精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2026-2027学年高三上学期9月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人: 审题人： 范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【详解】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C 3. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 4. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助换底公式与对数运算法则，结合基本不等式分别判断与及与的大小关系即可得. 【详解】由，则， 由，故， 则； 由，故， 即，则， 综上可得：. 7. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 8. 函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析可知内层函数的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，则内层函数的值域包含， 当时，内层函数的值域为，符合题意； 当时，因为内层函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 有理数集可表示为 B. 所有的素数不都是奇数 C. 设a，，，，，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题综合考查集合概念、命题真假判断、集合相等性质及不等式性质，需结合对应知识点逐项分析判断. 【详解】选项A中有理数包括正数，负数和0，而集合中不包含负数，故A错. 选项B中素数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的自然数，2是素数且2是偶数，所以所有的素数不都是奇数是真命题，故B对. 选项C中即得，所以，故C对. 选项D中，所以，所以，又因为，所以，故D对. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知正数，满足，则的取值范围为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据不等式的性质进行判断，选项C根据基本不等式进行判断，选项D利用柯西不等式判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得， 当时等号成立，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 13. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由且，得， 所以函数的定义域为， ， 又，所以， 由，得， 所以函数值域为. 14. 已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 16. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 （1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 17. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 18. 已知. （1）若，求的解集； （2）令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； （3）令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）; （3）. 【解析】 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为 ，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 ，，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； 【小问2详解】 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; 【小问3详解】 , 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意 ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人: 审题人： 范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 有理数集可表示为 B. 所有的素数不都是奇数 C. 设a，，，，，则 D. 已知，，，则 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知正数，满足，则的取值范围为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若正数，，满足，则有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 13. 函数的值域为______． 14. 已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 17. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18. 已知. （1）若，求的解集； （2）令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； （3）令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $