精品解析：上海财经大学附属北郊高级中学2026-2027学年第一学期期中考试高一年级数学试卷

上海财经大学附属北郊高级中学2026学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1. 已知集合，则_________. 2. “且”的否定形式为_______． 3. 不等式的解集为_______． 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 5. 方程的两个实数根为，若，则实数__________. 6. 已知，，则_______． 7. 若，则可用表示_______． 8. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 9. 下列函数的图像关于原点成中心对称，且在区间上是严格增函数的是_______．（请填写全部正确的序号） ①；②；③；④． 10. 设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 11. 在关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_______． 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为_______． 二、选择题（共4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，共14分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 15. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 16. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题（共44分） 17. 已知全集为，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式． （1）已知，为正数，且，求的最小值； （2）若关于的不等式对于一切实数都成立，求实数的取值范围． 19. 某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … （1）若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； （2）若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 20. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海财经大学附属北郊高级中学2026学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1. 已知集合，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集概念进行运算即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 2. “且”的否定形式为_______． 【答案】或 【解析】 【详解】“且”的否定形式为或 3. 不等式的解集为_______． 【答案】 或 【解析】 【详解】对原不等式移项，得，通分后可得： ， 因此不等式变形为： 即，等价于 ， 因此解集为或， 故原不等式的解集为或. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，建立不等关系即可求得实数的取值范围． 【详解】已知集合，， 若，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 5. 方程的两个实数根为，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求解即可. 【详解】，，. ，解得. 故答案为： 6. 已知，，则_______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，，所以，则 7. 若，则可用表示_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由换底公式将化为，再根据对数的运算法则进一步化简可得，代入即可. 【详解】由题可得. 8. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 9. 下列函数的图像关于原点成中心对称，且在区间上是严格增函数的是_______．（请填写全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【解析】 【分析】先依据幂函数在严格增的性质筛选出指数大于0的选项，再结合奇函数（图像关于原点中心对称）的性质排除不符合的选项即可得到结果. 【详解】题目要求函数同时满足两个条件：1.图像关于原点成中心对称，即函数为奇函数；2.在区间上严格增. 对于幂函数，有基本性质：当时，函数在上严格增；当时，函数在上严格减. 第一步筛选单调性： ①，，在严格增； ②，，在严格增； ③，，在严格增； ④，，在严格减，不符合要求，排除④. 第二步筛选奇函数： ①的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，图像不关于原点对称，排除①； ③的定义域为，对任意，，为偶函数，图像关于轴对称，不符合要求，排除③； ②的定义域为，对任意，，为奇函数，图像关于原点中心对称，满足全部条件. 综上，正确序号为②. 10. 设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】通过换元法令将指数型函数转化为二次函数，结合指数函数的单调性，讨论与两种情况即可求解. 【详解】令，则 当时，在区间上单调递增，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 当时，在区间上单调递减，故， 函数在区间上单调递增，， 解得 或（舍）； 综上，实数的值为或. 11. 在关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，根据二次不等式的解法得出原不等式的解集，根据题意得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】不等式即为， 当时，不等式即为，解集为，不符合题意； 当时，，解原不等式得，即原不等式的解集为， 根据题意可知集合中的两个整数分别为、， 所以，解得； 当时，，解原不等式可得，即原不等式的解集为， 根据题意可知集合的两个整数分别为、， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含某元素的非空子集数所有非空子集数不含该元素的非空子集数，即，每个元素出现次，再将所有子集的变项和总和转化为每个元素的带符号值之和乘以出现次数，通过奇偶项分组求和后相乘得到结果． 【详解】， 根据含某元素的非空子集数所有非空子集数不含该元素的非空子集数，即， 即每个元素出现的次数都是， 所以的所有非空子集中，这些和的总和是 ． 二、选择题（共4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，共14分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项. 【详解】解:由题知,则同号, 当时,有, 当时,有, 故能推出, 当成立时,又, 对不等式两边同时乘以可得, 故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】由题可得. 15. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 16. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 三、解答题（共44分） 17. 已知全集为，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为全集为，集合， 由补集的定义可知，或. 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，即，解得. 要使，则需满足，解得， 即. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式． （1）已知，为正数，且，求的最小值； （2）若关于的不等式对于一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 最小值为 （2） 实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”妙用求出最小值， （2）利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【小问1详解】 由都是正数，， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由三角不等式可得，当且仅当时取等号， 因为不等式对于一切实数都成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … （1）若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； （2）若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 【答案】（1） 选择模型① ，  理由：观察表格数据，的值随呈指数倍增：时，，时，，时，， 后一天的病毒数是前一天的倍，符合指数增长的特征； 若选用幂函数模型，代入前两组数据得、，解得， 即，但时，与表格中严重不符，因此幂函数不匹配. 将代入 得； 将代入得，两式相除得，进而得， 验证所有表格点均满足. 最终函数表达式为：； （2） 第一次最迟应在第天注射该种药物 【解析】 【分析】（1）由参考数据结合指数函数和幂函数的性质进行选择，并验证选择的合理性，再代入数值求解析式； （2）由解析式结合不等关系列不等式化简可得，左右取对数后，结合对数运算性质可求得结果. 【小问1详解】 选择模型①，函数表达式为； 【小问2详解】 由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为， 为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，， 解得：，又， 第一次最迟应在第天注射该种药物． 20. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）“上位点”为， “下位点”为 （2）是，证明如下： 因为点是点的上位点，所以， 又均为正数，所以， 因为， 所以是点的“下位点”， 因为， 所以是点的“上位点”， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“上位点、下位点”的分式大小定义直接举例； （2）用作差比较法，结合已知不等式符号证明两个分式大小关系； （3）先将位置关系转化为分式不等式，利用整数约束放缩得到的下界，再对的所有取值验证存在性，求出最小正整数． 【小问1详解】 因为，所以点是点的“上位点”， 因为，所以点是点的“下位点”， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若正整数满足条件，在时恒成立。 即，， 所以，所以， 所以，在时恒成立， 所以， 又由（2）的结论可知，，时，满足条件， 所以，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $