精品解析：重庆市清华中学校2026-2027学年八年级上学期十月学情自测数学试题

2026—2027学年上期八年级数学检测（一） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 2. 已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 3. 如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 过线段的中点 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 4. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 5. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 真命题的逆命题不一定是真命题 B. 对顶角相等有逆定理 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【解析】 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 8. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列二元一次方程组求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点与点关于轴对称， 根据关于轴对称的坐标特征： ， 整理方程组： ， 得：， 把代入②：， 解得， ， ． 9. 如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠知，，由题意得，即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 解得：． 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【详解】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题 11. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，求出底边，再验证即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，周长为，腰长为， ∴底边长为 ， 则底边长为4. 12. 如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿着的方向，平移至， ∴． 13. 如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 【答案】4 【解析】 【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 14. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【解析】 【分析】先根据“”证明，可得，，然后根据可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 15. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】结合，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 16. 在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【解析】 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点  将大三角形  分割成面积相等的两部分，并进一步推导出  与  的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由  可直接推导：在  中，  与  等高，故  。设  ，则  ，进而  ，同理，对以  为顶点的  ，也有  ，利用面积差  及  ，可推得  ，所以  ，即可解得  ，从而将所有相关面积统一用  表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点   设 ， 则   ． 三．解答题 17. 如图，已知，，， （1）的面积是 ； （2）作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2） 如下图所示： （3）存在点P，、和 【解析】 【分析】本题主要考查网格和对称的性质，以及全等三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论的应用． （1）根据网格求三角形面积即可． （2）根据轴对称的性质先找出各顶点关于直线m对称的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据全等三角形的判定可知有三个点，结合全等三角形的性质即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点P，使得与全等，、和． 18. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 学习了角平分线和尺规作图后，嘉琪进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线． 嘉琪在的边上任取一点，并过点作了的垂线，垂足为（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线，垂足为，与嘉琪所作的垂线交于点，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ． ②________（依据③___________）． 在和中， ． ⑥_________，OP即为的平分线． 【答案】 第一步：如下图所示，即为所求 第二步：① ② ③全等三角形的对应边相等④ ⑤（④⑤可互换）⑥． 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：根据条件证明和，得出，即可解答． 【详解】解：第一步：略 第二步：证明：，， ． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． 在和中， ． ，OP即为的平分线． 20. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 21. 已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）解：． 证明如下： 过点作，如图所示： 由题意可知， ， ， 由折叠性质可知， ， 在长方形中，，则由折叠性质可知， ， 即与的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）由邻补角定义、折叠性质及平行线性质求解即可； （2）过点作，由平行线的判定与性质得到，进而结合折叠性质得出，，数形结合即可得出与的数量关系． 【小问1详解】 解：， ， 则由折叠性质可知， ， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； （3）结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： （1）当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）当，米，米，米时，求的值； （3）若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】（1），理由如下： 于点， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． 【小问3详解】 解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 24. （1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】 （1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 25. 在四边形中，为对角线，，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； （3）4 【解析】 【分析】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上期八年级数学检测（一） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 2. 已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 过线段的中点 4. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 真命题的逆命题不一定是真命题 B. 对顶角相等有逆定理 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 8. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题 11. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 12. 如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 13. 如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 14. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 15. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是_________． 16. 在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 三．解答题 17. 如图，已知，，， （1）的面积是 ； （2）作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18. 如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 19. 学习了角平分线和尺规作图后，嘉琪进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线． 嘉琪在的边上任取一点，并过点作了的垂线，垂足为（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线，垂足为，与嘉琪所作的垂线交于点，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ． ②________（依据③___________）． 在和中， ． ⑥_________，OP即为的平分线． 20. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 21. 已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论． 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 23. 如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： （1）当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）当，米，米，米时，求的值； （3）若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 24. （1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 25. 在四边形中，为对角线，，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $