精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2026-2027学年第一学期高二年级第一次质量检测数学试卷

惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高二年级 第一次质量检测数学试卷 一、单项选择题（8小题，每题5分，合计40分） 1. 在正方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 夹在两条平行线：与：之间的圆的最大面积为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（3小题，每题6分，合计18分） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 11. 如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 三、填空题（3小题，每题5分，合计15分） 12. 设空间向量，，若，则＝______． 13. 过点的直线与圆相切，该切线方程是______________ 14. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 四、解答题（5小题，合计77分） 15. （1）圆心C在x轴上，且圆经过点，，求该圆的方程； （2）三角形ABC的三个顶点，，，求该三角形外接圆的方程． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求与平面的夹角的正弦值 （2）求点到平面的距离 17. 如图，在平行六面体中，，，， （1）求线段的长； （2）求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，，，． （1）证明：； （2）若点F在棱CD上，二面角的正切值为，求线段CF的长度． 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． （3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高二年级 第一次质量检测数学试卷 一、单项选择题（8小题，每题5分，合计40分） 1. 在正方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则先化简括号内的向量，再结合正方体中向量相等的关系，完成向量加法运算即可得出答案. 【详解】 在正方体中，， ， 所以. 2. 夹在两条平行线：与：之间的圆的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当两条平行线间的圆与两直线都相切时，圆的直径就等于两条平行线之间的距离，此时圆的面积最大．因此可用两平行线间的距离公式：，求出与的距离，从而得到它们之间圆的最大面积． 【详解】由题意，得：与：之间距离为： 当两条平行线间的圆与两直线都相切时，圆面积最大 圆的最大直径为最大半径 可得最大圆的面积为， 故选：B． 3. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】对整理得，因此圆的圆心为，半径； 由得圆心，半径； 由两点间距离公式得， 又，即，故两圆内切； 根据两圆位置关系对应的公切线条数规则，内切的两圆公切线条数为1. 4. 已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】使用点到直线的距离公式求出到的距离，表示出到的距离，列出等式，即可解得结果. 【详解】点到直线的距离为. 点到直线的距离为. 由，即. 解得或. 5. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径之间的关系，以及点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径，弦长， 所以到直线的距离， 即，解得． 故选：D． 6. 已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 7. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 8. 已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形分析四边形面积的表达式，找出面积最小时图形满足的几何条件，再求出此时四边形面积即可. 【详解】如图所示， 由， 得圆C的圆心，半径. 因为， 所以四边形PACB的面积. 所以当最小时，S也最小，此时，. 则PC斜率为1，故PC的方程为，即. 联立，解得，， 即. 由于过圆外一点作圆的两条切线， 切点弦方程为， 所以直线AB的方程为， 化简得. 故答案选：A. 二、多项选择题（3小题，每题6分，合计18分） 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D. 【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，当时，显然不符合题意， 当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有， 所以，解得或； 当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误； 对于C，若，当时，显然不符合题意； 当时可得，解得，即C正确； 对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误； 故选：AC 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D即可. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由题意得，可得方向上的单位向量为，故B错误； 对于C，由题意得，由于共面且不共线， 且，所以不是平面的一个法向量，故C错误； 对于选项D，由题意得，， 可得在上的投影向量的模为,故D正确. 11. 如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】立体几何动点问题，以A为原点，建立空间直角坐标系，将动点的坐标参数化，利用空间向量垂直条件判断选项A，利用空间向量异面直线夹角公式判断选项B，利用夹角正弦计算三角形面积结合点到面的距离公式计算高，进而得到三棱锥体积表达式判断选项C，利用空间向量线面夹角公式，构造函数结合函数单调性判断选项D. 【详解】 由题意得，以为原点，，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ， 又，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，）， ， 对于A，，要使， ，解得， 又，故存在点，使得，A正确； 对于B，， 异面直线与所成的角余弦值为： ， 若夹角为，则余弦值为，即，解得，无解， 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误； 对于C，，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 点到平面的距离， ， ，， ， ， 又，当时，体积取得最大值，最大值为，C正确； 对于D，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 设线面夹角为，， ， 令，， 抛物线开口向上，对称轴为，对称轴在区间右侧，在上单调递减， 随着增大，即点自向处运动，减小，增大， 又，随着增大，增大，即直线与平面所成角逐渐增大，D正确. 三、填空题（3小题，每题5分，合计15分） 12. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 13. 过点的直线与圆相切，该切线方程是______________ 【答案】 【解析】 【详解】将代入圆的方程，左边为，等于右边，故点在圆上，为切点； 该圆的圆心为，直线的斜率：， 根据圆的切线性质，切线与过切点的半径垂直，因此切线的斜率满足，解得； 已知切线过点，由点斜式得切线方程为，整理为一般式得. 14. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 四、解答题（5小题，合计77分） 15. （1）圆心C在x轴上，且圆经过点，，求该圆的方程； （2）三角形ABC的三个顶点，，，求该三角形外接圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）由题意得圆心在轴上，设圆心为，半径为， 可得圆的标准方程为， 将，代入得， 解得，代入得，所求圆的方程为. （2）设三角形外接圆的一般方程为， 将代入，可得，将代入，得，解得， 将代入得，解得， 所求外接圆方程为，即. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求与平面的夹角的正弦值 （2）求点到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （2）根据（1）中的坐标系和法向量并结合点到平面的距离公式即可得到答案． 【小问1详解】 以A为坐标原点，、所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，， ∴，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取得， 则， 则与面的夹角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，， ∴点到平面的距离为． 17. 如图，在平行六面体中，，，， （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底法得，再结合数量积的运算律展开计算即可； （2）首先根据向量数量积运算律求出，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 记，由题，夹角都为， 则， ， ， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 ， 则， ， 则， 则， 则. 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，，，． （1）证明：； （2）若点F在棱CD上，二面角的正切值为，求线段CF的长度． 【答案】（1）是边长为2的等边三角形，E为BD的中点， ， 在中，， ， 在中，, 由余弦定理有，， ， ， ，面BCD，面BCD， 面BCD， 面BCD， . （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质结合余弦定理、勾股定理证明线线垂直； （2）以E为原点，EC，ED，EA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，将点F坐标参数化，利用平面法向量得到二面角的平面角余弦值，结合正切值求出参数，进而得到线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ，故， 以E为原点，EC，ED，EA为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设，， 平面DAB的一个法向量为， 设平面ABF的一个法向量为， ，令，解得，故， 设二面角的平面角为，，为锐角， ， ， 解得，满足， ，即. 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． （3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）和 （3），定值为 【解析】 【分析】（1）通过点点间的距离关系列出方程式，最后化简得出的轨迹方程. （2）通过对称关系求得点轨迹方程，并利用距离公式求解出切线方程. （3）联立方程组，通过韦达定理得出坐标关系式后，代入向量数量积并利用定值的性质求解. 【小问1详解】 设点，由题意得，，， 解得，即. 【小问2详解】 设点，因为与关于点对称，所以满足，可知， 代入可得，即. 设切线方程为，即， 通过距离公式可知，解得，即和两条直线. 【小问3详解】 设直线，，，联立得， 由韦达定理可知，，，. ，， ，要使其为定值，即满足，解得，定值为，坐标为. 若斜率不存在，即直线，解得交点为，，，， 所以，与斜率存在时一致. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $