精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

重庆鲁能巴蜀初2028届26—27学年初二上第一次月考 数学试题（10.22） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列物理实验仪器是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系解答即可. 【详解】A.1+2，不能构成三角形； B.2+3=5，不能构成三角形； C.3+4，不能构成三角形； D.5-4，能构成三角形， 故选：D. 【点睛】此题考查三角形三边关系，三角形任意一条边长大于另两边的差，小于另两边的和. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算后再判断即可． 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵，∴选项B错误； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D错误． 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，明确关于轴对称点的坐标变化是解题关键． 点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称， 则横坐标不变，纵坐标变为， 因此对称点的坐标为， 故选：B． 6. 下列说法一定正确的是（ ） A. 三角形的中线是射线 B. 等腰三角形的中线与角平分线重合 C. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 D. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】可通过等边三角形的判定定理直接判断选项C正确，再结合三角形相关定义性质排除其余选项. 【详解】解：∵三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，∴A选项错误； ∵等腰三角形仅底边上的中线与顶角的角平分线重合，∴B选项错误； ∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形，∴C选项正确； ∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴D选项错误． 7. 如图，在中，，平分交于，，垂足为，若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，得到，，再根据三角形的周长公式结合线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，的周长为， ∴， ∵，平分交于，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长. 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个已知等式用完全平方公式展开后作差，消去含、的项，求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 得， ∴． 9. 如图，在等腰中，，的平分线与的垂直平分线交于点，、分别在、边上，点和点关于直线对称，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线性质和轴对称性质证明及，从而建立角度关系. 【详解】解：，平分， 垂直平分，； 在的垂直平分线上， ； 垂直平分， ， ， ； 点和点关于直线对称， ； ， ， 点在上， . 10. 如图，是等边三角形，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接、，交于，为中点，连接交于．以下结论： ①； ②； ③； 正确的有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：，，由等边三角形的性质得出，，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理即可判断①，证明为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得出，，进而可判断②；证明为等腰直角三角形，求出，在上截取，证明，由全等三角形的性质进一步证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，进而可判断③． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，故①正确， ∴， ∵为中点， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确， 综上：①②③正确． 二．填空题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式结合已知的的值，通过整体代入即可求出，无需单独求解、的具体数值． 【详解】解：根据平方差公式可得，， ∵，， ∴代入上式得， 化简得． 13. 若的乘积中不含的一次项，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】展开两个多项式的乘积，根据不含一次项即一次项系数为建立方程，求解的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式的运算法则展开原式， ， ∵乘积中不含的一次项， ∴的一次项系数为0，即， 解得． 14. 如图，在中，，是高，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到，继而根据含角的直角三角形的性质得到． 【详解】解：， ，， 是的高， ， ， ． 15. 如图，，与相交于点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，进一步利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 16. 已知，则的值为________． 【答案】 8 【解析】 【分析】先求出，再将所求式中不同底数的幂统一为以2为底的同底数幂，利用幂的运算法则化简后，代入指数值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ． 17. 如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 18. 如图，的两条高线、交于点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过同角的余角相等得到，从而证明，得到， ，即可根据三角形的面积公式计算得到答案． 【详解】解：是的两条高， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 19. 已知，，是实数． ①若，，则的值为________； ②若且，则的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①通过等式左右分别相加可直接求出的值；②利用完全平方公式对已知等式进行恒等变形，结合的条件建立关于的方程求解． 【详解】解：①∵，， ∴将两式左右两边分别相加，得， 化简得； ②∵， ∴将其代入已知等式， 得， 展开完全平方得， 合并同类项得， 由完全平方公式，上式可化为， 化简括号内的式子得， ∵， ∴将代入上式，得，即， ∴，解得． 20. 在中，点是上一点，连接，，过点作的垂线，垂足为，交于点，； ①若，则________；（用含的代数式表示）； ②若，，则的面积为________． 【答案】 ①. ②. 15 【解析】 【分析】①利用直角三角形两锐角互余及等腰三角形性质进行角度转换； ②过点A作于点G，过点F作于点H，证明，得到；由三线合一定理定理得到，据此可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图所示，过点A作于点G，过点F作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（本大题7个小题，21题16分，22到24题每小题8分，26到27题每小题10分，共86分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）按运算顺序先计算同底数幂乘法，再展开完全平方项，最后做单项式乘多项式运算； （2）分别计算积的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项； （3）先完成单项式乘多项式的展开，再合并同类项； （4）按多项式乘多项式法则展开后合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线（直线上各点的横坐标都为），的顶点分别为，，． （1）画出关于直线的对称图形； （2）求的面积． （3）若为格点，且是以为顶角顶点的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的坐标． 【答案】（1）如下图所示： （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）以直线为对称轴，找出、、的对称点，顺次连线； （2）用包围三角形的矩形面积减去外围直角三角形面积即可； （3）以为圆心，长为半径作圆，除点外在圆上的格点即为满足条件的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把放在一个能完全包裹它的矩形内， 该矩形横向占个单位，纵向个单位， 则该矩形的面积为， 左下角的直角三角形的面积为， 右下角的直角三角形的面积为， 右上角的直角三角形的面积为， 故的面积为． 【小问3详解】 解：如图，以为圆心，长为半径作圆，在圆上的格点、、即为满足条件的点， 据图可知，的坐标为，的坐标为，的坐标为． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，求值结果为． 【解析】 【分析】先通过整式乘法展开并合并同类项完成化简，再根据绝对值与平方的非负性求出的取值，代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 解得，． 代入原式得， ． 24. 在学习了等腰三角形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，为等腰三角形，，为延长线上一点，． 用尺规完成基本作图：作的垂直平分线交于交于，连接、． 【问题提出】 他们猜想、存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）如图， （2）证明：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于交于，连接、即可； （2）由直线是的垂直平分线得，由得，从而可得，结合可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 列方程（组）或不等式解下列问题： 为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套A型课桌椅与套B型课桌椅共需元 ②买套A型课桌椅比套B型课桌椅少花费元 （1）求A型、B型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共套，且采购总费用不超过元，则B型课桌椅至多采购多少套？ 【答案】（1）A型课桌椅单价为720元，B型课桌椅单价为900元． （2）B型课桌椅至多采购150套． 【解析】 【分析】（1）根据两组采购费用的等量关系，列二元一次方程组求解两种课桌椅的单价． （2）根据总费用的不等关系，列一元一次不等式求解B型课桌椅的最大采购量． 【小问1详解】 解：设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元， 根据题意有：， 解得：， 答：A型课桌椅单价为720元，B型课桌椅单价为900元． 【小问2详解】 解：设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅套， 根据题意有：， 解得：， 答：B型课桌椅至多采购150套． 26. 【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观．初中数学里的一些代数公式可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：通过表示图中正方形的面积可以得到完全平方公式： （1）通过图可以得到： ； （2）若实数，，满足，，请运用（1）所得结果，求的值； 【拓广探索】 （3）请你类比上述方法推导的结果，要求在指定作图区域内画出图形，标出各边的长度，并在横线上写出推导结果； ； （4）已知，，，为正实数，，，；求的值． 【答案】（1） （2）4 （3）如图，， （4）1或6 【解析】 【分析】（1）根据“大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个小长方形的面积”解答即可； （2）利用（1）中的公式解答即可； （3）先画出图形，根据图形的面积得出等式即可； （4）设，，，代入相应等式求出，再求出,得,设，求出,，从而可得出或，故可求出的值． 【小问1详解】 解：由图2知，将大正方形分为3个小正方形和6个小长方形， 所以，大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个小长方形的面积， 所以， 【小问2详解】 解：由（1）中公式可得：， 因为， 所以，， 所以，， 所以，； 【小问3详解】 解：图略， 由图得： 【小问4详解】 解：设，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵ ∴, ∵，，，为正实数， ∴, 设， ∴, ∴，， ∴， 又， 把,代入得，， 解得：， 由得，代入得： ， 整理得：， ， ， 或， ∴或， ∴或6． 27. 如图，在中，，为平面上一点，以为边在右侧作等边． （1）如图，若，点在边上，求的度数； （2）如图，若，，连接，，的延长线交于，求证：； （3）如图，若，平分，点在直线上，为的中点，连接，求当最小时，的值． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵△是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，延长至点，使，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）先由，判定是等边三角形，得到，，再根据是等边三角形得到，，推导出，利用证明，进而得到； （2）先根据已知条件得到和为等边三角形，再延长至使，由有一个角是的等腰三角形证出是等边三角形，接着利用角的等量代换得到，证明，推出、，结合得到，再计算角度得到，加上对顶角相等证明，得到，最后由以及证得； （3）先由，，平分得到垂直平分，得，结合是等边三角形得，再由旋转得到，，推导出，证明，得到，于是转化为，根据两点之间线段最短，当、、三点共线时最小；连接，连接交于点，连接，延长至点，使，连接，由三线合一得垂直平分，得，即可得，结合得到，证明得，利用F是中点证得，，再由角度推出，证得，可得，进而得，再根据同高三角形面积关系得到，即可求出面积比． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵△是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接、、， ∵，，平分， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，最小， 如图，点、、三点共线，连接，连接交于点，连接，延长至点，使，连接， ∵，， ∴，即平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆鲁能巴蜀初2028届26—27学年初二上第一次月考 数学试题（10.22） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列物理实验仪器是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法一定正确的是（ ） A. 三角形的中线是射线 B. 等腰三角形的中线与角平分线重合 C. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 D. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点 7. 如图，在中，，平分交于，，垂足为，若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，的平分线与的垂直平分线交于点，、分别在、边上，点和点关于直线对称，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接、，交于，为中点，连接交于．以下结论： ①； ②； ③； 正确的有（ ）个． A. B. C. D. 二．填空题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 11. 计算：__________． 12. 已知，，则的值为________． 13. 若的乘积中不含的一次项，则的值是________． 14. 如图，在中，，是高，，，则________． 15. 如图，，与相交于点，，，则________． 16. 已知，则的值为________． 17. 如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 18. 如图，的两条高线、交于点，连接，若，，则的面积为________． 19. 已知，，是实数． ①若，，则的值为________； ②若且，则的值为________． 20. 在中，点是上一点，连接，，过点作的垂线，垂足为，交于点，； ①若，则________；（用含的代数式表示）； ②若，，则的面积为________． 三．解答题（本大题7个小题，21题16分，22到24题每小题8分，26到27题每小题10分，共86分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线（直线上各点的横坐标都为），的顶点分别为，，． （1）画出关于直线的对称图形； （2）求的面积． （3）若为格点，且是以为顶角顶点的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的坐标． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 在学习了等腰三角形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，为等腰三角形，，为延长线上一点，． 用尺规完成基本作图：作的垂直平分线交于交于，连接、． 【问题提出】 他们猜想、存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 25. 列方程（组）或不等式解下列问题： 为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套A型课桌椅与套B型课桌椅共需元 ②买套A型课桌椅比套B型课桌椅少花费元 （1）求A型、B型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共套，且采购总费用不超过元，则B型课桌椅至多采购多少套？ 26. 【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观．初中数学里的一些代数公式可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：通过表示图中正方形的面积可以得到完全平方公式： （1）通过图可以得到： ； （2）若实数，，满足，，请运用（1）所得结果，求的值； 【拓广探索】 （3）请你类比上述方法推导的结果，要求在指定作图区域内画出图形，标出各边的长度，并在横线上写出推导结果； ； （4）已知，，，为正实数，，，；求的值． 27. 如图，在中，，为平面上一点，以为边在右侧作等边． （1）如图，若，点在边上，求的度数； （2）如图，若，，连接，，的延长线交于，求证：； （3）如图，若，平分，点在直线上，为的中点，连接，求当最小时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $