头的距离不超过500 km，即，所以. 代入坐标可得：，整理得：，即 ， 所以，解得，即， 所以从现在起5小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响持续时间为（小时）. 故从现在起5小时后受影响，影响时长大约为30 h. 6. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根、函数的定义域与不等式的解集区间端点间的关系，可得满足的方程，代入求解新不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且. 由可得，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7. 已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 8. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过设为和的线性组合，再结合不等式的性质，求解取值范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为 所以， 相加得， 即. 故答案为： 9. 存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知集合，，若集合的子集个数为2，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的子集个数为2，得到集合中只有一个元素，然后转化为方程在上只有一个解，然后分情况讨论即可. 【详解】集合的子集个数为2，所以集合中的元素个数为1， 即函数和的图象在上只有一个交点， 联立函数解析式，消得：，令， ①方程只有一个解，且在区间上，则，解得或3， 当时，方程的解为，符合要求； 当时，方程的解为，不符合要求； ②方程有两个解，有一个解在区间上，且， 所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 11. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 【答案】76 【解析】 【分析】根据已知条件建立不等关系式，分两种情况，并进行计算. 【详解】令，当时，可得， 对于，对应的值分别为，且两两互异， 即都是集合的元素，共有个元素， 当时，，，，，， ，，因为，则值每次最多增加， 所以为集合的元素，共个元素， 则共个，所以集合的元素为个. 12. 若实数满足，则的最大值是____________ . 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得的范围，据此即可确定c的最大值. 【详解】由题意可得：， 由基本不等式可得：，即：， 据此可得：， 结合可得：， 则，由于，故， 即，据此可得的最大值为. 【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，换元法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二．选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，当时，，此时无法推出，不满足必要性，故A选项错误； 对于B选项，函数是上的严格增函数，因此，为充要条件，故B选项错误； 对于C选项，函数是上的严格减函数，等价于，即， 显然但（如时），符合必要非充分条件的要求；故C选项正确； 对于D选项，函数是上的严格增函数，因此，为充要条件，故D选项错误. 15. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 16. 集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，， 对于选项A，当时，方程无实根， 所以，，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误， 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根，所以选项C错误， 对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，， 设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别与联系，从而得解. 三．解答题（本题满分78分，共有5题） 17. 设全集，集合，或 （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【小问1详解】 图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． 【小问2详解】 因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 18. （1）求不等式：的解集； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法，根据的不同取值范围去掉绝对值符号，分别求解不等式组后再取并集即可. （2）移项通分将分式不等式转化为整式不等式，结合已知条件确定二次项系数的正负，再对两根的大小关系进行分类讨论. 【详解】（1）当时，原不等式化为，即，解得，故. 当时，原不等式化为，即恒成立，故. 当时，原不等式化为，即，解得，故. 综上，原不等式的解集为. （2）原不等式移项变形为，整理得. 因为，则，不等式两边同除以得，即. 令，解得. 当时，，解得; 当时，，不等式为，无解，解集为; 当时，，解得. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 20. 关于的方程 （1）若方程无实根，求的取值范围； （2）若方程有4个不等实根，求的取值范围； （3）若，且满足，，，试判断方程根的个数． 【答案】（1） （2） （3）个实根 【解析】 【分析】（1）令，则，若原方程无实根，则无实根或实根均小于零，分情况讨论即可； （2）作函数的图象，结合图象确定方程解的个数与的取值的关系，讨论并确定方程解的情况，列不等式求的取值范围； （3）根据已知条件结合基本不等式可得，故，由此确定方程解的情况，结合（2）判断方程根的个数． 【小问1详解】 令，则， 原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令，函数的图象的对称轴方程为， ①若（*）式无实根，则， 故， 解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是； 【小问2详解】 作函数的图象， 可知或时，方程有个不同的解， 时，方程有个不同的解，， 时，方程有个不同的解， 要使原方程有四个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根大于1， 若为方程的根，则，此时方程的另一根为，矛盾， ②（*）式有两不等根且两根均大于1，则，解得； ④（*）式有一个实根在之间，另一根小于零，则，解得； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 因， 所以， 因为为正实数，所以 可得，即， 所以，即， 当且仅当即，时等号成立， 故，此时有， 故（*）式有两不等实根且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有6个实根. 21. 设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或． （1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值； （2）若，证明：； （3）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值． 【答案】（1） （2） 设， 由，可得 所以， 当且仅当，即时上式“=”成立 由题意可知 即 所以 （3）集合M中元素的个数只可能是2 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）设，进而结合题意得，，再计算即可； （3）假设为集合M中的三个不相同的元素，进而结合题意，推出矛盾，得出假设不成立，即集合M中至多有两个元素，且时符合题意，故集合M中元素的个数只可能是2 【小问1详解】 解：因为若，则称A，B互为相反元素，记作或， 所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：解法1：假设为集合M中的三个不相同的元素． 则 即 又由题意可知或1，i=1，2，，n 恰有k个1，与n－k个0 设其中k个等于1的项依次为 n－k个等于0的项依次为 由题意可知 所以， 同理 所以 即 因为 由（2）可知 因为 所以， 设，由题意可知. 所以，得与为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2 解法2：假设为集合M中的三个不相同的元素． 则 即 又由题意可知 恰有k个1，与n－k个0 设其中k个等于1的项依次为 n－k个等于0的项依次 由题意可知 所以① 同理② 因为 所以， ①—②得 又因为为奇数 与矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于利用反证法证明当为集合M中的三个不相同的元素时，结合题意推出与为奇数矛盾，进而得集合M中至多有两个元素，再举例当时符合题意即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $