精品解析：吉林省吉林市蛟河市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题． 试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面是国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选：C． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况；通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程化为标准形式：， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 4. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将畚箕绕点顺时针旋转后平放在地面，则箕面绕点旋转的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 则，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：C． 5. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 6. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”这一条件，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”得： ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点，平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，据此即可求解﹒ 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则a的值为﹒ 故答案为： 8. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得， 故答案为：． 9. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 11. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 13. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，使点落在边上，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，由旋转的性质，可得，，，得到，求出． 【详解】解： ， 由旋转的性质，可得 ，， ， ． 14. 如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】略． 15. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当，时，试判断的形状 【答案】（1） 证明：∵绕点按顺时针方向旋转得到 ∴， ， ， ∴是等边三角形； （2）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质； （1）利用有一个角为的等腰三角形为等边三角形即可得证； （2）三角形为等腰直角三角形，理由为：由旋转得到两三角形全等，进而求出，再由三角形为等边三角形，进而确定出为直角，即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形 ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形． 16. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 解得． 17. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为米 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． 【小问1详解】 解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 18. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】 （1）如图所示， △DCE为所求作； （2）如图所示， △ACD为所求作； （3）如图所示 △ECD为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可. （2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边. （3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义． 19. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 20. 如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）关于的函数表达式为； （2） 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）或． 【解析】 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【小问1详解】 解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 21. 阅读理解 回顾初中阶段各类方程的解法可以知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解．类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，；∵且，∴，不是原方程的解，原方程的解为． 【问题】（1）方程的解是______； （2）方程的解是______； 【拓展】请你利用转化思想解二元二次方程组：； 【应用】如图，矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，再沿草坪边沿，走到点处，把拉直并在点处固定，然后沿草坪边，走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处；求的长．     【答案】【问题】（1），，；（2）；【拓展】或；【应用】的长为． 【解析】 【分析】本题考查用转化的思想解方程，解题的关键是解无理方程时注意验根． （1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； [拓展]根据代入法得出，进而解一元二次方程，求得的值，进而求得的值，即可求解； [应用]（3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】（1）解：， ， ， 解得，，， 故答案为：，，． （2）解：， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 当时，，符合要求； 当时，，不合题意，舍去； 综上可知，的解为； [拓展]（3） 由②得③， 把③代入①得， 整理得：， 解得：，， 把：，分别代入方程②得，， ， ∴原方程组的解为或 [应用]（4）因为四边形是矩形 所以， 设，则 因为 ， ∴ ∴ 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 解得. 经检验，是方程的解 答：的长为 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）. （3）m=2 （4）或 【解析】 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式；根据所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（1）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过A，C两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 令， 可得， 解，， ∵点B在点A右侧， ∴点B坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴，， ∵P在线段上运动， ∴点M在点N上方， ； 【小问3详解】 解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时， 则有， ∴M点纵坐标为3， ∴， 解得或， 当时， 则M，N重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程， 即， 此时． ∴方程无解， 解方程， 即， ∴， ∴， 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数和一次函数的图像和性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题． 试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面是国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将畚箕绕点顺时针旋转后平放在地面，则箕面绕点旋转的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则a的值为___________． 8. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是______． 9. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为__________． 10. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 11. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 解方程：． 13. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，使点落在边上，连接，求的度数． 14. 如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 15. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当，时，试判断的形状 16. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 17. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 18. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 19. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 20. 如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 21. 阅读理解 回顾初中阶段各类方程的解法可以知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解．类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，；∵且，∴，不是原方程的解，原方程的解为． 【问题】（1）方程的解是______； （2）方程的解是______； 【拓展】请你利用转化思想解二元二次方程组：； 【应用】如图，矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，再沿草坪边沿，走到点处，把拉直并在点处固定，然后沿草坪边，走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处；求的长．     22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $