精品解析：吉林吉林市蛟河市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期学校阶段教学质量调研 九年级数学 数学共6页，包括3道大题，共22道小题．作答时间为120分钟．结束后，将题卡交回． 注意事项： 1．作答前，请务必将学校、班级、姓名、座位号填写在题卡左侧装订线内指定位置． 2．作答时，请务必按照要求在题卡上指定区域内书写，在草稿纸、试卷上作答无效． 一、单项选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 7. 将关于x的一元二次方程化为一般形式为__________． 8. 如图是抛物线图象的一部分，请根据图象写出，当______时， ． 9. 若关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则的值为________． 10. 已知函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则__________． 11. 已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点C，的顶点为点B，则由这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为________． 三、解答题 12. 解方程． 13. 已知抛物线． （1）求这条抛物线顶点的坐标及对称轴； （2）当时，直接写出的取值范围______． 14. 如图，某小区有一块长为米、宽为米的矩形空地，计划在其中修建两条宽度相同的小路(一条水平、一条竖直，均为矩形)，其余部分种植草坪．若草坪的总面积为平方米，求小路的宽度． 15. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标6，点B的坐标为(-3，-2)． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）结合图像直接写出时的取值范围． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 17. 某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，日销售量就增加2件（售价不低于进价）．当降价多少元时，该服装店的销售利润最大． 18. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数()的图象交于点)，矩形的顶点)在第一象限，且在反比例函数图象上． （1）分别求出的值； （2）直接写出点的坐标． 19. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 20. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 21. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． （1）设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． （2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． （3）在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期学校阶段教学质量调研 九年级数学 数学共6页，包括3道大题，共22道小题．作答时间为120分钟．结束后，将题卡交回． 注意事项： 1．作答前，请务必将学校、班级、姓名、座位号填写在题卡左侧装订线内指定位置． 2．作答时，请务必按照要求在题卡上指定区域内书写，在草稿纸、试卷上作答无效． 一、单项选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：A、，当时，原方程变为不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，整理得，即，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，严格按照定义筛选是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 根据二次函数顶点式为，解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， 故选：A． 3. 平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过验证各点横纵坐标之积是否为，即可判断点是否在双曲线上． 【详解】解：由可得． A．，该点不在双曲线上． B．，该点在双曲线上． C．，该点不在双曲线上． D．，该点不在双曲线上． 4. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和判别式非负两个条件，联立求解的取值范围. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有实数根， ∴， ∴解得. 综上，的取值范围是且. 5. 若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像得到即可得到答案． 【详解】解：双曲线经过第二、四象限， ， ， 故选A． 6. 如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的图象与轴有两个交点即可判断①正确；由二次函数的图象的对称轴为直线即可判断②正确；由二次函数图象可得，当时，，从而可得③错误；由二次函数图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由二次函数图象可得，当时，，故③错误； 由二次函数图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个． 二、填空题 7. 将关于x的一元二次方程化为一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】展开方程左侧的乘积项，将所有项移至等号左侧，整理为一元二次方程的一般形式即可. 【详解】解：展开方程左边的式子，得， 将等号右侧的常数项移到左侧，整理得. 8. 如图是抛物线图象的一部分，请根据图象写出，当______时， ． 【答案】 【解析】 【分析】先求解抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点坐标，结合图象理解当，则抛物线的图象在轴的上方，从而可得答案. 【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为： 抛物线与轴的一个交点为 则由 而 所以抛物线与轴的一个交点为 当，则抛物线的图象在轴的上方， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用抛物线的图象解一元二次不等式，熟练的运用图象法解一元二次不等式是解本题的关键. 9. 若关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入给定等式求解，再通过判别式验证解的合理性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个根，， ∴根据根与系数的关系，可得，， ∵， ∴对等式变形得， 将，代入上式，得， 化简得， 解得， ∵一元二次方程有两个实数根，需满足判别式， ∴将代入判别式，得，符合方程有两个实数根的条件. ∴的值为． 10. 已知函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于，再结合图象所在的象限确定的符号.  【详解】解：设点的坐标为 ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∵函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴. 11. 已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点C，的顶点为点B，则由这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】求出抛物线与坐标轴交点、、的坐标，根据平移性质利用割补法将阴影部分面积转化为三角形的面积进行计算． 【详解】解：令，得， 则，故． 令，得， 解得， 则，， 故． 抛物线的顶点为，抛物线的顶点为 抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， 抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的． 根据平移的性质和图形的对称性，利用割补法可知： 阴影部分的面积． 三、解答题 12. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得． 13. 已知抛物线． （1）求这条抛物线顶点的坐标及对称轴； （2）当时，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 的最大值为， 时，对称轴为直线， 函数单调递增，函数单调递减， 当时， 当时，取得最大值 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 14. 如图，某小区有一块长为米、宽为米的矩形空地，计划在其中修建两条宽度相同的小路(一条水平、一条竖直，均为矩形)，其余部分种植草坪．若草坪的总面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】米 【解析】 【分析】设小路的宽为米，把两条小路覆盖的面积按矩形面积公式表示出来(两条小路的交叉部分是边长为米的正方形)，再由草坪的面积列出一元二次方程，用因式分解法求解，最后按小路的宽小于空地的宽舍去不合题意的根． 【详解】解：设小路的宽为米． ∵水平小路是长为米、宽为米的矩形，竖直小路是长为米、宽为米的矩形，两条小路的交叉部分是边长为米的正方形， ∴两条小路覆盖的总面积为平方米． ∴草坪的总面积为，即平方米． 由题意得， ∴， ∴， ∴，． ∵小路的宽必须小于空地的宽米， ∴不符合题意，舍去． ∴，即小路的宽度为米． 15. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标6，点B的坐标为(-3，-2)． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）结合图像直接写出时的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标求出，得出双曲线的解析式为．求出A的坐标为(1，6)，由点A和B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为； （2）根据求时的取值范围，即求的图像在的图像下方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 ∵点B(-3，-2)在双曲线上， ， 双曲线的解析式为． 把代入得：， 点的坐标为(1，6)． 直线经过A、B两点， ，解得， 直线的解析式为直线； 【小问2详解】 ∵求时的取值范围，即求的图像在的图像下方时的的取值范围， 由图像可知，当或时，的图像在的图像下方， ∴当时的取值范围是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式．熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 17. 某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，日销售量就增加2件（售价不低于进价）．当降价多少元时，该服装店的销售利润最大． 【答案】 当降价15元时，该服装店的销售利润最大. 【解析】 【分析】设降价金额为自变量，总利润为因变量，根据总利润单件利润销售量列函数关系式，结合自变量取值范围，用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设每件衬衫降价元，每天的销售利润为元， ∵售价不低于进价，故， 解得， 又∵， ∴； 单件利润为元，日销售量为件， ∴，  整理得， 配方得，  ，  当时，取得最大值，且满足； 答：当降价15元时，该服装店的销售利润最大． 18. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数()的图象交于点)，矩形的顶点)在第一象限，且在反比例函数图象上． （1）分别求出的值； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入直线的解析式求出，再由求出，最后把代入反比例函数的解析式求； （2）先由直线与两条坐标轴的交点求出、的坐标，再利用矩形的对角线互相平分，由的中点反求点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在第一象限，且在的图象上， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴令，得；令，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴对角线与互相平分． 如图，连，设的中点为，则也是的中点． ∵， ∴点的坐标为． ∵是的中点，，设， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 19. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 【答案】（1）；0； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当即时，则当时，，即可求解；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解∶由表格数据知，顶点坐标为∶， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 故答案为∶ ，0； 【小问2详解】 解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 【小问3详解】 解∶抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，同理可得∶ ； 当时，， 当即时， 则当时，， 解得∶ (舍去)； 当时， 同理可得∶ 解得∶ (舍去)； 当时， 当即， 则． 解得∶； 当时， 同理可得∶ (不合题意的值已舎去)， 综上，或． 故答案为∶或． 20. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 21. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】（1）；； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． （1）设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． （2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． （3）在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】（1）9； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $