第17讲正多边形与圆优等生讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
第17讲 正多边形与圆 优等生讲义
（知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念
· 会计算正多边形的中心角、内角、边长、周长、面积及边心距
· 能运用圆周角定理解决正多边形中的角度计算问题
· 会计算正多边形与扇形组合图形的阴影面积和弧长
· 掌握正多边形的尺规作图方法，能解决与圆内接正多边形相关的综合证明题
📚 知识梳理
☆ 1.正多边形与圆的有关概念
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
外接圆的半径叫做正多边形的半径；中心到正多边形一边的距离叫做边心距
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正 n 边形的中心角=
概念辨析例题：正六边形的中心角是多少度？
答案：60°
解析：正 n 边形中心角=，正六边形 n=6，故中心角==60°
☆ 2.正多边形的有关计算
正 n 边形的每个内角=，每个外角=
正六边形边长等于其外接圆半径 R，边心距=R
正三角形边长= R，边心距=R
正方形边长= R，边心距=R
概念辨析例题：已知正六边形外接圆半径为 2，求其边心距
答案：
解析：正六边形边心距=R=×2=
☆ 3.正多边形与圆周角定理
正多边形内接于圆时，利用圆周角定理可求相关角的度数
正 n 边形一边所对的圆周角=×=
正五边形每个内角=108°，中心角=72°
正六边形每个内角=120°，中心角=60°
概念辨析例题：正五边形 ABCDE 内接于⊙O，求中心角∠AOB
答案：72°
解析：正 n 边形中心角===72°
☆ 4.正多边形的尺规作图
正六边形：在半径为 R 的圆上依次截取长度等于 R 的弦，六等分圆周即得
正三角形：六等分圆周后每隔一个分点连接
正方形：作互相垂直的两条直径，四等分圆周即得
用量角器可作任意正 n 边形（中心角=）
概念辨析例题：如何用尺规作圆的内接正六边形？
答案：六等分圆周
解析：以圆上一点为圆心、R 为半径画弧交圆于一点，依次六等分圆周，连接各分点即得正六边形
📋 知识总结表
正多边形
边长与 R 关系
边心距与 R 关系
正三角形
a= R
r=R
正方形
a= R
r=R
正五边形
a≈1.176 R
r≈0.809 R
正六边形
a=R
r=R
正八边形
a≈0.765 R
r≈0.924 R
正 n 边形
a=2R sin
r=R cos
⚠️ 核心考点
【考点1】正多边形的概念、中心角与内角（第1-6题）
· 正 n 边形中心角=，外角=中心角
· 内角=，内角+外角=180°
· 已知圆周角反求边数时，先求中心角再用 n=
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正多边形的中心角、求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形中心角的度数为，先求出正八边形中心角的度数，即可解答．
【详解】解：正八边形的中心角为，
∵，
∴旋转角的大小可能是，，，
∵不是的整数倍，
∴旋转角的大小不能是，
故选：B．
2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______．
【答案】/60度
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查求正多边形的中心角．根据正n边形中心角的公式直接求解即可．
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角．
故答案为：．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______．
【答案】8
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，根据，，得出，再结合，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
∵是的内接正边形的一边，
∴，
故答案为：8．
4．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________．
【答案】十二
【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数
【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，．
，
，
而，
∴这个正多边形为正十二边形．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
【答案】
【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角、正多边形和圆的综合、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，点A是上的一点．
(1)请用直尺和圆规作出的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若的半径为，求弦所对的弧长．
【答案】(1)
六边形即为所求：
(2)弦所对的弧长为或．
【知识点】求正多边形的中心角、求弧长、正多边形和圆的综合
【分析】过点A画的直径，根据圆内接正六边形的边长等于圆的半径，分别以直径的两个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，两弧交圆四个点，顺次连接各点，即得；
连接，根据对的圆心角为周角的，弧对的圆心角为周角的，结合半径为，运用弧长公式计算即得．
本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的中心角度数，边长与半径的关系，弧长公式，是解决问题的关键．
【详解】（1）略
（2）连接，
弦所对的弧有与弧，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴ (cm)，
∴ (cm)．
答：弦AC所对的弧长为或．
【考点2】正多边形与圆的周长、面积、边心距计算（第7-20题）
· 正六边形边长=R，周长=6R，面积=6×R2
· 作边心距构造直角三角形，用勾股定理求边长或边心距
· 坐标问题中利用对称性写出顶点坐标
7．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可．
【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，
如图，在中，，，
∴，，
∴．
这个正六边形的面积．
故选：C．
8．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，则，进而得出，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作于点M，
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
故选：B．
9．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（ ）
A．18 B．36 C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合、 圆的周长
【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长．
【详解】∵，
∴，
即，
∵正六边形内接于，
∴边长= ，
∴周长=．
故选B．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等．
10．（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，正六边形，点C在x轴上，半径为2，则顶点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、坐标与图形综合、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查正六边形的性质，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
过点作轴于点，由正六边形的性质得，，在中，可求得，则，利用勾股定理即可求出，从而可得点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，连接，相交于点，
在正六边形中，
，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
11．（23-24九年级下·云南昆明·阶段检测）已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】连接，，相交G，则，均为等边三角形，进而可证四边形是菱形，求出，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】连接，，相交点G，
∵，正六边形内接于，
∴，
∵，
∴，均为等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
故选B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
12．（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形是⊙O的内接正六边形，
，．
，．
．
．
．
．
故选：C．
13．（24-25九年级上·全国·期末）若正六边形的边长为2，则其内切圆半径的大小是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．
本题根据题干画出简图，便于理解，如图，是正六边形的内切圆，连接，，过点作于，先求出，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：是正六边形的内切圆，连接，，过点作于，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选：A．
14．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为4，则纸片剩余部分的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可．
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为4，
∴每一个三角形的面积为2，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴剩余部分的面积为8．
故选B．
15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是________．
【答案】6
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，进而可求解．
【详解】解：连接，，如图：
六边形是正六边形，
，
，且，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边的性质是解题的关键．
16．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为________．（请用含r的式子表示）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查圆的性质，等边三角形的判定与性质以及多边形面积的计算，解题的关键是判断出六边形是由六个全等的等边三角形组成．
先根据圆的半径和弦长相等判断出各个三角形的形状，再根据等边三角形面积公式求出一个三角形的面积，最后乘以三角形的个数得到六边形的面积．
【详解】解：如图，连接，过O点作交与H，
由题意六边形是正六边形，即可以分成六个全等的等边三角形，且．
在等边中，，，，
，
∴正六边形的面积．
故答案为：
17．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案．
【详解】解：六边形是正六边形，
．，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长．
18．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长．
【答案】3
【知识点】已知余弦求边长、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形的计算，解题关键是理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形．先得到，，再利用余弦的含义解答即可．
【详解】解：∵边心距，
∴，
∵正六边形的边长为，
∴正六边形的半径为， 即，
∴，
∴正六边形的边心距是；
故答案为3．
19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．
【答案】这个正六边形的周长为．
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长．
【详解】解：如图，连接，
．
∵六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
∴这个正六边形的周长为．
20．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：；
【答案】
证明：四边形是正方形，
，
．
是的中点，
，
，
．
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出．
【详解】略
【考点3】正多边形中的角度计算（圆周角定理）（第21-26题）
· 正多边形中角度问题转化为圆周角与圆心角的关系
· 同弧所对圆周角等于圆心角的一半
· 正五边形内角 108°、中心角 72° 是常用值
21．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求证、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查的是等弧的概念，弧，弦，圆心角的关系，正多边形的性质，圆的确定，三角形的外接圆的含义，根据基本概念与基本性质逐一分析即可，熟记基本性质是解本题的关键．
【详解】解：能够完全重合的弧是等弧，故①假命题；
在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题，
等边三角形的外心与内心重合；故③是真命题，
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故④是假命题，
三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题；
故选C
22．（24-25九年级下·重庆·开学考试）下列命题中的真命题是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．点到直线的距离是点到直线的垂线段
C．正多边形的中心角等于其每一个内角
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
【答案】D
【知识点】证明四边形是菱形、判断命题真假、求正多边形的中心角、点到直线的距离
【分析】本题考查了判断真假命题，垂线的性质，点到直线的距离，正多边形的中心角，以及中点四边形，根据以上知识逐项分析判断，即可
【详解】解：A. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意；
B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 正多边形的中心角是正多边形的每一条边的两个端点与其中心连线所成角，而其每一个内角是由多边形内部相邻两边之间的夹角，故中心角与内角不一定相等，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意；
故选：D．
23．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________．
【答案】
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∵点F是劣弧的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
24．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为______．
【答案】
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案．
【详解】解：连接，，
∵正六边形内接于，
∴，
∴，
故答案为：．
25．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______．
【答案】
【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】连接、、、，作，由题意得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：连接、、、，作，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形内接于，
∴，
∴．
26．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数．
【答案】
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得，运用圆周角定理得，即可作答．
【详解】解：连接
正五边形内接于，
，
．
【考点4】阴影面积与弧长（正多边形与扇形组合）（第27-42题）
· 阴影面积=整体面积减去空白面积，或用割补法
· 弧长公式 l=，扇形面积 S=
· 注意识别阴影部分对应的圆心角和半径
27．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案．
【详解】解：如图，在中，，作于点，
∴，
∴，
∴的内接正十二边形的面积，
∴产生的正误差为，
故选：D
28．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，半径为1的是正方形，正六边形的外接圆，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求弧长、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，连接，根据题意得出，然后根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
依题意，，，
∴
∴的长为，
故选：B．
29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握圆内接正多边形的相关计算是解题的关键．
先求出圆内接正十二边形的中心角，然后求出，，在中，求出，，进而求出圆内接正十二边形的周长，然后根据即可得出答案．
【详解】解：十二边形是圆内接正十二边形，
，
，，
，，，
在中，，
，
，
圆内接正十二边形的周长，
，
故选：．
30．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数．当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3.14 D．3
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了利用圆内接正多边形的面积估算圆周率（割圆术）的方法，涉及等腰三角形面积计算及圆的面积公式；解题的关键是将圆内接正十二边形分割成12个全等的等腰三角形，利用三角形面积公式（两边及其夹角的正弦）求出每个三角形的面积，再求和得到正十二边形的面积，最后令其近似等于圆的面积，从而估算的值．
【详解】解：将图中的一个等腰三角形抽离出来，如图，作于，
∵，
∴，即，，
∴，
则十二个三角形面积为：，
，
则，即，
故选：D．
31．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】求扇形面积、等腰三角形的性质和判定、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查正多边形外接圆，等腰直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
连接，设的半径为，根据多边形外接圆的性质可得，进而得到，再利用扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：连接，设的半径为，
由正八边形对称性可知圆心为的中点，
，
，
，
在正八边形中，
，，
，，
，
图中阴影部分的面积为，
解得．
故选：A．
32．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则__；若，则阴影部分图形的周长为_____（结果保留π）．
【答案】
【知识点】求弧长、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长．
【详解】解：∵五边形为正五边形，，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；．
33．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【知识点】求扇形面积、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， 求得，由垂径定理得，则，所以，根据勾股定理求得，则，即可根据扇形的面积公式求得阴影部分面积．
【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、，
，
，，、
，
∴弧弧，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
34．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为__________．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，
如图，在正中，边长为，于点D，
∴，
∴，
∴正的面积为；
∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为；
∴．
故答案为：
35．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______．
【答案】
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合
【分析】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．连接，，，根据正六边形的性质得到，，得到，同理，推出四边形是菱形，过作于，得到，根据勾股定理得到，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
正多边形是正六边形，
，，
，
是等边三角形，
，
同理，
，
四边形是菱形，
过作于，
，
，
“三叶草”的面积（扇形的面积-菱形的面积），
故答案为：．
36．（2024·吉林松原·三模）边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为______．
【答案】
【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和=扇形的面积，
故答案为：
37．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正六边形螺母的平面示意图．已知正六边形的边长为6，外接圆为，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】连接，过点O作，垂足为G，根据正六边形的特点，阴影部分的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差的6倍，认真计算即可．
【详解】解：连接，过点O作，垂足为G，
则
∵是正六边形的外接圆，正六边形的边长为6，
∴，
，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积，阴影部分的面积，熟练掌握正多边形的中心角的计算，灵活运用扇形的面积，准确进行图形面积的分割计算是解题的关键．
38．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形的面积，再根据正六边形的面积估算进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形的面积，
由对称性可知，，
在中，，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
39．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积．
【答案】．
【知识点】求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，作，垂足为，
由题意得，则，
∵，
∴，
∴，，
∴．
40．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积．
【答案】
【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键．
先根据正方形性质和勾股定理求出，，再根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵是边长为4的正方形的外接圆
，，，
∴在中，，即，
．
．
41．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，．
(1)求证：为等边三角形．
(2)求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留）
【答案】(1)
六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，
，
，
是等边三角形．
(2)
【知识点】求正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、求弧长、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论；
（2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得是正三角形，
点是的内心，
．
如图，过点作于点，
则，
在中，，
，
的长为，
窗花的周长为．
【点睛】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．
42．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是内接正多边形的一条边，且．
(1)求该正多边形的边数；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)
【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆及求不规则图形的面积，解决本题的关键是熟练掌握正多边形与圆的性质，
（1）先证明是直角三角形，得出此正多边形中心角为90度，再求解即可；
（2）根据进行计算即可；
【详解】（1）解：连接，
，
，
，
此正多边形中心角为，
该正多边形的边数为；
（2）
【考点5】综合证明、尺规作图与实际应用（第43-52题）
· 尺规作正六边形：六等分圆周
· 综合题中先利用正多边形性质求出角度或边长，再证明或计算
· 实际应用问题（窗花、地基、硬币等）转化为正多边形模型
43．（24-25九年级下·海南海口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型：点的坐标，坐标与图形变化-旋转，连接，设交y轴于点P，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转8次为一个循环，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，设交y轴于点P，
，
∵边长为6的正六边形的中心与原点O重合，轴，
∴轴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴同理得，，，，
∵将六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，8次一个循环，
∵，
∴第900次旋转结束时，点A与点D重合，
∴点A的坐标为，
故选：B．
44．（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为________．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查多边形的周长，解题的关键是根据作图可得多边形的边长等于圆的半径．据此解答即可．
【详解】解：∵的半径为，
∴
根据作图过程可得：，
∴这个多边形的周长为：，
即这个多边形的周长为．
故答案为：．
45．（24-25八年级上·河北沧州·期末）尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 _____．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线，勾股定理的知识，解题的关键是根据题意，尺规作图，得为的直径，，是是垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，，即可．
【详解】解：由题意得，是的直径，作出的垂直平分线，交于点，
∴为的直径，
∴，
∵是是垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴正十边形的边长为．
故答案为：．
46．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)画出的内接正．
(2)在上画出、两点，使得．（画一种即可）
【答案】(1)
如图，为所作；
(2)
如图，
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系：
（1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形；
（2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】（1）解：略．
（2）解：作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则
47．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】
六边形即为所求．
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形．
【详解】略
48．（2025·湖北武汉·一模）如图，正五边形内接于，连接交于点F．
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据五边形是正五边形，判断出，，再根据圆周角定理即可得到；
（2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长．
【详解】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，．
∵正五边形内接于，
∴；
（2）解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
同理，
∵
∴，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得（舍去负值）．
∴的长是．
49．（25-26九年级上·全国·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正多边形的内角问题、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．
（1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数.
（2）为等边三角形，，得，故，即边心距为.
【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为，
∴五边形一个外角是，
∴五边形一个内角是.
故答案为：.
（2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作．
，
是等边三角形，
．
．
在中，由勾股定理，得，
故该正六边形的边心距为．
50．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）．
【答案】(1)
∵是内接正九边形的一条边，
∴中心角，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
(2)该硬币（）的直径为
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证；
（2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴该硬币（）的直径为．
51．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为．
(1)求作它的内接正方形；
(2)求正方形的边长．
【答案】(1)
如图所示，正方形即为所求作图形．
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
是的直径，
，
四边形是正方形；
(2)
【知识点】尺规作图——正多边形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．
（1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可；
（2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长．
【详解】（1）略
（2）解：的半径为，四边形是正方形，
，，
．
即正方形的边长为．
52．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题；
（2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
💯 课后巩固
复习建议
· 正六边形是最常考的正多边形，记住 a=R、r=R
· 计算时先构造边心距所在的直角三角形
· 角度问题优先用圆周角定理转化
· 阴影面积问题注意割补法和整体减空白
· 尺规作图要保留作图痕迹，不写作法
【作业1】．（23-24九年级上·青海果洛·期末）正六边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案．
【详解】解：∵是正六边形，
∴中心角为：，
故选：C．
【作业2】．（23-24九年级下·河南安阳·阶段检测）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形，连接、，作于G，利用半径求得即可求得面积.
【详解】如图：
连接、，作 于，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为，
∴等边三角形的面积为，
∵正六边形由6个等边三角形组成，
∴正六边形的面积为.
【作业3】．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角和与外角和综合、求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∴这个正n边形的中心角为，
故选：D．
【作业4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的有___．
①各角相等的圆内接多边形一定是正多边形；
②各边相等的圆内接多边形是正多边形；
③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形；
④正多边形都是轴对称图形，也是中心对称图形．
【答案】②③
【知识点】轴对称图形的识别、正多边形和圆的综合、中心对称图形的识别
【分析】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键；
根据圆的外接圆与内切圆的性质求解即可求得答案；注意正多边形的定义：各角都相等，各边都相等的多边形是正多边形；
【详解】解：①各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；
②各边相等的圆内接多边形是正多边形；故正确；
③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形；正确；
④正多边形都是轴对称图形，不一定是中心对称图形；错误；
故答案为：②③．
【作业5】．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________．
【答案】/45度
【知识点】根据正方形的性质求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、正多边形和圆的综合
【分析】根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，从而求解．
【详解】解：四边形是的内接正方形，
，
与都是所对的圆周角，
．
【作业6】．（2025·陕西榆林·二模）已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的运用，掌握正多边形与圆的综合是关键．
根据题意得到，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，正六边形，中心为点，连接，作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【作业7】．（24-25九年级上·广西防城港·期末）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________．
【答案】/60度
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等．
根据正多边形各边所对中心角相等计算即可．
【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等，
∴其中心角的度数为，
故答案为： ．
【作业8】．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，正六边形内接于，它的内切圆半径为，则正六边形的边长为__________．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定和性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，根据题意得出，，求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，过点作于点，
正六边形内接于，它的内切圆半径为，
，，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为： ．
【作业9】．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是_______．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，为的内接正三角形，
过O作，连接，则，
为圆内接正三角形，
，
，
，
，即，
边心距与半径的比是，
故答案为：．
【作业10】．（24-25九年级上·天津·期末）一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于________cm．
【答案】12
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查圆的内接多边形，根据圆内接正六边形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
又∵，
∴是正三角形，
∴，
∴这个正六边形的周长等于.
故答案为：12
【作业11】．（2025·江西抚州·一模）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为______ ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正六边形可求出，证明是等边三角形，进而可求出，则有，然后通过勾股定理得，设，则，，再由圆周长公式求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵正六边形是圆内接正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
设，则，，
∵的周长等于，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【作业12】．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________．
【答案】
【知识点】圆周角定理、求扇形面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、正多边形和圆的综合
【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可．
【详解】解：如图，连接，
∵在正五边形中，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴．
∴．
【作业13】．（2024·河南周口·模拟预测）全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》 的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即 “文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、由平行截线求相关线段的长或比值、正多边形和圆的综合
【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及平行线分线段成比例、解直角三角形等知识，正确的做出辅助线是解题关键．
延长，交于点M，运用平行线分线段成比例得比例式即可解得．
【详解】解：延长，交于点M，
由题可知：，
，
，
，，
即，
，，，
，，
，
解得，
故答案为：C．
【作业14】．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段检测）（1）解方程：．
（2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长．
【答案】（1）， （2）
【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）连接，证出，，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，；
（2）连接，
∵是正六边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【作业15】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题：
素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”
素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
(1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ．
②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ．
(2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数．
【答案】(1)3；3
(2)3.1412
【知识点】 圆的面积、无理数的大小估算、正多边形和圆的综合、 圆的周长
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆周长和面积，无理数的估算，
对于（1），根据圆的周长公式计算，再根据圆的面积公式可得估计值；
对于（2），根据“调日法”的理解，两次使用即可得出近似值.
【详解】（1）解：①根据题意可知，
解得；
故答案为：3；
②如图，过点B作，交于点C，
∵，
∴，
∴.
∵正十二边形的面积等同于圆的面积，
∴，
解得.
故答案为：3；
（2）解：∵，即，
利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为；
由于，得，
再利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为.
【作业16】．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践
某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．
【探究发现】
当周长为时，计算回答下列问题：
（1）正方形的面积为________．
（2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程．
（3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）
【应用结论】
张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由．
【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）；
[应用结论]能，
护栏网围成圆时，面积能达到；
根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大，
∵的周长为，
∴半径为，
∴面积为；
∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到．
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用；
【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解;
（3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解；
【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解．
【详解】解：（1）∵正方形的周长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
（2）解：作于点，
是等边三角形，周长为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（3）∵的周长为，
∴半径为，
∴面积为；
∵正六边形的周长为，则边长为，
∴正六边形的面积为；
∵、、、，
∴，
【应用结论】略
【作业17】．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______º；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【答案】（1）；
（2）；
（3），理由如下：
由（2）知：，，，
可得，，
，
；
（4）如图：
连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、正多边形和圆的综合
【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得；
（2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案；
（3）由，，，可得，，即可求得答案；
（4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、，
则、、、经过点，，
，，
四边形、是正方形，
，
是正八边形，
，，
，
，
同理，
，
；
（2）正八边形的边长为2，
，
由（1）知：、、均为等腰直角三角形，
，，
；
（3）略
（4）略
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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第17讲 正多边形与圆 优等生讲义
（知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念
· 会计算正多边形的中心角、内角、边长、周长、面积及边心距
· 能运用圆周角定理解决正多边形中的角度计算问题
· 会计算正多边形与扇形组合图形的阴影面积和弧长
· 掌握正多边形的尺规作图方法，能解决与圆内接正多边形相关的综合证明题
📚 知识梳理
☆ 1.正多边形与圆的有关概念
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
外接圆的半径叫做正多边形的半径；中心到正多边形一边的距离叫做边心距
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正 n 边形的中心角=
概念辨析例题：正六边形的中心角是多少度？
答案：60°
解析：正 n 边形中心角=，正六边形 n=6，故中心角==60°
☆ 2.正多边形的有关计算
正 n 边形的每个内角=，每个外角=
正六边形边长等于其外接圆半径 R，边心距=R
正三角形边长= R，边心距=R
正方形边长= R，边心距=R
概念辨析例题：已知正六边形外接圆半径为 2，求其边心距
答案：
解析：正六边形边心距=R=×2=
☆ 3.正多边形与圆周角定理
正多边形内接于圆时，利用圆周角定理可求相关角的度数
正 n 边形一边所对的圆周角=×=
正五边形每个内角=108°，中心角=72°
正六边形每个内角=120°，中心角=60°
概念辨析例题：正五边形 ABCDE 内接于⊙O，求中心角∠AOB
答案：72°
解析：正 n 边形中心角===72°
☆ 4.正多边形的尺规作图
正六边形：在半径为 R 的圆上依次截取长度等于 R 的弦，六等分圆周即得
正三角形：六等分圆周后每隔一个分点连接
正方形：作互相垂直的两条直径，四等分圆周即得
用量角器可作任意正 n 边形（中心角=）
概念辨析例题：如何用尺规作圆的内接正六边形？
答案：六等分圆周
解析：以圆上一点为圆心、R 为半径画弧交圆于一点，依次六等分圆周，连接各分点即得正六边形
📋 知识总结表
正多边形
边长与 R 关系
边心距与 R 关系
正三角形
a= R
r=R
正方形
a= R
r=R
正五边形
a≈1.176 R
r≈0.809 R
正六边形
a=R
r=R
正八边形
a≈0.765 R
r≈0.924 R
正 n 边形
a=2R sin
r=R cos
⚠️ 核心考点
【考点1】正多边形的概念、中心角与内角（第1-6题）
· 正 n 边形中心角=，外角=中心角
· 内角=，内角+外角=180°
· 已知圆周角反求边数时，先求中心角再用 n=
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______．
4．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
6．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，点A是上的一点．
(1)请用直尺和圆规作出的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若的半径为，求弦所对的弧长．
【考点2】正多边形与圆的周长、面积、边心距计算（第7-20题）
· 正六边形边长=R，周长=6R，面积=6×R2
· 作边心距构造直角三角形，用勾股定理求边长或边心距
· 坐标问题中利用对称性写出顶点坐标
7．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
8．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（ ）
A．18 B．36 C． D．
10．（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，正六边形，点C在x轴上，半径为2，则顶点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24九年级下·云南昆明·阶段检测）已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25九年级上·全国·期末）若正六边形的边长为2，则其内切圆半径的大小是（ ）
A． B．1 C．2 D．
14．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为4，则纸片剩余部分的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是________．
16．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为________．（请用含r的式子表示）
17．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
18．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长．
19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．
20．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：；
【考点3】正多边形中的角度计算（圆周角定理）（第21-26题）
· 正多边形中角度问题转化为圆周角与圆心角的关系
· 同弧所对圆周角等于圆心角的一半
· 正五边形内角 108°、中心角 72° 是常用值
21．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（24-25九年级下·重庆·开学考试）下列命题中的真命题是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．点到直线的距离是点到直线的垂线段
C．正多边形的中心角等于其每一个内角
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
23．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________．
24．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为______．
25．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______．
26．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数．
【考点4】阴影面积与弧长（正多边形与扇形组合）（第27-42题）
· 阴影面积=整体面积减去空白面积，或用割补法
· 弧长公式 l=，扇形面积 S=
· 注意识别阴影部分对应的圆心角和半径
27．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，半径为1的是正方形，正六边形的外接圆，则的长为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数．当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3.14 D．3
31．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
32．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则__；若，则阴影部分图形的周长为_____（结果保留π）．
33．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是________．
34．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为__________．
35．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______．
36．（2024·吉林松原·三模）边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为______．
37．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正六边形螺母的平面示意图．已知正六边形的边长为6，外接圆为，则图中阴影部分的面积为_______．
38．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为______．
39．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积．
40．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积．
41．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，．
(1)求证：为等边三角形．
(2)求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留）
42．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是内接正多边形的一条边，且．
(1)求该正多边形的边数；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积．
【考点5】综合证明、尺规作图与实际应用（第43-52题）
· 尺规作正六边形：六等分圆周
· 综合题中先利用正多边形性质求出角度或边长，再证明或计算
· 实际应用问题（窗花、地基、硬币等）转化为正多边形模型
43．（24-25九年级下·海南海口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
44．（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为________．
45．（24-25八年级上·河北沧州·期末）尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 _____．
46．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)画出的内接正．
(2)在上画出、两点，使得．（画一种即可）
47．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
48．（2025·湖北武汉·一模）如图，正五边形内接于，连接交于点F．
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
49．（25-26九年级上·全国·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
50．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）．
51．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为．
(1)求作它的内接正方形；
(2)求正方形的边长．
52．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
💯 课后巩固
复习建议
· 正六边形是最常考的正多边形，记住 a=R、r=R
· 计算时先构造边心距所在的直角三角形
· 角度问题优先用圆周角定理转化
· 阴影面积问题注意割补法和整体减空白
· 尺规作图要保留作图痕迹，不写作法
【作业1】．（23-24九年级上·青海果洛·期末）正六边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（23-24九年级下·河南安阳·阶段检测）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【作业3】．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的有___．
①各角相等的圆内接多边形一定是正多边形；
②各边相等的圆内接多边形是正多边形；
③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形；
④正多边形都是轴对称图形，也是中心对称图形．
【作业5】．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________．
【作业6】．（2025·陕西榆林·二模）已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为________．
【作业7】．（24-25九年级上·广西防城港·期末）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________．
【作业8】．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，正六边形内接于，它的内切圆半径为，则正六边形的边长为__________．
【作业9】．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是_______．
【作业10】．（24-25九年级上·天津·期末）一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于________cm．
【作业11】．（2025·江西抚州·一模）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为______ ．
【作业12】．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________．
【作业13】．（2024·河南周口·模拟预测）全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》 的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即 “文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【作业14】．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段检测）（1）解方程：．
（2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长．
【作业15】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题：
素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”
素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
(1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ．
②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ．
(2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数．
【作业16】．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践
某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．
【探究发现】
当周长为时，计算回答下列问题：
（1）正方形的面积为________．
（2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程．
（3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）
【应用结论】
张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由．
【作业17】．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______º；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
第17讲 正多边形与圆 优等生讲义
（知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册
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学科网（北京）股份有限公司
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