专题07 线段、射线、直线 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题07 线段、射线、直线 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.线段、射线、直线的概念与区别 2.线段、射线、直线的表示方法 3.直线的基本事实（公理） 4.点与直线的位置关系 5.两点间的距离 6.线段长短比较、线段的和差倍分计算 7.线段中点、线段 n 等分点 ✺学习目标 1.识别线段、射线、直线，掌握三者之间的联系与区别。 2.能够用字母规范表示线段、射线、直线。 3.掌握 “两点确定一条直线” 这一基本事实，并能解释相关生活实例。 4.掌握点与直线的两种位置关系。 5.理解两点间距离的定义，区分距离（长度）与线段（图形）。 6.掌握比较线段长短的两种方法，会进行线段的和差倍分计算。 7.理解线段中点、n 等分点的含义，能写出对应的几何关系式。 ✺题型归纳 题型1.直线、线段、射线的数量问题 题型2.直线相交的交点个数问题 题型3.线段的应用 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 题型5.画出直线、射线、线段 题型6.点与线的位置关系 题型7.两点确定一条直线 题型8.线段的和与差 题型9.线段中点的有关计算 题型10.线段n等分点的有关计算 题型11.线段之间的数量关系 题型12.与线段有关的动点问题 题型13.两点之间线段最短 题型14.两点间的距离 题型15.最短路径问题 题型16.作线段(尺规作图) 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、线段、射线、直线的概念 线段：有两个端点，不能向两方无限延伸，可以度量长度。 实例：直尺的边沿、课桌的边沿。 射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，不可度量长度。 实例：手电筒射出的光线、探照灯射出的光线。 直线：没有端点，可以向两方无限延伸，不可度量长度。 图形名称 端点个数 延伸情况 能否度量长度 线段 2 个 不向任何方向延伸 可以度量 射线 1 个 向一个方向无限延伸 不可度量 直线 0 个 向两个方向无限延伸 不可度量 ★联系：将线段向一个方向无限延长得到射线；将线段向两个方向无限延长得到直线。线段、射线都是直线的一部分。 知识点二、线段、射线、直线的表示方法 线段：① 用两个端点的大写字母表示：线段AB（或线段BA） ② 用一个小写字母表示：线段a 射线：①用端点和射线上另一个点表示，端点字母必须写在前面：射线OA 注意：射线OA与射线AO不是同一条射线，二者端点不同。 直线：①用直线上两个点的大写字母表示：直线AB（或直线BA） ② 用一个小写字母表示：直线l ★提示：线段、直线的两个大写字母可以调换顺序； 射线表示时端点字母在前，字母顺序不可调换。 知识点三、直线的基本事实（公理） 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 含义：①存在性：经过两点可以画出一条直线；②唯一性：这样的直线只有一条。 生活实例：将木条固定在墙上，至少需要两个钉子；排队时，确定两名同学的位置，整排队伍就确定。 几何语言：过A、B两点有且只有一条直线AB。 知识点四、点和直线的位置关系 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点。 知识点五、两点间的距离  两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 知识点六、线段的有关计算 1.线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较。 2. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算。 3. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点。如下图，若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB。反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。 4.线段的n等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点。 ✺题型精讲 题型1.直线、线段、射线的数量问题 1．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 2．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 3．阅读下表： 线段上的点数（包括两点） 图形 线段总条数 3 4 5 6 【探究与发现】 （1）在表中空白处画出图形，并写出线段总条数； 【拓展与应用】 （2）如图，在平面内，从点引出10条射线（其中任意两条都不共线），求图中共有多少个小于平角的角． 题型2.直线相交的交点个数问题 1．如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 3．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 题型3.线段的应用 1．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 3．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 2．晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条_________（填“直线”“线段”或“射线”）． 3．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 题型5.画出直线、射线、线段 1．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 3．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 题型6.点与线的位置关系 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 2．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 3．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 题型7.两点确定一条直线 1．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 2．暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是______． 3．已知平面内有四个点，其中任意三个点都不共线．过其中任意两个点画直线，能画出几条？ 题型8.线段的和与差 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直线上顺次取，，，四点，则______________，_______． 3．如图，已知线段，请完成以下问题： (1)根据下列步骤补全图形：①延长线段至点C，使得；②在线段上取点D，使．（以上只要求画出图形，不要求写作法） (2)求线段的长； (3)求线段的长． 题型9.线段中点的有关计算 1．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 3．如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 题型10.线段n等分点的有关计算 1．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．线段，将其四等分，则每一份线段的长度为_____________． 3．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 题型11.线段之间的数量关系 1．如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 3．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 题型12.与线段有关的动点问题 1．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 3．如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 题型13.两点之间线段最短 1．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 2．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 3．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？如图，直线的两侧分别有A，B两点，请你在直线上确定一个点C，使最短（不写作法，保留作图痕迹） 题型14.两点间的距离 1．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 2．如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 3．如图，线段，点C是线段上一点，，点D是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点E为直线上一点，且，则线段的长为______． 题型15.最短路径问题 1．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 2．作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 3．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 题型16.作线段(尺规作图) 1．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 3．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． ✺巩固测试 一、单选题 1．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 2．下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 3．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 4．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 二、填空题 6．直线的性质：两点确定_______条直线．线段的性质：两点之间，线段________．距离：连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离．中点：把一条线段分成两条________的线段的点，叫做这条线段的中点． 7．数轴上表示小于等于的部分可以看作是______，数轴上表示大于等于且小于等于3的部分可以看作是______．（填“直线”、“线段”或“射线”） 8．同一平面内的五条直线，任意两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则的值为________． 9．如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 10．已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 三、解答题 11．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 12．如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 13．如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 14．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 15．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 线段、射线、直线 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.线段、射线、直线的概念与区别 2.线段、射线、直线的表示方法 3.直线的基本事实（公理） 4.点与直线的位置关系 5.两点间的距离 6.线段长短比较、线段的和差倍分计算 7.线段中点、线段 n 等分点 ✺学习目标 1.识别线段、射线、直线，掌握三者之间的联系与区别。 2.能够用字母规范表示线段、射线、直线。 3.掌握 “两点确定一条直线” 这一基本事实，并能解释相关生活实例。 4.掌握点与直线的两种位置关系。 5.理解两点间距离的定义，区分距离（长度）与线段（图形）。 6.掌握比较线段长短的两种方法，会进行线段的和差倍分计算。 7.理解线段中点、n 等分点的含义，能写出对应的几何关系式。 ✺题型归纳 题型1.直线、线段、射线的数量问题 题型2.直线相交的交点个数问题 题型3.线段的应用 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 题型5.画出直线、射线、线段 题型6.点与线的位置关系 题型7.两点确定一条直线 题型8.线段的和与差 题型9.线段中点的有关计算 题型10.线段n等分点的有关计算 题型11.线段之间的数量关系 题型12.与线段有关的动点问题 题型13.两点之间线段最短 题型14.两点间的距离 题型15.最短路径问题 题型16.作线段(尺规作图) 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、线段、射线、直线的概念 线段：有两个端点，不能向两方无限延伸，可以度量长度。 实例：直尺的边沿、课桌的边沿。 射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，不可度量长度。 实例：手电筒射出的光线、探照灯射出的光线。 直线：没有端点，可以向两方无限延伸，不可度量长度。 图形名称 端点个数 延伸情况 能否度量长度 线段 2 个 不向任何方向延伸 可以度量 射线 1 个 向一个方向无限延伸 不可度量 直线 0 个 向两个方向无限延伸 不可度量 ★联系：将线段向一个方向无限延长得到射线；将线段向两个方向无限延长得到直线。线段、射线都是直线的一部分。 知识点二、线段、射线、直线的表示方法 线段：①用两个端点的大写字母表示：线段AB（或线段BA） ② 用一个小写字母表示：线段a 射线：①用端点和射线上另一个点表示，端点字母必须写在前面：射线OA 注意：射线OA与射线AO不是同一条射线，二者端点不同。 直线;①用直线上两个点的大写字母表示：直线AB（或直线BA） ② 用一个小写字母表示：直线l ★提示：线段、直线的两个大写字母可以调换顺序； 射线表示时端点字母在前，字母顺序不可调换。 知识点三、直线的基本事实（公理） 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 含义：①存在性：经过两点可以画出一条直线；②唯一性：这样的直线只有一条。 生活实例：将木条固定在墙上，至少需要两个钉子；排队时，确定两名同学的位置，整排队伍就确定。 几何语言：过A、B两点有且只有一条直线AB。 知识点四、点和直线的位置关系 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点。 知识点五、两点间的距离  两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 知识点六、线段的有关计算 1.线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较。 2. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算。 3. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点。如下图，若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB。反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。 4.线段的n等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点。 ✺题型精讲 题型1.直线、线段、射线的数量问题 1．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 2．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 3．阅读下表： 线段上的点数（包括两点） 图形 线段总条数 3 4 5 6 【探究与发现】 （1）在表中空白处画出图形，并写出线段总条数； 【拓展与应用】 （2）如图，在平面内，从点引出10条射线（其中任意两条都不共线），求图中共有多少个小于平角的角． 【答案】 （1）如图即为所求： （2）在平面内，从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中共有个小于平角的角． 【分析】本题考查图形类规律探索，线段的数量，角的数量． （1）按要求作图，找规律，代入数据计算即可； （2）画图，找规律，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得，线段总条数与线段上的点数（包括两点）的关系为（）， ∴当时，． 线段总条数为． （2）解：从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中小于平角的角的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，． ∴在平面内，从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中共有个小于平角的角． 题型2.直线相交的交点个数问题 1．如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段交点问题．画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为18， 故选：C． 2．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【分析】本题考查了直线的交点问题，熟练掌握 （，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点是解题的关键．由题意可得，再代入适当的值，计算即可得出结果． 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 3．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 题型3.线段的应用 1．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 2．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 3．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的基本概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 2．晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条_________（填“直线”“线段”或“射线”）． 【答案】射线 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段的区分，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义。 【详解】解：晚上，小明拿起手电筒照向远方，此时手电筒光线是一条射线． 故答案为：射线． 3．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 题型5.画出直线、射线、线段 1．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 3．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 题型6.点与线的位置关系 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与点的关系， 根据直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上，可判断A，B，C，再根据直线不经过点A，说明D即可． 【详解】解：因为直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上， 所以A错误，B正确； 因为直线c经过点A， 所以C正确； 因为直线不经过点A， 所以D正确． 故选：A． 2．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 3．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3) 如图所示， (4) 如图所示， 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型7.两点确定一条直线 1．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 2．暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”的基本事实是正确判断的关键．根据“两点确定一条直线”进行判断即可． 【详解】解：打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 3．已知平面内有四个点，其中任意三个点都不共线．过其中任意两个点画直线，能画出几条？ 【答案】6条 【分析】本题考查了直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：如图所示，平面内有四个点，其中任意三个点都不共线，一共可以画条直线． 题型8.线段的和与差 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，在直线上顺次取，，，四点，则______________，_______． 【答案】 【详解】解：由线段的关系可知， ． 3．如图，已知线段，请完成以下问题： (1)根据下列步骤补全图形：①延长线段至点C，使得；②在线段上取点D，使．（以上只要求画出图形，不要求写作法） (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) 如图所示： (2)18 (3)3 【分析】（1）用刻度尺根据题干提示画图即可； （2）根据题意求出进而求出即可； （3）根据题意求出进而求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型9.线段中点的有关计算 1．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 2．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 【答案】8 【分析】根据与的长度比为，求出，再根据线段的中点，得到，进而由线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵，若与的长度比为， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 3．如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵点为的中点，且， ∴， ∴． 题型10.线段n等分点的有关计算 1．线段，点A、B是的三等分点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算． 分B为靠近P的三等分点或靠近Q的三等分点两种情况进行讨论，即可得到解答． 【详解】解：∵ ，A和B是三等分点， ∴ 每等分长度为. 如图，当B为靠近Q的三等分点时， ∴的长为 当B为靠近P的三等分点时， ； ∴的长为或. 故选：C． 2．线段，将其四等分，则每一份线段的长度为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的等分计算，解题关键是明确等分的概念． 将线段四等分，每一份的长度等于总长度除以4，即可求解． 【详解】解：∵ ，将其四等分， ∴ 每一份的长度为． 故答案为：6． 3．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型11.线段之间的数量关系 1．如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的数量关系，线段的和与差． 由线段的和与差，结合已知即可得与的关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 2．如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算． 首先根据已知的比例关系求出的长度，再根据线段中点的性质得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴. 故答案为：． 3．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 题型12.与线段有关的动点问题 1．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 2．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 3．如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 题型13.两点之间线段最短 1．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 2．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】 两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． 3．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？如图，直线的两侧分别有A，B两点，请你在直线上确定一个点C，使最短（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点C即为所求： 【分析】两点之间线段最短． 【详解】略 题型14.两点间的距离 1．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 2．如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 3．如图，线段，点C是线段上一点，，点D是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点E为直线上一点，且，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，则，，，根据题意解答即可； （2）根据题意，得，当点E在点A的左侧时，；当点E在点A的右侧时，；解答即可． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是线段的中点． ∴， ∵， 设，则，，， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：根据题意，得， 当点E在点A的左侧时，； 当点E在点A的右侧时，； 故答案为：或． 题型15.最短路径问题 1．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 【答案】见解析 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求．本题考查轴对称最短问题，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，小明的位置用点B表示用，点即为所求作的位置． 2．作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 【答案】(1)如图，线段即为所求： (2)如图，射线即为所求： (3)如图，点即为所求： ． 【分析】本题考查了射线、线段的定义，两点之间线段最短等知识，熟悉相关知识是解答本题的关键． （1）连接点，，即可； （2）根据射线的定义，作图即可； （3）连接交直线于点，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)图见详解，两点之间线段最短 (2)图见详解 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． （2）解：如图，即为所求最短路线． 或 或 或 题型16.作线段(尺规作图) 1．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 2．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系及已知比例求出和的长，再根据作图痕迹得出，，最后利用线段的和差关系计算的长 ． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴． 3．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 【答案】(1) ；2；； (2)；6 【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差关系补充即可； （2）在点左侧作，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在点左侧作，则， ∴点即为所求， ，点为线段的中点， ， ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 2．下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：、∵直线两端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画直线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵射线一端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画射线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵线段有固定端点，可延长， ∴延长线段到点是正确的作图叙述，符合题意； 、∵，，三点不一定在同一条直线上，只有三点共线时才能画出一条直线， ∴过，，三点画一条直线的表述错误，不符合题意． 3．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据题意可知当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报，要使发出警报的位置最多，那么这两个点的中点位置要最多，即任意两个点的连线的中点不重合，则构成线段的条数即为发出警报的位置的最多数量． 【详解】解：∵当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候， ∴当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报， ∵要使发出警报的位置最多， ∴、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点互不重合， ∵、、、、、六个点可组成线段，，，，共15条线段， ∴直线上会发出警报的位置最多有15处． 4．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 5．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段长短比较的叠合法，通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：通过观察猜测线段比线段短，观察可能不准确， 故A选项不符合题意； ∵用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，且， ∴， 故B选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 ∴， 故D选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上， ∴ 点B位于点C和点D之间， ∴， 即线段比线段短， 故C选项符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．直线的性质：两点确定_______条直线．线段的性质：两点之间，线段________．距离：连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离．中点：把一条线段分成两条________的线段的点，叫做这条线段的中点． 【答案】 一 最短 长度 相等 【分析】本题考查直线、线段、两点间距离、线段中点的基本概念，只需依据课本定义完成填空即可． 【详解】解：根据初中几何基本定义可知，直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间，线段最短；距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离；中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点． 7．数轴上表示小于等于的部分可以看作是______，数轴上表示大于等于且小于等于3的部分可以看作是______．（填“直线”、“线段”或“射线”） 【答案】 射线 线段 【分析】本题主要考查了射线和线段．根据射线和线段的定义解答即可． 【详解】解：数轴上表示小于等于的部分可以看作是以为端点的射线； 数轴上表示大于等于且小于等于3的部分可以看作是端点为和3的线段． 故答案为：射线；线段 8．同一平面内的五条直线，任意两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则的值为________． 【答案】11 【分析】根据题意，当平面内的五条直线交于同一点时，可得的值，当任意两条直线的交点不重合时，由公式求出的值，再求出的值． 【详解】解：根据题意，当平面内的五条直线交于同一点时，交点数目最少，即， 当任意两条直线的交点不重合时，交点数目最多，即， 则． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了同一平面内的直线的相交情况与交点个数的规律，解决问题的关键是熟练掌握直线相交交点最多和最少的规律． 9．如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算，关键是明确各点的位置关系，将未知线段用含长度的代数式表示，再根据已知线段长度建立方程求解． 【详解】解：如图， 设的长为． ，， ，． ． ， ，解得． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)如图所示，直线，射线即为所求； (2)如图所示，线段，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作射线，在射线上截取，，则，作射线，在射线上截取，即可； （2）由作图得，由中点和三等分点得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ，， ， ， ， D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点， ， ， ， ． 13．如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． （1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）①根据线段的和差关系即可得到结论；②根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； （3）根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； 【详解】（1）解：图中有，，，，，， 共有条线段； （2）解：①根据图可得：，， ， ， ② M是AB的中点，N是CD的中点， ，， ， （3）解：，， 是的中点，是的中点 14．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3) 解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）略 15．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $