精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 盐田高级中学高二数学试题卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 已知直线，则，即，. 2. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 平行于同一个平面的两条直线互相平行 D. 平行于同一条直线的两个平面互相平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】解：对于A：垂直于同一个平面的两个平面可能相交、可能平行，故A不正确； 对于B：由线面垂直的性质定理可得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； 对于C：平行于同一个平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故C不正确； 对于D：平行于同一条直线的两个平面互相平行，也可能相交，故D不正确； 故选：B. 3. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若，共线，，A错误； 选项B，若，垂直，则，B正确； 选项C，若，共线，，C错误； 选项D，若，共线，，D错误. 4. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率. 【详解】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 5. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】D 【解析】 【详解】对于：，所以，所以向量与向量的夹角为，故错误； 对于：，，所以，故错误； 对于：向量在向量上的投影向量为，故错误； 对于：，所以，所以向量与向量共面，故正确. 6. 若直线与之间的距离为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线与之间的距离为， 所以，得的值为或 7. 已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则下列选项正确的是（    ） A. 双曲线虚轴长为 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离是 C. 双曲线上的点到焦点的最小距离是 D. 双曲线的渐近线斜率为 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线虚轴长为，故A错误； 从而双曲线的渐近线方程为，故D错误； 双曲线的焦点到渐近线的距离是，故B错误； 双曲线上的点到焦点的最小距离是，故C正确. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 二、多选题 9. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图中四条直线的上升、下降方向及陡缓程度判断各斜率的正负与大小，再结合倾斜角的定义比较各倾斜角。 【详解】因为，所以，则由图可得，． 10. 已知，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点的坐标写出相应的向量坐标，求出直线的单位方向向量和平面的法向量，逐个选项代入相应的公式计算可得结论. 【详解】对于A，由，，且不存在实数，使， 所以与不共线，故A错误； 对于B，由空间的距离公式，可得，故B正确； 对于C，取向量，，可得，， 所以点到直线的距离为，故C错误； 对于D，由向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 所以点到平面的距离为，故D正确． 11. 已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（ ） A. 的最大值是6 B. 面积的最大值为 C. D. 的最大值是-5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线点斜式的概念，求出直线经过的定点，然后根据直线与圆的位置关系，判断弦长最大时的情况，判断选项A的正误；根据三角形面积公式，和圆的弦长公式，利用弦心距表示出三角形面积，判断弦心距的范围，进而求出三角形面积的范围，判断选项B的正误；根据向量加法和向量数量积的运算律，以及勾股定理，对进行化简变形，进而判断选项C的正误；根据向量数量积的定义，以及余弦定理，利用弦心距的范围，求出的范围，进而求出的范围，判断选项D的正误. 【详解】由题意得，即定点， 弦的最大值是直线经过圆心时的直径长，即的最大值是6，所以A正确； 设圆心到直线的距离为，可知，所以， 可知圆半径，所以， 则， 由，得，所以的最大值为，所以B错误； 作的中点，可得， 所以 ，所以C正确； 可知， 当经过原点时，，此时，即， 当不过原点时，由，取得最小值，即，得， 可知， 所以，所以， 综上可得，所以D正确； 三、填空题 12. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用、、表示为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得，两式相减可得，根据中点坐标公式，求出，，代入上式即可得到直线斜率. 【详解】设，，因为两点在曲线上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为． 14. 已知圆，点，若圆上的任意点，都满足为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】当时，，此时点在以为直径的圆上， 因为为钝角，所以点P在圆内部. 要使圆上任意点满足条件， 需圆整体在圆内部： 即，即，又，所以的取值范围是. 四、解答题 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，． （1）求在中边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，进而根据直线的斜截式方程即可求解． （2）分截距不为和截距为两种情况讨论，结合直线的截距式方程和斜截式方程即可求解． 【小问1详解】 由，， 则边所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在的直线过， 所以边上的高所在直线的方程为． 【小问2详解】 当截距不为时，设其截距式方程为，代入，得，此时其方程为； 当截距为时，直线过原点，设其方程为，代入，得，此时其方程为． 综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为，或． 16. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的一般方程； （2）若直线经过点且被圆截得的弦长为，则求直线的一般方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设圆心到直线的距离为，利用圆的弦长公式，求得，分直线斜率存在和不存在，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设圆的一般方程为，其中， 因为圆经过，，三点， 代入方程得，即， 解得，所以圆的一般方程为. 【小问2详解】 解：由（1）圆，可化为， 所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由圆截直线的弦长为，可得， 又因为直线过点， 当直线斜率不存在，即，圆心到的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，可得直线的方程为， 即，可得，解得， 此时直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 17. 如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且平面平面，，为的中点， ，设． （1）证明：； （2）当时，求三棱锥的体积； （3）若二面角的大小为，求的值． 【答案】（1）由，且为中点，所以， 又平面平面，平面平面，且平面ABD， 所以平面， 又面BCD，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质得到平面，进而根据线线垂直的判定即可证明； （2）先根据三角形的性质求出，再根据线面垂直的判定证明平面ABD，进而根据即可求解； （3）先作，且，作于，连，作于，再确定是二面角的平面角，从而根据三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是边长为的等边三角形，且为中点， 则，且，， 结合（1）有平面，又平面，所以， 又平面ABD，且，所以平面ABD， 当时，即，又，即是的中点， 所以， 所以． 【小问3详解】 作，且，作于，连，作于， 结合（1）有平面，又平面， 所以，，所以，， 又，所以平面， 又平面，则， 又，且，平面，所以平面， 又平面，即， 所以为二面角的平面角， 又二面角的大小为，即， 结合（2）有是的中点，且， 则是的中点，即的四等分点且靠近端点处， 则，， 所以在中，， 又，则，解得． 18. 已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. （1）求双曲线的离心率； （2）若直线与双曲线交于两点（在左支上，在右支上），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，以为直径的圆过原点，求双曲线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两条渐近线的斜率之积，求出，进而根据，求出； （2）直曲联立，根据，利用韦达定理求解即可； （3）利用韦达定理，借助，列方程求解即可. 【小问1详解】 双曲线，渐近线斜率之积， 故，，故离心率； 【小问2详解】 直线与交于、两点，在左支、在右支，即， 联立，得， 即，需两根异号：， 因分子恒负，故，所以 【小问3详解】 当时，方程化为， 则， 以为直径的圆过原点， 又， 故， 即，得，，， 故双曲线的方程为. 19. 若椭圆：的长轴长为，短轴长为，为椭圆的左焦点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程； （3）若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴长和短轴长，直接求解椭圆方程即可； （2）由（1）可得，设的方程为，，，联立方程，结合韦达定理，利用弦长公式表示出弦长，即可求出的值，得到直线方程； （3）分类讨论，当的斜率存在且不为时，由（2）可得，：，利用几何法表示出，进而表示出四边形面积，进而得到范围，当的斜率为时，以及当的斜率不存在时，可以直接求出四边形面积，得到最终结果. 【小问1详解】 由已知可得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的方程得，， 设的方程为，，， 联立得， 故， 则 ， 又，解得或，所以方程为或. 【小问3详解】 当的斜率存在且不为时，由（2）知， 过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为， 所以， 故四边形面积：， 因为，所以， 则，得， 所以. 当的斜率为时，， 则，. 当的斜率不存在时，， 则，， 故四边形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 盐田高级中学高二数学试题卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 平行于同一个平面的两条直线互相平行 D. 平行于同一条直线的两个平面互相平行 3. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 6. 若直线与之间的距离为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则下列选项正确的是（    ） A. 双曲线虚轴长为 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离是 C. 双曲线上的点到焦点的最小距离是 D. 双曲线的渐近线斜率为 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（ ） A. 的最大值是6 B. 面积的最大值为 C. D. 的最大值是-5 三、填空题 12. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用、、表示为___________. 13. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为_______ 14. 已知圆，点，若圆上的任意点，都满足为钝角，则的取值范围为_____________. 四、解答题 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，． （1）求在中边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 16. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的一般方程； （2）若直线经过点且被圆截得的弦长为，则求直线的一般方程． 17. 如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且平面平面，，为的中点， ，设． （1）证明：； （2）当时，求三棱锥的体积； （3）若二面角的大小为，求的值． 18. 已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. （1）求双曲线的离心率； （2）若直线与双曲线交于两点（在左支上，在右支上），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，以为直径的圆过原点，求双曲线的方程. 19. 若椭圆：的长轴长为，短轴长为，为椭圆的左焦点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程； （3）若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $