微专题直线与圆锥曲线的位置关系导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：直线与圆锥曲线的位置关系 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题把「直线与圆锥曲线相交」这件事拆成一套固定动作。教材在椭圆、双曲线、抛物线的几何性质之后各有一节「直线与圆锥曲线的位置关系」，三处讲法相同，都是联立消元后看判别式；差别只在二次项系数可能为零。这一节把三种曲线放在同一套流程里，目的是让「先看系数、再算判别式、最后用韦达」成为固定顺序，而不是每换一种曲线就重新摸索一遍。 考查形式：位置关系是解析几何大题的入口。选填里常考两件小事：给一条含参直线判断交点个数，或反过来由交点个数求参数范围，4–5 分；大题第一问几乎固定是「联立 + 韦达」，第二问才是弦长、中点、面积或定点定值。另有几处易漏的分支：二次项系数为零时方程退化、双曲线与渐近线平行时只有一个公共点、抛物线里平行于对称轴的直线也只有一个公共点。这些都不在判别式的覆盖范围内，须单列。 第二部分　记·模型与结论 一、设线先定「斜率是否存在」 过定点的直线有两种设法的取舍，全看定点在 轴上还是 轴上。定点在 轴上，设 ，此时竖直的那条直线被排除在外，须另补一句「当直线斜率不存在时」；定点在 轴上，设 ，竖直的直线 正好被 包含，不必另议。 还有一条经验：把要算的量写成关于 的式子更省事时，就用 。抛物线的弦长、焦点弦的倒数和都属于这一类，因为抛物线方程里 是二次的，消 只做一次代入，不必配方。 设 之后，凡是让二次项系数为零的那个 ，都要在最后单独检验。椭圆没有这种 ，因为 恒正；抛物线只在 时出现，双曲线在 时出现——这两个值恰好是「与对称轴平行」和「与渐近线平行」的代数影子。 二、联立之后先看二次项系数 把直线代进曲线，整理成 。第一步不是算 ，而是看 是不是零。 时方程是一次方程，只有一个解；这一步若跳过，后面算出的判别式毫无意义，答案会凭空多出两个分支。 三种曲线的 各有来历。椭圆 代入 得 ，恒正；抛物线 代入得 ， 时退化；双曲线 得 ， 时退化，而 正是两条渐近线的斜率。 所以「直线与双曲线只有一个公共点」有两类来源：一类是相切，即 而 ；另一类是 ，直线与渐近线平行，把它代入后只剩一个交点，且永远不可能是切点。前一类有 条，后一类也有 条，合起来最多 条——选择题里问「这样的直线有几条」，答案常常是 而不是 。 三、判别式：交点个数的判据 时， 交两点， 相切（一点）， 无公共点。三种曲线的差别只在 的形状：椭圆得 ，开口朝上；抛物线得 ，是一条直线；双曲线得 ，与椭圆的符号相反。 写成符号时要留意「除以正数不改变不等号」这一步。椭圆那边把 除以 之后仍为正数，不等号照抄；双曲线那边二次项系数可能为负，除完要翻号，这是本节最容易出错的一处代数操作。 还有一件容易漏的事：判别式只管「交点个数」，不管交点落在哪一支。双曲线的两支分开在两块区域里，同样是两点，可能同在一支，也可能一左一右。判定支别要看两根之积 的符号：乘积为正，两点同支；乘积为负，两点异支。下一型专门处理这件事。 四、韦达定理与弦长公式 两根之和与两根之积一旦写出，弦长就不必真的解方程。以 为主元时，、，于是 。这个「 开方除以 」的形式比背 更省事，也避免符号错。 弦长再乘 。斜率不存在时改乘 （用 的设法），或者直接量纵坐标之差。系数取哪一个，取决于联立时消掉的是 还是 ——消 得 的二次方程，弦长乘 ；消 得 的二次方程，乘 。 验算的捷径是取一条好算的直线。例如 （水平弦）时弦长就是两交点横坐标之差，可以即时核对；再如过焦点的弦，可以用通径或焦点弦公式对一对。两条路给出的数不同，问题一般出在 除以 那一步漏了系数。 五、中点与面积：两个「一半」的分工 中点坐标是两根之和的一半：，再代回直线方程得 。若直线含参数 ，把 从中点坐标里消掉，就得到中点轨迹；消的时候参数的取值范围要一并搬到轨迹里，否则轨迹会多出两段。 面积走的是「弦长乘点线距再除以二」。以原点为顶点时，高就是原点到直线的距离 ；以第三个定点为顶点时，先把该点平移回原点再算，或者用分割法。面积的最值往往落在一个二次函数的顶点上，代回去时须检验参数是否仍在判别式允许的范围内。 这两个「一半」经常一起出现：先由韦达写中点，再由中点写中线长或高，最后合成面积。反过来给面积求参数时，方程通常是关于 的二次式，会得到正负各一的两组解，只报正值会漏掉一半。 第三部分　破·典型题型 题型一　先看二次项系数，再算判别式 【解题技巧】联立后不宜直接算判别式。先把方程整理成 ，确认 ；只有在此前提下， 的符号才对应交点个数。抛物线的 、双曲线的 ，各有一个使 归零的 ，须单独交代：此时直线与对称轴（或渐近线）平行，只有一个公共点，不属于相切。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 。讨论 的取值与 和 的公共点个数的关系。 【变式1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 。讨论 的取值与 和 的公共点个数的关系。 【变式1-2】（原创改编） 已知椭圆 ，若直线 与 相切，求 的值。 题型二　弦长公式：一步落到两根之差 【解题技巧】弦长不必解出两根。联立得 后，直接用 ，再乘 ；若设的是 ，则乘 。系数取错是此步的主要失分点：消 得 的方程，配 ；消 得 的方程，配 。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点，求 。 【变式2-1】（原创改编） 已知抛物线 与直线 交于 、 两点，求 。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线 与直线 交于 、 两点，求 ，并判断 、 落在同一支还是分居两支。 题型三　中点与参数范围：韦达定理的三个用法 【解题技巧】韦达定理在本型有三个用途：写中点坐标 ；消参得轨迹，参数的取值范围须一并搬到轨迹里；判支别，看两根之积的符号。答案中「、、两根之积符号」三条应同时满足，缺一条即多出解。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点（ 使 与 有两个公共点）。求线段 中点 的轨迹方程。 【变式3-1】（原创改编） 已知双曲线 ，直线 。若 与 有两个公共点，求 的取值范围。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 。若 与 有两个公共点，求 的取值范围。 题型四　面积：弦长乘点线距 【解题技巧】三角形面积 ， 为第三个顶点到弦所在直线的距离。以原点为顶点时 ，与弦长中的 恰好相消，余下一个关于 的二次式，配方即得最值。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值。 【变式4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。若 的面积为 ，求 的值。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 的直线 与 交于 、 两点。求 面积的最小值。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（单选）直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）对任意实数 ，直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．随 的取值变化 4．（单选）已知椭圆 ，点 在 内，则以 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．（填空）抛物线 与直线 交于 、 两点，则 ______。 6．（多选）已知椭圆 ，直线 。当 与 有两个公共点时，记其为 、， 为线段 的中点。下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与 有两个公共点 B．当 时， 与 相切 C．点 在直线 上 D．当 时， 与 有两个公共点 7．（解答）已知椭圆 与直线 。（1）若 与 有两个公共点，求 的取值范围；（2）若 ，求 的值。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）直线 与双曲线 恰有一个公共点，则满足条件的 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．（单选）直线 与抛物线 恰有一个公共点，则满足条件的 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 10．（多选）已知双曲线 与直线 。下列说法正确的是（　　） A．若 与 有两个公共点，则 且 B．当 时， 与 没有公共点 C．当 时， 与 没有公共点 D．若 与 的两个公共点分居两支，则 11．（填空）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为 ______。 12．（解答）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。（1）求 的取值范围；（2）求 面积的最大值，并指出此时 的值；（3）若原点 到直线 的距离为 ，求 的值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：直线与圆锥曲线的位置关系 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题把「直线与圆锥曲线相交」这件事拆成一套固定动作。教材在椭圆、双曲线、抛物线的几何性质之后各有一节「直线与圆锥曲线的位置关系」，三处讲法相同，都是联立消元后看判别式；差别只在二次项系数可能为零。这一节把三种曲线放在同一套流程里，目的是让「先看系数、再算判别式、最后用韦达」成为固定顺序，而不是每换一种曲线就重新摸索一遍。 考查形式：位置关系是解析几何大题的入口。选填里常考两件小事：给一条含参直线判断交点个数，或反过来由交点个数求参数范围，4–5 分；大题第一问几乎固定是「联立 + 韦达」，第二问才是弦长、中点、面积或定点定值。另有几处易漏的分支：二次项系数为零时方程退化、双曲线与渐近线平行时只有一个公共点、抛物线里平行于对称轴的直线也只有一个公共点。这些都不在判别式的覆盖范围内，须单列。 第二部分　记·模型与结论 一、设线先定「斜率是否存在」 过定点的直线有两种设法的取舍，全看定点在 轴上还是 轴上。定点在 轴上，设 ，此时竖直的那条直线被排除在外，须另补一句「当直线斜率不存在时」；定点在 轴上，设 ，竖直的直线 正好被 包含，不必另议。 还有一条经验：把要算的量写成关于 的式子更省事时，就用 。抛物线的弦长、焦点弦的倒数和都属于这一类，因为抛物线方程里 是二次的，消 只做一次代入，不必配方。 设 之后，凡是让二次项系数为零的那个 ，都要在最后单独检验。椭圆没有这种 ，因为 恒正；抛物线只在 时出现，双曲线在 时出现——这两个值恰好是「与对称轴平行」和「与渐近线平行」的代数影子。 二、联立之后先看二次项系数 把直线代进曲线，整理成 。第一步不是算 ，而是看 是不是零。 时方程是一次方程，只有一个解；这一步若跳过，后面算出的判别式毫无意义，答案会凭空多出两个分支。 三种曲线的 各有来历。椭圆 代入 得 ，恒正；抛物线 代入得 ， 时退化；双曲线 得 ， 时退化，而 正是两条渐近线的斜率。 所以「直线与双曲线只有一个公共点」有两类来源：一类是相切，即 而 ；另一类是 ，直线与渐近线平行，把它代入后只剩一个交点，且永远不可能是切点。前一类有 条，后一类也有 条，合起来最多 条——选择题里问「这样的直线有几条」，答案常常是 而不是 。 三、判别式：交点个数的判据 时， 交两点， 相切（一点）， 无公共点。三种曲线的差别只在 的形状：椭圆得 ，开口朝上；抛物线得 ，是一条直线；双曲线得 ，与椭圆的符号相反。 写成符号时要留意「除以正数不改变不等号」这一步。椭圆那边把 除以 之后仍为正数，不等号照抄；双曲线那边二次项系数可能为负，除完要翻号，这是本节最容易出错的一处代数操作。 还有一件容易漏的事：判别式只管「交点个数」，不管交点落在哪一支。双曲线的两支分开在两块区域里，同样是两点，可能同在一支，也可能一左一右。判定支别要看两根之积 的符号：乘积为正，两点同支；乘积为负，两点异支。下一型专门处理这件事。 四、韦达定理与弦长公式 两根之和与两根之积一旦写出，弦长就不必真的解方程。以 为主元时，、，于是 。这个「 开方除以 」的形式比背 更省事，也避免符号错。 弦长再乘 。斜率不存在时改乘 （用 的设法），或者直接量纵坐标之差。系数取哪一个，取决于联立时消掉的是 还是 ——消 得 的二次方程，弦长乘 ；消 得 的二次方程，乘 。 验算的捷径是取一条好算的直线。例如 （水平弦）时弦长就是两交点横坐标之差，可以即时核对；再如过焦点的弦，可以用通径或焦点弦公式对一对。两条路给出的数不同，问题一般出在 除以 那一步漏了系数。 五、中点与面积：两个「一半」的分工 中点坐标是两根之和的一半：，再代回直线方程得 。若直线含参数 ，把 从中点坐标里消掉，就得到中点轨迹；消的时候参数的取值范围要一并搬到轨迹里，否则轨迹会多出两段。 面积走的是「弦长乘点线距再除以二」。以原点为顶点时，高就是原点到直线的距离 ；以第三个定点为顶点时，先把该点平移回原点再算，或者用分割法。面积的最值往往落在一个二次函数的顶点上，代回去时须检验参数是否仍在判别式允许的范围内。 这两个「一半」经常一起出现：先由韦达写中点，再由中点写中线长或高，最后合成面积。反过来给面积求参数时，方程通常是关于 的二次式，会得到正负各一的两组解，只报正值会漏掉一半。 第三部分　破·典型题型 题型一　先看二次项系数，再算判别式 【解题技巧】联立后不宜直接算判别式。先把方程整理成 ，确认 ；只有在此前提下， 的符号才对应交点个数。抛物线的 、双曲线的 ，各有一个使 归零的 ，须单独交代：此时直线与对称轴（或渐近线）平行，只有一个公共点，不属于相切。 【教学提醒】板演时把「」和「」两栏分开写，各写一行结论，学生才不会把两类「一个公共点」混成一类。变式1-1 是抛物线， 那一支必须单独点出来；变式1-2 反过来由相切求参数，用来收束本节。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 。讨论 的取值与 和 的公共点个数的关系。 解析：把 代入 得 ，整理为 。二次项系数 ，可以直接看判别式。 。故 时 ，有两个公共点； 时 ，相切，只有一个公共点； 时 ，没有公共点。 几何上对一对： 时直线过中心，弦最长，两交点横坐标为 ，与 的判据一致； 时方程化为 ，切点为 ，代入椭圆得 成立，说明相切时判别式为零给的那个重根，既可以当横坐标用，也可以代回直线得纵坐标。 参考答案： 时有两个公共点； 时只有一个公共点（相切）； 时没有公共点。 【学情易错提醒】把 除以 之后忘记把常数项也除，是这一步最常见的错。稳妥做法是把 因式分解成 ，系数提出来再判符号。 【变式1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 。讨论 的取值与 和 的公共点个数的关系。 解析：先处理 ：此时 为 ，代入得 ，只有一个公共点。这条直线平行于 轴（抛物线的对称轴），与抛物线只有一个交点，但它不是切线，不能与相切混为一谈。 时联立得 ，。故 时有两个公共点， 时相切、一个公共点， 时没有公共点。 合并结论： 或 时一个公共点； 且 时两个； 时没有。检验 ： 与 联立得 ，即 ，确为切点 。 参考答案： 时只有一个公共点（ 平行于对称轴）； 时只有一个公共点（相切）； 且 时有两个； 时没有。 【学情易错提醒】漏掉 这一支，只报 ，是这一题的标准错法。判别式管不到二次项系数为零的情形，凡设 与抛物线联立，都要先问一句「 能为 吗」。 【变式1-2】（原创改编） 已知椭圆 ，若直线 与 相切，求 的值。 解析：代入得 ，整理为 。二次项系数 ，相切等价于 。 。令其为零得 ，故 。 回验 ：方程化为 ，即 ，切点横坐标 ，纵坐标 ，代入椭圆得 ，确实在曲线上。 参考答案：。 【学情易错提醒】算到 只写 ，是本节丢分最多的一处。判别式为零给的是 的值，开方要带 ；切点在第一象限还是第四象限，由 的符号决定。 题型二　弦长公式：一步落到两根之差 【解题技巧】弦长不必解出两根。联立得 后，直接用 ，再乘 ；若设的是 ，则乘 。系数取错是此步的主要失分点：消 得 的方程，配 ；消 得 的方程，配 。 【教学提醒】讲评时先让学生报「消掉的是哪一个字母」，再决定乘哪个根号，比背公式有效。变式2-2 的双曲线弦跨两支，讲完顺便把「两根异号」这个判据预埋下去，第三型要用。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点，求 。 解析：代入得 ，整理为 ，即 ，两根为 与 ，对应点 、。 用公式：，，故 ，弦长 。 两路对照：两点距离 ，一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】乘了 又乘一次 ，是本节常见的重复计数。 已经把「横坐标之差」换成了「斜边」。 【变式2-1】（原创改编） 已知抛物线 与直线 交于 、 两点，求 。 解析：代入得 ，整理为 。，两根之和 、之积 ，故 。 弦长 。 另取一条路核对：由 得 ，代入得 ，，而 ，与上面一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】抛物线代 之后忘记把 里的 也换成 ，会得到三次项。凡是「一次代二次」，代完立刻数一数最高次，阶数不对说明代错了对象。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线 与直线 交于 、 两点，求 ，并判断 、 落在同一支还是分居两支。 解析：代入得 ，去分母整理为 ，即 ，两根为 与 。 对应点 、。。 支别由两根之积判定：，两根异号，故两点分居左右两支。这也解释了为什么弦长能用足三步：直线斜率 小于渐近线斜率 ，落在「能穿过两支」的那一段里。 参考答案：；两点分居左、右两支（横坐标 与 异号）。 【学情易错提醒】只看 就断言「两点在同一支」，是双曲线题的典型误判。 只数交点个数，支别要看两根之积的符号，这一条下一型专门练。 题型三　中点与参数范围：韦达定理的三个用法 【解题技巧】韦达定理在本型有三个用途：写中点坐标 ；消参得轨迹，参数的取值范围须一并搬到轨迹里；判支别，看两根之积的符号。答案中「、、两根之积符号」三条应同时满足，缺一条即多出解。 【教学提醒】变式3-1 的关键是 必须剔除：那两个值让二次项系数归零，方程退化为一次方程，只有一个公共点。学生若漏掉，答案会写成开区间 ，讲评时把这两个值代进去看退化。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点（ 使 与 有两个公共点）。求线段 中点 的轨迹方程。 解析：代入得 ，两交点条件是 ，此时 。 在 上，。两式消 ：由 得 ，代入 得 。 参数范围随行： 等价于 。所以轨迹是直线 上的一整段（不含端点），不是整条直线。取 抽查： 为原点，在 上，且 ，符合。 参考答案：，其中 （即该直线上的一段，不含端点）。 【学情易错提醒】只写 而不写范围，是轨迹题的老问题。参数被限制在 ，映射到 上就成了线段；范围丢了，轨迹就多出两端。 【变式3-1】（原创改编） 已知双曲线 ，直线 。若 与 有两个公共点，求 的取值范围。 解析：代入得 ，整理为 。先看二次项系数： 时方程退化为一次方程，只有一个公共点，这两个值要剔除。 时看判别式：，故 。 合并： 且 。抽查 ：，代入得 ，，两点 ，一左一右，确实两个。抽查 ：方程化为 ，只有 一个解，与结论吻合。 参考答案： 且 。 【学情易错提醒】把 也算进范围，是双曲线位置关系题最常见的漏项。这两个值对应「直线与渐近线平行」，代入后是一次方程，交点只有一个。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 。若 与 有两个公共点，求 的取值范围。 解析：先看 ：，代入得 ，只有一个公共点，不合要求。 时联立得 ，。令 得 。 合并： 且 。抽查 ：，两个交点，符合；抽查 ：方程化为 ，即 ，相切，只有一个公共点，恰在边界上。 参考答案： 且 。 【学情易错提醒】把 一并写进范围，会把「 与对称轴平行」那种一个公共点的情形算成两个。抛物线题的 与双曲线题的 是同一类漏项。 题型四　面积：弦长乘点线距 【解题技巧】三角形面积 ， 为第三个顶点到弦所在直线的距离。以原点为顶点时 ，与弦长中的 恰好相消，余下一个关于 的二次式，配方即得最值。 【教学提醒】讲这一型先把 相消这一步写清楚，学生最容易被两个根号吓住。变式4-1 由面积反求参数，方程落到 上，两个正根对应四个 ，提醒写全。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值。 解析：由第一型，，。故 ，，其中 。 原点到 的距离 。相乘得 。 令 ，，开口朝下的二次式在 取最大，，故 ，此时 。 参考答案：最大值为 ，在 时取到。 【学情易错提醒】把 写成 而漏掉 ，会让最值放大 倍。直线 的系数模是 ，这一步不能省。 【变式4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。若 的面积为 ，求 的值。 解析：联立得 ，，同典例4-1 的算法得 （其中 ）。 令 ，得 。两边平方，记 ，得 ，即 ，故 或 。 两个根都须回到判别式的条件 上核对： 时 ，成立； 时 ，即 ，亦成立。故 或 ，共四个值。回验 ：，，，，符合。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】解到 或 之后只开一个平方根、只取正值，答案会少一半。 的每个正根都对应 两个 ，本题因此有四个解。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 的直线 与 交于 、 两点。求 面积的最小值。 解析：设 （这样也包含 轴的情形），代入得 ， 恒成立，故任意 都有两交点。 。以 为底，。 等号在 取到，此时 ，两点为 、，，高为 ，，与公式一致。 参考答案：最小值为 ，在 轴（）时取到。 【学情易错提醒】设 解本题会把竖直线漏掉，而那恰是最小值所在的位置。过 轴上的定点，设 更稳。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．无法确定 解析：代入得 ，整理为 ，，故有两个公共点。 两个交点横坐标为 与 ，都在椭圆范围内，与结论一致。 参考答案：C 2．（单选）直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，即 ，只有一个公共点 。 这不是相切： 平行于抛物线的对称轴，与抛物线只交于一点。判断「一个公共点」时，先看属不属于这一类，再看判别式。 参考答案：B 3．（单选）对任意实数 ，直线 与椭圆 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．随 的取值变化 解析：点 代入椭圆得 ，说明该点在椭圆内部；过椭圆内一点的直线必与椭圆交于两点。 代数核对：代入得 ，二次项系数恒正， 恒成立。 参考答案：C 4．（单选）已知椭圆 ，点 在 内，则以 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：设弦的两端为 、，两式相减得 ，即 。 代入 、，得 ，故 。 回验：取 与椭圆联立，得 ，两根为 与 ，中点为 ，符合。 参考答案：A 5．（填空）抛物线 与直线 交于 、 两点，则 ______。 解析：代入得 ，整理为 ，即 ，。 。 参考答案： 6．（多选）已知椭圆 ，直线 。当 与 有两个公共点时，记其为 、， 为线段 的中点。下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与 有两个公共点 B．当 时， 与 相切 C．点 在直线 上 D．当 时， 与 有两个公共点 解析：由 得 ，故 时两交点， 时相切，、 两项均正确。 ，，消 得 ， 项正确。 时 ，没有公共点， 项错误。 参考答案：ABC 7．（解答）已知椭圆 与直线 。（1）若 与 有两个公共点，求 的取值范围；（2）若 ，求 的值。 解析：（1）代入得 ，整理为 ，。令 得 。 （2），故 。令其等于 ，得 ，即 ，。 故 ，两个值都满足 。回验 ：方程化为 ，两根 与 ，对应点 、，距离 ，符合。 参考答案：（1）；（2）。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）直线 与双曲线 恰有一个公共点，则满足条件的 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：二次项系数为 ： 时方程退化为一次方程，只有一个公共点（此时 与渐近线平行）。 时整理得 ，，令其为零得 ，即相切。 两类合计四个值：、。 参考答案：D 9．（单选）直线 与抛物线 恰有一个公共点，则满足条件的 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析： 时 ，代入得 ，一个公共点（平行于对称轴）。 时 ，令其为零得 ，即相切。 两类合计两个值： 与 。 参考答案：C 10．（多选）已知双曲线 与直线 。下列说法正确的是（　　） A．若 与 有两个公共点，则 且 B．当 时， 与 没有公共点 C．当 时， 与 没有公共点 D．若 与 的两个公共点分居两支，则 解析：代入得 ，。 得 ，再加上退化值 ， 项正确。 时方程化为 ，得 ，对应点 在左支上，确有一个公共点， 项错误。 时 ，无公共点， 项正确。 两根之积为 ： 时为负、异支； 时为正、同支。故 项正确。 参考答案：ACD 11．（填空）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为 ______。 解析：联立得 ，，，。 ，故 。 令 ， 在 取最大，，故最大值为 。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。（1）求 的取值范围；（2）求 面积的最大值，并指出此时 的值；（3）若原点 到直线 的距离为 ，求 的值。 解析：（1）代入得 ，整理为 ，，故 。 （2），，，故 。令 ， 在 取最大，，故最大值 ，此时 （满足 ）。 （3），得 ，两者都满足 。 参考答案：（1）；（2）最大值为 ，此时 ；（3）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $