第16讲 三角形的内切圆、正多边形与圆 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第16讲 三角形的内切圆、正多边形与圆 讲义 【知识点01】三角形的内切圆 1. 内切圆的定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆，内切圆一定在三角形内部。 2. 内心的确定与性质 内心是三角形三条内角平分线的交点（作任意两条内角平分线，其交点即为内心）。 内心到三角形三边的距离相等，这个距离等于内切圆的半径 r。 内心在三角形内部；连接内心与三角形各顶点，可把三角形分成三个小三角形。 3. 内切圆半径的求法（重点） 以内心为顶点、三角形的三条边分别为底边，原三角形被分成三个小三角形，它们的面积之和等于原三角形的面积，即 S ＝ ·a·r ＋ ·b·r ＋ ·c·r ＝ ·(a＋b＋c)·r ＝ p·r，其中 p ＝为半周长。 一般三角形：r ＝ ＝ 。 直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）：r ＝ 。 等边三角形（边长为 a）：r ＝·a。 4. 三角形面积与内切圆的关系 由上式可得：S ＝ r·p，即三角形面积等于半周长与内切圆半径之积。这是内切圆问题中"面积—半径—周长"互化的核心桥梁。 【知识点02】正多边形与圆 1. 正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。"各边相等"与"各角相等"两个条件缺一不可。需要特别说明：对三角形而言，只要"各边相等"或"各角相等"一个条件即可判定为正三角形；对四边形及以上的多边形，必须两个条件同时满足。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆分成 n 条相等的弧，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；这个圆叫做这个正 n 边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心，叫做正多边形的中心。 3. 正多边形的有关概念 中心：正多边形外接圆的圆心。 半径 R：外接圆的半径，即中心到顶点的距离。 中心角：正多边形每一边所对的圆心角，中心角 ＝ 。 边心距 r：中心到正多边形一边的距离，即中心到边的垂线段的长。 4. 正多边形的性质 每个内角 ＝ (n－2)·。 每个外角 ＝＝ 中心角（正多边形的外角与中心角相等）。 对称性：正 n 边形都是轴对称图形，有 n 条对称轴；当 n 为偶数时，正 n 边形还是中心对称图形，对称中心是它的中心。 连接中心与各顶点，正 n 边形被分成 n 个全等的等腰三角形；再作边心距，每个等腰三角形又被分成两个全等的直角三角形。 5. 正多边形的画法 用量角器：先计算中心角 ，再以该角度把圆周等分成 n 份，顺次连接各分点即可。 尺规作图：先作圆，以半径为弦长在圆上连续截取，可得正六边形；由正六边形相邻顶点连接对角线可得正三角形；作两条互相垂直的直径并连接四个端点，可得正方形。 易错点 常见错误认识 正确理解 内心与外心混淆 把"角平分线的交点"误认为外心 内心＝三条内角平分线的交点；外心＝三条边垂直平分线的交点 距离性质混淆 误以为内心到三个顶点的距离相等 内心到三边的距离相等；外心到三个顶点的距离相等 半径公式张冠李戴 把 r＝用到任意三角形 该式仅适用于直角三角形；一般三角形用 r ＝ 中心角当内角 把中心角误认为正多边形的内角 中心角＝；内角＝(n－2)·，二者不同 边心距与半径混淆 把中心到顶点的距离当成边心距 半径＝中心到顶点；边心距＝中心到边的距离 判定顾此失彼 只证各边相等就判定为正多边形 四边形及以上须"各边相等＋各角相等"同时成立 面积公式误用 把 S ＝ r·p 中的 p 当成周长 p 是半周长，p ＝ (a＋b＋c) 对称轴条数计错 以为正 n 边形有 条对称轴 正 n 边形有 n 条对称轴，n 为偶数时还是中心对称图形 【题型一】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【例2】．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【变式1】．（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【变式3】．（2025·浙江·模拟预测）如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 【题型二】三角形内心有关应用 【例4】．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【例6】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【题型三】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例7】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例8】．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【例9】．（25-26九年级·全国·课后作业）的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【变式3】．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【题型四】三角形内切圆与外接圆综合 【例10】．（2026·浙江·模拟预测）如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例11】．（2024-2025九年级上.苏科版）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 【例12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【变式1】．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·河北廊坊·二模）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 【题型五】求正多边形的中心角 【例13】．（25-26九年级·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【例14】．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【例15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【变式1】．（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【题型六】已知正多边形的中心角求边数 【例16】．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例17】．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【变式1】．（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式2】．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【变式3】．（25-26九年级·全国·课后作业）如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【题型七】正多边形和圆的综合 【例18】．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【例19】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【例20】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 【变式1】．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 【题型八】尺规作图——正多边形 【例21】．（25-26九年级上·北京·课前预习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【例22】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】．（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式2】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 1. 知识框架（两大主线） 三角形的内切圆：定义 → 内心（角平分线交点）→ 到三边距离相等 → 半径 r ＝ → 直角三角形特例 → 与切线、面积综合。 正多边形与圆：定义（两条件缺一不可）→ 等分圆周 → 中心／半径／中心角／边心距 → 计算（解直角三角形）→ 对称性 → 画法。 2. 方法要点 遇内心 → 想角平分线、到三边距离、r ＝ 。 遇正多边形 → 先想中心角，再"连半径、作边心距"构造直角三角形。 遇角度 → 分清内角、外角、中心角三者关系。 遇综合题 → 抓住"同圆半径相等""切线垂直半径"等基本关系建立联系。 3. 易错提醒 内心≠外心（角平分线交点 vs 垂直平分线交点）；边心距≠半径（到边距离 vs 到顶点距离）；中心角≠内角；公式中的 p 是半周长而非周长；判定正多边形"各边相等＋各角相等"两条件缺一不可。 4. 中考命题角度提示 内切圆半径、内心角度的计算，多以选择、填空题出现。 正多边形边长、边心距、面积与圆的关系，常与扇形、阴影面积结合考查。 "连半径、作边心距"构造直角三角形是正多边形与圆问题的解题通法，务必熟练掌握。 一、单选题 1．如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 4．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（    ）    A．点到边的距离相等 B．平分 C．点是的内心 D．点到三点的距离相等 5．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 8．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 10．如图，将三个全等的阴影三角形，按如图的方式摆放（三对顶点重合），甲、乙、丙三人有如下结论： 甲：图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形； 乙：若点是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中空白三角形是等边三角形，它的面积和其他三角形面积可能不相等． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙正确 B．乙、丙正确 C．甲、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 二、填空题 11．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ______．    12．如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 13．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 14．如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为__________________．      15．金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 16．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 17．如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 三、解答题 18．如图，在中，，I是内心，，，求的长． 19．如图，是正五边形的外接圆，的半径为，点在上（点不与点A，B重合）．    (1)直接写出的度数__________； (2)连接，，得到扇形，将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径． 20．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 21．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 22．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APB的度数； （2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 三角形的内切圆、正多边形与圆 讲义 【知识点01】三角形的内切圆 1. 内切圆的定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆，内切圆一定在三角形内部。 2. 内心的确定与性质 内心是三角形三条内角平分线的交点（作任意两条内角平分线，其交点即为内心）。 内心到三角形三边的距离相等，这个距离等于内切圆的半径 r。 内心在三角形内部；连接内心与三角形各顶点，可把三角形分成三个小三角形。 3. 内切圆半径的求法（重点） 以内心为顶点、三角形的三条边分别为底边，原三角形被分成三个小三角形，它们的面积之和等于原三角形的面积，即 S ＝ ·a·r ＋ ·b·r ＋ ·c·r ＝ ·(a＋b＋c)·r ＝ p·r，其中 p ＝为半周长。 一般三角形：r ＝ ＝ 。 直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）：r ＝ 。 等边三角形（边长为 a）：r ＝·a。 4. 三角形面积与内切圆的关系 由上式可得：S ＝ r·p，即三角形面积等于半周长与内切圆半径之积。这是内切圆问题中"面积—半径—周长"互化的核心桥梁。 【知识点02】正多边形与圆 1. 正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。"各边相等"与"各角相等"两个条件缺一不可。需要特别说明：对三角形而言，只要"各边相等"或"各角相等"一个条件即可判定为正三角形；对四边形及以上的多边形，必须两个条件同时满足。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆分成 n 条相等的弧，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；这个圆叫做这个正 n 边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心，叫做正多边形的中心。 3. 正多边形的有关概念 中心：正多边形外接圆的圆心。 半径 R：外接圆的半径，即中心到顶点的距离。 中心角：正多边形每一边所对的圆心角，中心角 ＝ 。 边心距 r：中心到正多边形一边的距离，即中心到边的垂线段的长。 4. 正多边形的性质 每个内角 ＝ (n－2)·。 每个外角 ＝＝ 中心角（正多边形的外角与中心角相等）。 对称性：正 n 边形都是轴对称图形，有 n 条对称轴；当 n 为偶数时，正 n 边形还是中心对称图形，对称中心是它的中心。 连接中心与各顶点，正 n 边形被分成 n 个全等的等腰三角形；再作边心距，每个等腰三角形又被分成两个全等的直角三角形。 5. 正多边形的画法 用量角器：先计算中心角 ，再以该角度把圆周等分成 n 份，顺次连接各分点即可。 尺规作图：先作圆，以半径为弦长在圆上连续截取，可得正六边形；由正六边形相邻顶点连接对角线可得正三角形；作两条互相垂直的直径并连接四个端点，可得正方形。 易错点 常见错误认识 正确理解 内心与外心混淆 把"角平分线的交点"误认为外心 内心＝三条内角平分线的交点；外心＝三条边垂直平分线的交点 距离性质混淆 误以为内心到三个顶点的距离相等 内心到三边的距离相等；外心到三个顶点的距离相等 半径公式张冠李戴 把 r＝用到任意三角形 该式仅适用于直角三角形；一般三角形用 r ＝ 中心角当内角 把中心角误认为正多边形的内角 中心角＝；内角＝(n－2)·，二者不同 边心距与半径混淆 把中心到顶点的距离当成边心距 半径＝中心到顶点；边心距＝中心到边的距离 判定顾此失彼 只证各边相等就判定为正多边形 四边形及以上须"各边相等＋各角相等"同时成立 面积公式误用 把 S ＝ r·p 中的 p 当成周长 p 是半周长，p ＝ (a＋b＋c) 对称轴条数计错 以为正 n 边形有 条对称轴 正 n 边形有 n 条对称轴，n 为偶数时还是中心对称图形 【题型一】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 【例2】．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 【变式1】．（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 【变式2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 【变式3】．（2025·浙江·模拟预测）如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 【答案】(1)证明：∵分别是与的平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)内切圆的半径为． 【知识点】证明四边形是矩形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，根据平角的定义得到，求得，据此可证明四边形是矩形； （2）找到内切圆与的切点，连接，利用等积法，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，据此计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设的内切圆半径为，， 圆O为的内切圆，切点分别为G、E、F，连接，连接， 则，，． ∴， ∵，即， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴的面积为， ∴，， 即，， ∴（负值已舍），， ∴内切圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质和勾股定理，矩形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【题型二】三角形内心有关应用 【例4】．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 【例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内心的性质求出，，再由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的内切圆， ∴点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点， ∴， ， ∴． 【例6】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【知识点】应用切线长定理求解、判断三边能否构成直角三角形、三角形内心有关应用 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解：是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、三角形内角和定理的应用 【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：在中，， ∴， ∵的内心为， ∴平分，平分， ∴， ∴. 【变式2】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 【题型三】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例7】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 【例8】．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 【例9】．（25-26九年级·全国·课后作业）的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 【答案】 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】通过面积法推导得到三角形面积、周长与内切圆半径的关系，代入已知条件即可计算出内切圆半径． 【详解】解：如图：设内切圆的半径为， 连接，将分为三个小三角形，三个小三角形的高都等于内切圆半径r， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即． 答：该三角形的内切圆半径为． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【答案】9 【知识点】应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【变式3】．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】三角形内心有关应用、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 【题型四】三角形内切圆与外接圆综合 【例10】．（2026·浙江·模拟预测）如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、三角形内切圆与外接圆综合、用勾股定理解三角形 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 【例11】．（江苏省九年级上学期期中真题必刷基础60题（38个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版））如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 【答案】 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可． 根据圆周角为的弦即为直径来求解即可． 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 【例12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【答案】的度数是 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合、三角形内心有关应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵O是的外心， ∴． 【变式1】．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【变式2】．（2025·河北廊坊·二模）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 【答案】(1) 的外接圆、的内切圆即为所求： (2) 解：，理由， 如图， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵点是内切圆的圆心 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)． 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆和外接圆的性质，尺规作图——作角平分线和垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线交于点，作和角平分线交于点即可； （）由点是外接圆的圆心，得，由点是内切圆的圆心，则，，从而可得，然后代入可得； （）由（）得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（）得，， ∵， ∴． 【题型五】求正多边形的中心角 【例13】．（25-26九年级·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 【例14】．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积、求正多边形的中心角、求其他不规则图形的面积 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 【例15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【答案】，20次 【知识点】求正多边形的中心角、求旋转对称图形的旋转角度 【分析】由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角α的度数，根据旋转角为α即可解答； 【详解】解：∵齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ∴此图形可以看成正二十边形， 相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 【变式1】．（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角、求旋转对称图形的旋转角度 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 【变式2】．（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【知识点】求正多边形的中心角、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 【变式3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【知识点】三线合一、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 【题型六】已知正多边形的中心角求边数 【例16】．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 【例17】．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 【变式1】．（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式2】．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 【变式3】．（25-26九年级·全国·课后作业）如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【答案】 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正多边形的中心角求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 这个正多边形的边数是15． 【题型七】正多边形和圆的综合 【例18】．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 【例19】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 【例20】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 【答案】边心距的长为 【知识点】正多边形和圆的综合、圆的周长和面积问题、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、等边三角形的判定和性质 【分析】先求出的半径和一边所对的圆心角，再作出边心距，解直角三角形即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，作于点H． 的周长等于， ∴． 六边形是正六边形， ， ， 在直角三角形中， ， ， 解得（负值舍去）， 边心距的长为． 【变式1】．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 【答案】/度 【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题 【分析】根据正五边形性质及多边形内角和公式求出，再根据圆的切线性质得，最后再根据四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与正五边形的边，分别相切于点，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 【答案】(1)证明：如图，连接，，． 六边形是的内接正六边形， ， ， ， 过顶点的三条对角线四等分． (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、圆的周长和面积问题、圆周角定理、正多边形的内角问题 【分析】（1）如图，连接，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论； （2）如图，过O作于G，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，连接． 设的半径为， ，， 是边长为的等边三角形， 六边形的周长． 在中，，， 由勾股定理，得， 正六边形的面积． 的面积， ． 【题型八】尺规作图——正多边形 【例21】．（25-26九年级上·北京·课前预习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——正多边形、尺规作图——作三角形 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 【例22】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，正六边形ABCDEF即为所求． 【知识点】正多边形和圆的综合、作线段(尺规作图)、尺规作图——正多边形、求正多边形的中心角 【详解】解：连接并延长交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，交分别于点、、、，进而构造内接正六边形即可． 【变式1】．（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式2】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 【答案】(1)解：以圆的半径长为半径，在圆周上依次截取得到6个等分点，先画的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，是的内接正三角形． (2)解：先画圆的两条互相垂直的直径，4个端点顺次连接，画出圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用圆规分别作的垂直平分线，交圆于点，依次连接8个点，即可作正八边形．如图，八边形是的内接正八边形． 【知识点】正多边形和圆的综合、尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用正六边形的每个角都是，每段弧所对应的圆周角是，间隔选取这两个点，则能保证圆弧所对应的圆周角是，即可作出正三角形． （2）先作出互相垂直的两条直径，是为了将每段弧等于，再利用垂直平分得到的弧，即可得到圆周上的8个等分点，依次连接即可作出正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 1. 知识框架（两大主线） 三角形的内切圆：定义 → 内心（角平分线交点）→ 到三边距离相等 → 半径 r ＝ → 直角三角形特例 → 与切线、面积综合。 正多边形与圆：定义（两条件缺一不可）→ 等分圆周 → 中心／半径／中心角／边心距 → 计算（解直角三角形）→ 对称性 → 画法。 2. 方法要点 遇内心 → 想角平分线、到三边距离、r ＝ 。 遇正多边形 → 先想中心角，再"连半径、作边心距"构造直角三角形。 遇角度 → 分清内角、外角、中心角三者关系。 遇综合题 → 抓住"同圆半径相等""切线垂直半径"等基本关系建立联系。 3. 易错提醒 内心≠外心（角平分线交点 vs 垂直平分线交点）；边心距≠半径（到边距离 vs 到顶点距离）；中心角≠内角；公式中的 p 是半周长而非周长；判定正多边形"各边相等＋各角相等"两条件缺一不可。 4. 中考命题角度提示 内切圆半径、内心角度的计算，多以选择、填空题出现。 正多边形边长、边心距、面积与圆的关系，常与扇形、阴影面积结合考查。 "连半径、作边心距"构造直角三角形是正多边形与圆问题的解题通法，务必熟练掌握。 一、单选题 1．如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键． 根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 2．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， ∴为正三角形， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 4．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（    ）    A．点到边的距离相等 B．平分 C．点是的内心 D．点到三点的距离相等 【答案】D 【分析】根据作图先判断平分，再由三角形内心的性质解答即可． 【详解】解：A．由作图可知，是的平分线， ∴I到边的距离相等，故选项正确，不符合题意； B．∵平分，三角形三条角平分线交于一点， ∴平分，故选项正确，不符合题意； C．由上可知，I是的内心，故选项正确，不符合题意， D．∵I是的内心， ∴I到的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质． 5．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 6．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    7．如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接，根据六边形是正六边形，得到，，求得.再利用六边形是正六边形得到，求出，证得，得到，再利用勾股定理求得答案即可. 【详解】如解图，连接. ∵六边形是正六边形， ∴，，，CF平分∠AFE， ∴. ∴. ∵六边形是正六边形， ∴. ∵， ∴. 又∵，， ∴. ∴. ∵， ∴. 故选：C.    【点睛】此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，由此证得，将求线段转化为求全等的对应线段CE. 错因分析  较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质. 8．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 【答案】C 【详解】设正六边形每个内角是a，(6-2)a, a=120°，所以∠DAB=60°，AD是直径，∠ADB=30°，所以选C. 10．如图，将三个全等的阴影三角形，按如图的方式摆放（三对顶点重合），甲、乙、丙三人有如下结论： 甲：图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形； 乙：若点是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中空白三角形是等边三角形，它的面积和其他三角形面积可能不相等． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙正确 B．乙、丙正确 C．甲、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】B 【分析】甲：四个三角形覆盖的图形有可能是三角形还有可能是六边形，进而可以判断； 乙：过点作于点P，作于点Q，作于点M，连接，根据等边三角形的内心可得是三个全等三角形的中线，可以证明，，可得，进而可以判断； 丙：是等边三角形已经证明，再画出面积和其他三角形面积不相等的图形，即可进行判断． 【详解】解：甲：∵阴影三角形是三个全等的三角形， ∴，，， 当三点，三点，三点，分别共线时，， ∴， ∴是等边三角形， 此时图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形， 当三点，三点，三点，都不共线时，覆盖的图形是六边形， 故甲错误； 乙：如图，过点作于点P，作于点Q，作于点M，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是三个全等三角形的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是的外心；故乙正确； 丙：∵是等边三角形，如图， 的面积和其他三角形面积明显不相等，故丙正确． 综上所述：判断正确的是：乙，丙． 二、填空题 11．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ______．    【答案】15 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15．    【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 12．如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据正六边形的性质求出扇形的半径，再根据多边形的内角和定理求出，然后根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵正六边形中，， ∴，， ∴扇形的面积． 13．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【答案】8 【分析】本题考查正多边形的中心角．正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故答案为：8． 14．如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为__________________．      【答案】4 【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角的边长为4． 【详解】解：∵剪去三个三角形 ∴AD=AE=DE，BK=BH=HK，CG=CF=GF， ∵六边形DEFGHK是正六边形， ∴DE=DK=HK=GH=GF=EF， ∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形； ∴AD=DK=BK==4， ∴剪去的小正三角形的边长4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等边三角形以及正六边形的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 15．金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先利用正五边形内接于圆的性质，算出每段等弧的度数为，再依据圆周角定理，得出所对弧的圆周角为． 【详解】解：∵正五边形内接于圆，将整个圆五等分， ∴每段相等的弧的度数为：，即所对的圆心角度数为， ∵是圆周角，所对弧， ∴． 16．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 17．如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 【答案】 平行 12 【分析】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 三、解答题 18．如图，在中，，I是内心，，，求的长． 【答案】4 【分析】先利用三角形内心的性质得到，进而得出，再利用角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵I是内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 19．如图，是正五边形的外接圆，的半径为，点在上（点不与点A，B重合）．    (1)直接写出的度数__________； (2)连接，，得到扇形，将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1)或； (2)4cm或6cm. 【分析】（1）根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论； （2）根据弧长公式及圆周长公式即可得到结论. 【详解】（1）如图，    连接，， 是正五边形的外接圆， ， ， ， ， 故答案为：或； （2）   ， ， ①当时；的长度， 该圆锥的底面圆的半径为（cm）， ②当时，的长度， 该圆锥的底面圆的半径为（cm）， 答：圆锥的底面圆的半径为4cm或6cm. 【点睛】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及弧长公式是解题的关键. 20．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 21．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； （2）解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． 22．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APB的度数； （2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由． 【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB= 【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解 （2）根据（1）的求解过程，即可求解 （3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论 【详解】（1）∠APB=120°（如图①） ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM=∠CBN， 又∵∠APN=∠BPM， ∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°， ∴∠APB=120°； （2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°． （3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $