专题08 线段.射线.直线 复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题08线段.射线.直线复习讲义 1.理解直线、射线、线段的概念，分清三者的联系与区别，掌握各自端点个数、延伸性，能正确识别图形。 2.掌握直线、射线、线段的规范表示方法，读懂图形语言，会根据文字描述画出对应图形。 3.牢记基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短，能运用这两个结论解释生活中的现象。 4.理解线段中点的含义，会求线段中点分出来的线段长度，能进行线段的和、差计算。 5.会用尺规作一条线段等于已知线段，掌握线段比较大小的方法：度量法、叠合法。 6.理解两点之间距离的定义：两点之间线段的长度，区分 “线段” 和 “距离”。 7.能处理多条线段共存的图形计算、线段动点、分类讨论问题，推理过程规范，不漏掉多种情况。 8.辨析常见易错点：射线的方向性、延长线的表述、区分直线不可度量、射线不可度量，只有线段可以度量。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型三 线段的应用 ★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★ 题型十六 作线段 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 知识点 07本章高频易错汇总 1.混淆射线表示：射线AB与射线BA是两条不同射线； 2.概念混淆：距离是长度（数值），线段是图形，不能等同； 3.误认为射线、线段可以度量长度（只有线段可量）； 4.忽略 “两点确定一条直线” 中 “有且只有” 的唯一性； 5.数线段重复、漏数，不会套用计数公式； 6.作图语言错误：“连接直线AB”（直线无限长，不能连接）； 7.延长射线说法错误：射线本身无限延伸，只能反向延长； 8.判定中点只看图相等，不满足数量等量关系。 题型一：直线、线段、射线的数量问题 1．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 2．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 3．如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 题型二：直线相交的交点个数问题 4．三条直线相交，最多有________个交点． 5．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则______． 6．某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 题型三：线段的应用 7．已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 8．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 9．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则________mm. 题型四：直线、射线、线段的联系与区别 10．《红楼梦》第回中有这么一句话，“自古道：‘千里姻缘一线牵’．管姻缘的有一位月下老人，预先注定，暗里只用一根红丝，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“丝”若是直的，则在数学中指的应是________． 11．关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五：画出直线、射线、线段 13．已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B．C．D． 15．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 题型六：点与线的位置关系 16．下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 17．平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 18．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 题型七：两点确定一条直线 19．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 20．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 21．下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 题型八：线段的和与差 22．如图1，已知线段，，则图2中线段表示的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 24．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 题型九：线段中点的有关计算 25．如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 26．如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________． 27．定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型十：线段 n 等分点的有关计算 28．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 29．已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 30．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 题型十一：线段之间的数量关系 31．已知线段，点C是直线上一点，且，则线段的长等于______ 32．已知，是线段上一点，且，则的值是________． 33．如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 _____条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ______________． 题型十二：与线段有关的动点问题 34．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 35．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 36．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 题型十三：两点之间线段最短 37．如图，把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短．其中蕴含的数学道理是（   ） A．经过一点可以作无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，有若干种连接方式 D．经过两点有且只有一条直线 38．2025年夏天起，“浙BA”篮球比赛在浙江各个城市如火如荼地进行．10月11日，小明想自驾去温州体育中心体育馆观看温州队和杭州队的比赛，如图导航上显示的距离分别为，和，但出发地与场馆的直线距离却只有．这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短 39．如图，把长方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来长方形的周长，理由是______，横线上依次填入（  ） A．大于：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 B．大于：两点之间的所有连线中，线段最短 C．小于：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．小于：两点之间的所有连线中，线段最短 题型十四：两点间的距离 40．点在直线上，，，则_______． 41．如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则______． 42．如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是_________．   题型十五：最短路径问题 43．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 44．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 题型十六：作线段 46．如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；②在射线上截取；③在线段上截取．则的长_____________ ．（用、的代数式来表示） 47．如图，在中，，，． （1）的面积等于__________； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）__________． 48．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 解答题 49．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 50．如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 51．如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，6条直线两两相交最多能有15个交点……n条直线两两相交呢? 52．如图，线段，，点是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若点在线段所在的直线上，且，点为线段的中点，求线段的长． 53．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 54．根据题意，补全证明过程． 已知：如图，点C为线段上任意一点，点M、N分别为线段的中点． 求证：． 解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， （ ）， ∵ ， ∴． 55．学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要规划不同项目的比赛场地，规划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小，不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后要举行的田径运动会规划比赛场地，如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为，每条跑道宽，在一个标准的跑道内，，，， 等比赛跑道的起点不同，终点相同． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是 ． (2)请你用含和的式子表示出最内侧跑道的周长． (3)如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（取3.14，结果保留整数） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08线段.射线.直线复习讲义 1.理解直线、射线、线段的概念，分清三者的联系与区别，掌握各自端点个数、延伸性，能正确识别图形。 2.掌握直线、射线、线段的规范表示方法，读懂图形语言，会根据文字描述画出对应图形。 3.牢记基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短，能运用这两个结论解释生活中的现象。 4.理解线段中点的含义，会求线段中点分出来的线段长度，能进行线段的和、差计算。 5.会用尺规作一条线段等于已知线段，掌握线段比较大小的方法：度量法、叠合法。 6.理解两点之间距离的定义：两点之间线段的长度，区分 “线段” 和 “距离”。 7.能处理多条线段共存的图形计算、线段动点、分类讨论问题，推理过程规范，不漏掉多种情况。 8.辨析常见易错点：射线的方向性、延长线的表述、区分直线不可度量、射线不可度量，只有线段可以度量。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型三 线段的应用 ★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★ 题型十六 作线段 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 知识点 07本章高频易错汇总 1.混淆射线表示：射线AB与射线BA是两条不同射线； 2.概念混淆：距离是长度（数值），线段是图形，不能等同； 3.误认为射线、线段可以度量长度（只有线段可量）； 4.忽略 “两点确定一条直线” 中 “有且只有” 的唯一性； 5.数线段重复、漏数，不会套用计数公式； 6.作图语言错误：“连接直线AB”（直线无限长，不能连接）； 7.延长射线说法错误：射线本身无限延伸，只能反向延长； 8.判定中点只看图相等，不满足数量等量关系。 题型一：直线、线段、射线的数量问题 1．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 2．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 3．如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【答案】C 【分析】将车站转化为直线上的点，通过计算线段总数求解车票种数． 【详解】解：∵乘火车从北京到上海为单向行程，任意两个车站间对应一种车票，等价于求25个点构成的线段总条数， ∴车票种数为． 题型二：直线相交的交点个数问题 4．三条直线相交，最多有________个交点． 【答案】3 【分析】本题考查了直线相交的个数问题，两条直线相交最多有一个交点，第三条直线与前两条直线均相交且不共点时，可增加两个交点，因此最多有三个交点． 【详解】解：两条直线在平面上相交，最多有一个交点，当第三条直线加入时，为使交点最多，第三条直线需与前两条直线都相交，且不经过前两条直线的交点，这样第三条直线会与前两条直线各产生一个交点，因此总交点数最多为个， 故答案为：3． 5．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则______． 【答案】 【分析】本题考查直线相交的交点个数，代数式求值，根据平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可求解． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 6．某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 【答案】28 【分析】要使信号灯组数最多，需每两条主干道都相交，且任意三条主干道不经过同一个交点，总结n条直线最多交点数的规律即可计算． 【详解】解：两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点， 可得规律：条直线相交，最多的交点个数为， 将代入公式得： 即最多需要准备28组交通信号灯． 题型三：线段的应用 7．已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 【答案】线段 【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点P的轨迹是线段． 故答案为：线段． 8．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 9．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则________mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 题型四：直线、射线、线段的联系与区别 10．《红楼梦》第回中有这么一句话，“自古道：‘千里姻缘一线牵’．管姻缘的有一位月下老人，预先注定，暗里只用一根红丝，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“丝”若是直的，则在数学中指的应是________． 【答案】线段 【分析】红丝连接两个人的脚，有两个明确端点，且为直的，根据线段的定义即可判断． 【详解】解：∵红丝的两端分别系在两个人的脚上， ∴有两个明确的端点， ∵“丝”若是直的 ∴符合线段的定义，因此这里的“丝”在数学中指线段． 11．关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确定③正确，根据线段的表示方法确定④． 【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确； ②线段有两个端点，正确； ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确； ④画一条线段，原表述错误． 所以描述正确的有①②③，共3个． 故选：C． 12．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得． 【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确； ②因为点不一定在线段上，所以若线段，则点不一定是线段的中点，则原说法错误； ③射线与射线的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误； ④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误； ⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确； 综上，说法正确的有2个， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键． 题型五：画出直线、射线、线段 13．已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线和线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念． 根据直线、射线和线段的概念求解可得． 【详解】解：A、表示的是射线，表示的是线段，表示的是直线，不符合题意； B、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，符合题意； C、表示的是直线，表示的是射线，表示的是射线，不符合题意； D、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，不符合题意． 故选：B． 14．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图一复杂作图，直线、射线、线段的知识，掌握直线、射线、线段的特征是解题关键， 根据直线、射线、线段的特征进行画图即可． 【详解】解：（1）画一条经过点和点的直线，如图所示； （2）画线段与线段相交于点，如图所示； （3）画一条以点为端点，并且经过点的射线，如图所示； 故选：D． 15．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 【答案】(1)所作直线如图所示： (2)所作射线如图所示： (3)所作交点E如图所示： 【分析】根据直线、射线、线段的定义画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六：点与线的位置关系 16．下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，关键是直线、射线和线段性质定理的应用．根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可． 【详解】A．如图1，点C在射线上，故该选项不正确，不符合题意； B．如图2所示，射线不经过点A，故该选项不正确，不符合题意； C．如图3所示，延长线段到点C，故该选项不正确，不符合题意； D．如图4所示，图中共有4条射线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 17．平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 【答案】A 【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【详解】解：如图，在平面内，， ∵，， ∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点， 由于， 所以，点C在线段上， 故选：A．    18．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 题型七：两点确定一条直线 19．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移． 【详解】解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位． 因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线． 20．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据直线的性质可知： ①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③打靶瞄准，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 故体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，共3个， 故答案为：3． 21．下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，正确区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：是根据两点确定一条直线，是根据两点之间，线段最短， 故选：． 题型八：线段的和与差 22．如图1，已知线段，，则图2中线段表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，解题的关键是根据图形准确分析线段之间的数量关系． 从图2可知，线段AB的长度等于两段的长度减去一段的长度，即． 【详解】解：由图2可知，． 故选：． 23．如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 【答案】58 【分析】根据题意列出所有以、、、、为端点的线段，利用线段的和差关系，将所有线段长度之和转化为已知线段和的倍数关系，代入数据计算即可． 【详解】解：图中以、、、、 这5个点为端点的线段共有10条，分别为：，， ，，，，，，，， 所有线段的和为：， 将各项重新组合得：， ∵，，，， ∴， 即， ∵，， ∴． 24．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差以及线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据线段中点的性质求出线段的长度，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， 根据题意得，分两种情况进行讨论： ①如图所示，当A，C或B，D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 此时，； ②如图所示，当B，C或A，D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 此时，； 故选：D． 题型九：线段中点的有关计算 25．如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．先根据线段中点的定义可得，，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是线段的中点，且， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， 故选：B． 26．如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________． 【答案】4或8 【分析】根据线段的和差关系求出的长，利用中点的性质求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴或. 27．定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，根据题意求出，由线段的中点的定义可得，再由“折中点”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵点K为线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是折线的“折中点”， ∴， ∴， 故选：C． 题型十：线段 n 等分点的有关计算 28．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的一个三等分点，， ∴． 29．已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了线段三等分点的概念和线段长度的计算． 点D为线段的三等分点，可能靠近A或靠近B，因此需要分两种情况讨论． 【详解】解：∵，点D为线段的三等分点， ∴或． 又∵，点C在线段上， 当时，如图， ； 当时，如图， ． 故线段的长为1或3． 故答案为：1或3． 30．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 题型十一：线段之间的数量关系 31．已知线段，点C是直线上一点，且，则线段的长等于______ 【答案】4或12 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在直线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即， 解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即， 解得：， 所以， 综上所述，的长为4或12， 故答案为：4或12． 32．已知，是线段上一点，且，则的值是________． 【答案】 【分析】运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是解题的关键．设,那么,则,从而求得其比值． 【详解】设,那么, ∴, 故答案是：. 33．如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 _____条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ______________． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系．先根据线段的定义写出所有的线段，再分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：或． 题型十二：与线段有关的动点问题 34．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 35．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 36．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，得，设，则，根据线段的长可得，即可求出． 【详解】解： 设，则， ， 点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点速度是点的2倍， ， 设则， ， ， ， 知道长度即可知道长度． 题型十三：两点之间线段最短 37．如图，把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短．其中蕴含的数学道理是（   ） A．经过一点可以作无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，有若干种连接方式 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】B 【分析】本题考查线段的基本性质，关键是理解“把弯曲河道改直后长度变短”的本质是利用了两点之间线段最短的原理． 【详解】解：把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短，这是因为两点之间，线段最短．故选：B． 38．2025年夏天起，“浙BA”篮球比赛在浙江各个城市如火如荼地进行．10月11日，小明想自驾去温州体育中心体育馆观看温州队和杭州队的比赛，如图导航上显示的距离分别为，和，但出发地与场馆的直线距离却只有．这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，根据线段的性质可得答案． 【详解】解：这其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短． 故选：C． 39．如图，把长方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来长方形的周长，理由是______，横线上依次填入（  ） A．大于：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 B．大于：两点之间的所有连线中，线段最短 C．小于：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．小于：两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短的定理进行判断即可； 【详解】如图所示： 原长方形的周长=AE+BE+BF+FC+DC+AD 五边形的周长=AE+EF+FC+DC+AD； ∵两点之间线段最短， ∴ BE+BF＞EF， ∴ AE+BE+BF+FC+DC+AD＞AE+EF+FC+DC+AD， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的定理，正确理解定理是解题的关键． 题型十四：两点间的距离 40．点在直线上，，，则_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，线段的和差关系．由于点在直线上，可能在线段上或在线段的延长线上，因此的长度有两种情况． 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 故答案为：或． 41．如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则______． 【答案】48 【分析】设，则，进而可得，再利用可得，再根据点C是线段的中点，可得，解出x即可求解． 【详解】解：设， 则， ， ， ， ， 点C是线段的中点， ，即：， 解得：， ， 故答案为：48． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握． 42．如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是_________．    【答案】或 【分析】分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，    （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，    （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 题型十五：最短路径问题 43．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 44．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 【答案】5 【分析】先求出点关于y轴的对称点C，将PA+PB的最小值转化为PC+PB的最小值，易知当点P、B、C三点共线时，取最小值计算即可． 【详解】设点关于y轴的对称点C（x，y）， ∴点C（﹣1,0） 又点P是y轴上的一个动点， ∴PA+PB=PC+PB≥BC， 当点P、B、C三点共线时，PC+PB取最小值BC， 由两点的距离公式可得 故答案为：5 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，涉及到轴对称最短路线问题，解题的关键是找到其中一点的对称点，结合三角形的性质求解． 题型十六：作线段 46．如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；②在射线上截取；③在线段上截取．则的长_____________ ．（用、的代数式来表示） 【答案】 【分析】根据题意作出图形，根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图， 根据作图可知，． 47．如图，在中，，，． （1）的面积等于__________； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）__________． 【答案】 4 如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； 分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交于点； 点，即为所求． 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】解：（1）的面积等于， 故答案为：4； （2）略 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 48．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 解答题 49．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)或 【分析】（1）在射线上先作，则作，即可； （2）分两种情况：当点B在点A，C之间时；当点C在点A，B之间时，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，当点B在点A，C之间时， ∵， ∴； 如图，当点C在点A，B之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 50．如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 【答案】(1)6 (2) (3)19 【分析】（1）根据线段的定义可得答案； （2），可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有，共条； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴． 51．如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，6条直线两两相交最多能有15个交点……n条直线两两相交呢? 【答案】n条直线两两相交最多能有个交点 【分析】根据题目中的交点个数，即可得到n条直线两两相交最多有交点的个数公式． 【详解】解：2条直线相交只有1个交点； 3条直线两两相交最多能有个交点； 4条直线两两相交最多能有个交点； 5条直线两两相交最多能有个交点； 6条直线两两相交最多能有个交点； n条直线两两相交最多能有个交点． 52．如图，线段，，点是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若点在线段所在的直线上，且，点为线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2)1或4 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据得到，，根据点是线段的中点得到，根据计算即可； （2）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∵， ，． ∵点是线段的中点， ． ； （2）解：①当点在线段上时，如图所示， ， ． ∵点是线段的中点， ． ． ②当点在线段之外时，如图所示， ， ． ∵点是线段的中点， ． ． 的长为1或4． 53．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 54．根据题意，补全证明过程． 已知：如图，点C为线段上任意一点，点M、N分别为线段的中点． 求证：． 解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， （ ）， ∵ ， ∴． 【答案】 【详解】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可． 【分析】解：∵M为线段的中点， ， ∵N为线段的中点， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 55．学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要规划不同项目的比赛场地，规划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小，不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后要举行的田径运动会规划比赛场地，如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为，每条跑道宽，在一个标准的跑道内，，，， 等比赛跑道的起点不同，终点相同． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是 ． (2)请你用含和的式子表示出最内侧跑道的周长． (3)如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（取3.14，结果保留整数） 【答案】(1)两点确定一条直线 (2) (3) 【分析】（1）根据 “经过两点能且只能作一条直线”，即可求得答案； （2）最内侧跑道的周长=直道的长度半径为的圆的周长； （3）第四条跑道的周长=直道的长度半径为的圆的周长，然后计算第一条跑道和第四条跑道的起跑线的差即可． 【详解】（1）解：施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是两点确定一条直线． （2）解：最内侧跑道的周长； （3）解：第四跑道的周长为， ∴第一条跑道和第四条跑道的起跑线相差 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $