精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2026-2027学年高三上学期10月阶段过关测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A. 9 B. 21 C. 45 D. 93 6. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（ ） A. B. C. D. 8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数列 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则______． 13. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 14. 已知线段，射线以点为端点，且．在射线上依次取点，，…，，…，满足，．记，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列的前项和满足，等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 17. 已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式; （2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值. 19. 现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 2. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 得． 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用等差数列前项和的性质求解. 【详解】因为，所以. 4. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 5. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A. 9 B. 21 C. 45 D. 93 【答案】C 【解析】 【分析】先利用与的关系，得到，即可证明是公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 6. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，第层的球数是前个正整数的和， 可得. . . 8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据蜜蜂爬行规则推导得出方法数的递推公式，再通过枚举前几项归纳出恒等式，最后用数学归纳法证明恒等式成立并代入计算得出结果. 【详解】要到达第号蜂房，蜜蜂只能从相邻的左侧两个蜂房过来：即要么从号蜂房直接爬到， 要么从号蜂房直接爬到，因此方法数满足递推式： .​ 从出发，到的方法数记为； 枚举得：，，，…… 由，，，， 可归纳得到恒等式： ，可用数学归纳法证明： （1）当时，成立， （2）假设时，成立， 则当时， ， 即当时等式成立. 综上，对，成立. 令，代入得： . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，即可判断B的正误，对A，由等差数列的定义，即可求解；对C，利用等差数列的前项和公式及等差数列的定义，即可求解；对D，先判断的正负，从而将问题转化成求，即可求解. 【详解】对于B，因为，当时，， 所以时，， 又，满足，所以，故B正确， 对于A，因为为常数，所以是等差数列，故A错误， 对于C，因为，则为常数， 所以数列是等差数列，故C正确， 对于D，因为，则时，，时，， 所以， 又，所以，故D错误. 10. 已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，可判定A，B都正确；化简，结合裂项法求和，求得，进而判定C正确，D不正确. 【详解】因为， 所以， 两式相减，可得，即，其中， 令，可得，适合上式， 所以数列的通项公式为，所以B正确； 当时，可得，所以A正确； 又由， 所以，所以C正确； 由，当时，的最小值为，D不正确. 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得出在点处的切线方程，结合牛顿数列的定义得出的递推关系判断A；根据，结合的递推关系可推知的通项公式，判断其余选项. 【详解】，所以在点处的切线方程为：， 令，得，故A正确. ，故，即， 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且数列是递增数列，B错误，C正确， 所以，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据递推关系，求出数列的前5项，得到数列的周期，根据周期性求出问题. 【详解】由题意得， 由于递推关系是相邻两项的关系， 所以数列是周期为3的周期数列， 故. 13. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【解析】 【分析】先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 14. 已知线段，射线以点为端点，且．在射线上依次取点，，…，，…，满足，．记，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意作出图形，分别计算出，，，，，利用等比数列的求和公式计算即得. 【详解】如图，由题意，，，，则， 在中，，则，， 又因，则，同理可得， ，，， 故 ， 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列的前项和满足，等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知前项和，利用作差，推出是等比数列，代入求出首项，得到；算出，代入条件得到关于等差数列首项、公差的方程组，解出，得. （2）写出，得到等差×等比型数列；写出，两边同乘等比数列公比，两式相减，对中间等比部分求和，化简得到 【小问1详解】 由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由(1)得， 得 ， . 16. 已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝2n，n∈N* （2）Tn= 【解析】 【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列{an}的通项公式； （2）先根据第（1）题结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn． 【小问1详解】 由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2， 当n≥2时，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n， ∵当n＝1时，也满足上式， ∴an＝2n，n∈N*． 【小问2详解】 由（1），可得bn＝ ＝ ＝ ＝ 则Tn＝b1+b2+•••+bn ＝ ＝ ＝ ＝ 17. 已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 ，， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； 【小问2详解】 ， 前n项和为． 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式; （2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值. 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据，利用数列通项与前n项和的关系求解； （2）由（2）得，利用错位相减法求得，再根据的单调性，根据求解. 【详解】（1）当时，由， 得， 两式相减得， 即 正项数列. 当时， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， ， . ， 所以当时，单调递增， 当时，， 当时，， 使的最小的正整数的值为. 【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法 （1）公式法：①等差数列的前n项和公式，； ②等比数列的前n项和公式； （2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． （4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解. （6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 19. 现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii） ， 由得， 所以 【解析】 【分析】（1）由条件求出，即得离心率； （2）（i）由题意设直线的方程为，与方程联立后利用韦达定理得，联立直线与曲线的方程，韦达定理，利用弦长公式求得，结合点O到直线的距离可得的面积为； （ii）先利用放缩法得，然后利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 由曲线的方程为，即， 所以，所以曲线的离心率为； 【小问2详解】 （i）由于，故直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立 ，消去y可得， 由于直线与曲线相切，故， 化简得， 联立 ，消去y可得， 所以， 所以 ， 又点O到直线的距离为， 所以的面积为 ； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $