微专题圆锥曲线向量条件翻译与转化导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线向量条件翻译与转化 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题处理综合题的条件翻译。弦长与面积、定点、定值、存在性几类题，都是条件已经写成式子之后的做法；本讲往上游走一步：题设给的条件往往不是现成的式子，而是一句几何话或一个向量等式，要先把这句向量语言译成坐标语言，才能接上前面的路子。教材在空间向量一章专门讲过用向量表示位置关系，把同一套翻译规则搬到平面上，就是本讲的全部内容。全讲按四类译法展开：数量积、定比分点、模长、恒等式。 考查形式：向量条件是解析几何解答题的入口，近五年全国卷与新高考卷几乎年年出现「以 为直径的圆过原点」「」「」这类说法。四类译法的落点不同：数量积落在一个含参数 的式子上，定比分点落在两根的比例关系上，模长落在一个圆的方程上，恒等式落在一条垂直或等距的几何关系上。四类都不是新方法，共同点是先翻译、再联立；翻译错了，后面算得再顺也拿不到分。本讲的题目一律把「求值」放在前、「判断是否存在」放在后，与存在性问题正好相接。 第二部分　记·模型与结论 一、四类译法一张表 向量的坐标运算是本讲的唯一工具，四类条件各有固定的译法。数量积译成 ，属于两根的对称式；定比分点译成两根的倍数关系，属于两根的比例式；模长译成一个圆的方程，属于曲线与曲线的位置关系；形如 的恒等式，先用平方差还原成 ，属于两条线段相等。四类的后续处理不同，译法都只有一步。 译错往往错在起点。把 当成「 依次排列」，实际上向量等式只管有向线段的比例， 可以落在 之外；把 与 当成完全等价，实际上前者还包含 与 重合的退化情形。写完译式先问一句「这个式子有没有漏掉退化情况」，再往下算。 四类条件的难易程度差别很大：模长与恒等式两类不必设参数、不必用韦达，联立一次就能收工；数量积与定比分点两类必须走韦达，解完还要查判别式。常见的失分不是算错，而是把简单的一类按复杂的一类做，多写三行还没算完。 二、数量积：三个通式摆在明面上 设 、 是直线与曲线的两个交点。把直线写成 之后，，点积就完全由韦达式决定，中间项 一项都不能少。三类曲线的结果很整齐：椭圆 与 相交时，点积等于 ；双曲线 与 相交时，等于 ；抛物线 上过 的弦，点积恒为 ，与弦的斜率无关。 三个式子的用法不同。前两个含 ，令它等于题给的值就能解出 ，再查判别式；第三个不含 ，说明这条曲线上过该定点的所有弦都有同一个点积，题给的值若与它不等，答案直接是不存在。双曲线那一式的分母是 ，可正可负，符号决定了点积的取值范围落在正半轴还是负半轴，写答案之前先看这个符号。 抛物线那一式的推导值得单独走一遍： 与 联立得 ，于是 、，而 ，含 的两项正好抵消。看清这个抵消，就不会相信「点积随斜率变化」这类错误直觉。 三、定比分点：两根的比例关系 展开是两个坐标等式，实际只用得着一个。若弦所过的定点 在 轴上，纵坐标满足 ：这是全讲最短的一步翻译，也是最有用的一个。把它与 、 的韦达式联立， 就被 表示出来，再代进乘积式，得到一个只含 的方程。 抛物线的情形有闭合式： 上过 的弦满足 时，。椭圆与双曲线没有这么短的式子，按上面那条路现算即可，不必背。解出 后查两件事：判别式大于零，以及 ，后者同时保证 真的在 之间。 闭合式里的 是曲线方程中 的系数，不是 的两倍再乘别的量。 的系数是 ， 的系数是 ，抄公式时把系数直接当 用，比先算 再乘更不容易错。另一处易错是把 的位置弄反： 与 给出不同的方程，题设写哪一边就以哪一边为准，不要凭图形直觉调换。 四、模长：一条圆与一条曲线求交 模长条件译成 ，是一条确定的圆，圆心与半径都是已知数。与曲线联立时，把曲线方程解出的 直接代进圆，高次项一次消掉，剩下的是一元二次方程。这一步比设直线、写韦达更快，因为没有待定参数，也就不必查判别式以外的东西。 解得 之后不要直接写答案，先把 代回曲线定 ，再逐点核对三件事：在曲线上、满足模长、与题设已给的点不重合。抛物线上 、椭圆上 、双曲线上 ，这三条范围会淘汰掉一部分根。若一元二次方程无实根，或根全部落在范围之外，结论就是不存在；这两种「不存在」在卷面上要分开写，前者是方程无解，后者是解不合范围。 消元时有一处符号容易出问题：椭圆给出 ，双曲线给出的是 ，括号里相差一个负号。漏掉这个负号， 会解成负数，于是误判不存在。 五、恒等式：移项之后就是几何 两个恒等式用得最多。其一是平方差：，等于零就意味着 ，即 在 的中垂线上。其二是移项： 移项得 ，即 ，也就是 。两个式子都不必展开，先读几何，几何读完往往只剩一条直线与一条曲线求交点。 读成几何之后，交点个数要数清：过 且与 垂直的直线与曲线一般有两个交点，其中一个是 自己，另一个才是所求。漏掉这一点，答案会多写一个点。若这条垂线与曲线只有一个交点，则除 之外没有别的点，答案就是不存在。 把右边当成零是本讲最高频的错读： 的右边是两个向量共同的那个长度的平方，不是零，垂直的是 与 而不是 与 。检验办法很简单：把 换成 自己，等式两边相等，说明这条几何关系描述的是「 沿过 的某条直线运动」，而不是「 与 的夹角」。 第三部分　破·典型题型 题型一　数量积：把条件译成韦达式 【解题技巧】设直线写成 ，联立后写出 与 ，再用 把点积化成只含 的式子。令它等于题给的值，解出 ，最后用判别式与「两交点不重合」核对。若化简结果与 无关，说明这条曲线上过该定点的弦都有同一个点积，题给的值除恰好等于它之外一律不存在。 【教学提醒】第一题板演时把 的展开式单独写一行：，让学生看清中间项从哪里来。第二题的重点不在算，而在「判别式恒大于零、两交点恒分居两支」这个观察：正因为恒成立， 的两个解才全都有效，不必逐个代回筛选。第三题要学生先算出点积为 、再问「能不能等于零」，答案是「不能，因为与斜率无关」；随后追问竖直线 是否也算一条弦，用来检验 这个设法有没有漏掉斜率不存在的情形。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解析：把 代入 ，得 。由韦达式 、，判别式 ，需 。 又 。 故 。 令 ，得 ，满足 ，此时 ，两个交点确实存在且互不重合。 故存在， 或 ，对应的直线为 与 。 参考答案：存在， 【学情易错提醒】把 写成 之后漏掉中间项 ，会得到 ，点积随之变成 ，解出 也是一个像样的数，不会自己报警。另一处是把 这条限制忘在一边：本例里它恰好不卡答案，但在 解得较大时它就是唯一的淘汰依据。 【变式1-1】 已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解析：代入并整理：，即 ，判别式 ，对任意 都有两个交点。 由韦达式 、，于是 。 故 。令它等于零，得 或 。 此时 ，两个交点分居双曲线的两支， 三点不共线， 这个角是真的。这一点值得单写一行，它同时代替了「两交点不重合」的检查。 故存在，。 参考答案：存在，，此时直线与双曲线的两支各交一点 【学情易错提醒】标准式中 、，代入时把两个分母写反成 ，会得到 为另一个值，而计算过程毫无阻碍。另一处是把「直线与双曲线相交」直接当成「两交点在同一支」，于是对 犹豫；实际上 恰恰说明分居两支，这个不等式是判据，不是障碍。 【变式1-2】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）证明 与 的斜率无关，并求出这个值；（2）判断是否存在 使 。 解析：设 ，这个设法把斜率不存在的竖直线也包含了进去。代入 得 ，故 、。 ，含 的两项正好抵消。 故 ，与 无关，（1）得证，值为 。用通式可核： 上过 的弦点积恒为 ，本题 、，得 ，一致。 （2） 要求点积为零，而这个量恒为 ，方程 无解，故不存在这样的 。理由要写成「点积与斜率无关、恒为 」，只写「化简后矛盾」不得过程分。 顺带一问：使 的 有多少条？过 且与抛物线交于两点的直线，每一条都满足，有无穷多条。 参考答案：（1），与 的斜率无关；（2）不存在 【学情易错提醒】常见的错法是把 算成 ，漏掉中间项 ；漏掉之后 ，点积变成 ，看起来与 有关，于是「解出」 并判定无解——结论碰巧对了，过程全错。另一处是用 设直线，把竖直线 漏在设法之外；这条线与抛物线交于 与 ，点积同样是 ，但「与斜率无关」这句话就没有覆盖全部弦。 题型二　定比分点：把条件译成两根之比 【解题技巧】定比分点的翻译只有一行：定点在 轴上时 。把韦达式里的 写成 ，解出 ；再代进 ，得到关于 的方程。求出 后核对 ，它同时保证两点分居定点两侧与判别式大于零。抛物线的这一类有闭合式可核：。 【教学提醒】三题共用一行翻译 ，差别只在 与曲线。板演时把韦达式与这一行并排写，学生能看清「 被 表示出来」这一步是怎么发生的。第一题解出 后要把判别式与 两条检查写全；第二题指出抛物线有闭合式可核、椭圆没有，让学生自己算完再对答案；第三题让学生发现 的系数 来自 ，不要照抄上一题的 。三题都可追问「若 改成 会怎样」： 的两个值互换，弦的两端也互换，答案的形式不变。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 解析：设 。代入 得 ，故 、。 在 轴上， 按纵坐标写就是 ，即 。 于是 ，得 ；又 ，令它等于 ，得 ，即 。 故 或 。此时 ， 确实在 之间，判别式 也成立。 故 或 ，即 与 。 参考答案： 或 【学情易错提醒】把 写成 （漏掉 这个系数）会得到 ；再代乘积式时 只以平方出现，负号被吃掉， 照样算得出来——两处符号错误互相抵消，答案对而过程错，是最难自查的一类。另一处是解完不查 ：若把 写成 之类的错误关系， 会解成负数，此时「无解」才是正确答案。 【变式2-1】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 解析：设 ，代入 得 ，故 、。 由 得 ，于是 ，即 。 ，令它等于 ，得 ， 或 。 抛物线这一类有闭合式：，本题 、、 的系数 ，得 ，与上面的结果一致。 故 或 ，即 与 。 参考答案： 或 【学情易错提醒】闭合式 里的 就是 中 的系数。本题系数为 ，于是 、；若先把 当成 再乘一次 ，分母多一倍，得 ，两条直线的斜率随之全错。另一处是以为 必须落在弦的中点才叫定比分点：本例 恒成立， 恒在 之间，只需查判别式 ，两条直线都合格。 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 解析：设 ，代入 得 ，故 、。 由 得 ，于是 ，即 。 ，令它等于 ，得 ，即 。 故 或 。此时 ，， 在 之间。 故 或 。 参考答案： 或 【学情易错提醒】本例与典例2-1 只差 与 ，但 时 ，系数是 而不是 ，照抄上一题会让方程变成 ，得 ，两条直线的斜率全部偏移。另一处是解出 后只写 ： 的一次项在方程里已被平方吞掉，两个符号同样合法，对应的两条直线关于 轴对称，缺一条就是答案不全。 题型三　模长与距离：把条件译成圆 【解题技巧】模长条件译成 ，是一条圆。与曲线联立时把曲线解出的 代进去，一次消去高次项，剩下的是一元二次方程。解出 后回代定 ，再查三条：在曲线上、满足模长、不与题设给的点重合。抛物线的 、双曲线的 会淘汰根，淘汰的理由要写进答案。 【教学提醒】三题的处理顺序一致：把曲线解出的 代进圆，得一元二次方程，回代定 ，最后查范围。第一题要强调解得两个 而只有三个点，原因是其中一支的 ，两支重合成一点；第二题要让 这个「方程的真根但不在曲线上」的根显式出现，学生才会养成查范围的惯性；第三题解出的值贴近双曲线的边界，教师应把 的判断单写一行，并追问「若半径改成 ，还有解吗」，答案是 ，无解，属于方程无实根那一类不存在。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，。椭圆上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：条件的坐标形式是 ，即以 为圆心、 为半径的圆。 由椭圆得 ，代入圆的方程：，整理得 ，即 ，， 或 。 时 ，得 ，此时 ，成立。 时 ，得 ，两点均满足 ，也都在椭圆上。 故存在三个点：、、。 参考答案：、、 【学情易错提醒】一元二次方程解出两个 ，每个 通常配两个 ，于是直觉上应有四个点；实际只有三个，因为 时 ，两支重合成一点。把 写两遍会被判为答案不规范。另一处更隐蔽：把圆写成 （ 的横坐标符号反了），解出 与 ，两个值都落在 内、都能算出 ，四个点看起来齐整，而整份答案全部错位——图形关于 轴对称，符号错了不会被数值大小拦住。 【变式3-1】 已知抛物线 ， 为原点。抛物线 上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：条件即 。由抛物线得 ，代入得 ，即 。 方程的两根是 与 。抛物线上 ，故 舍去。 时 ，，得 与 ，均满足 。 故存在两个点：、。 参考答案：、 【学情易错提醒】 是方程的真根，却不在抛物线上，写成「 或 ，故 或 」是没有做范围核对的样子；四个点里有一半根本不在曲线上。另一处是解出 后只写一个 ：圆与抛物线都关于 轴对称，交点必成对出现，少写一个就少一半答案。 【变式3-2】 已知双曲线 ， 为原点。双曲线 上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：条件即 。由双曲线得 ，代入得 ，即 ，。 或 ，两者都满足 ，未被范围淘汰。 ，。 四个点 逐个核对：，都在双曲线上。 故存在四个点，坐标为 、、、。 参考答案：存在，四个点 【学情易错提醒】双曲线的范围是 ，本例解出的 恰好贴近边界；若把 误记成 ，会把这两个根全部判为不合范围而误答不存在。另一处是移项时符号反了，把 写成 ，得 并判定无解，结论与正确答案正好相反。 题型四　恒等式：移项之后读成几何 【解题技巧】形如 的等式，移项即得 ；形如 的等式，用平方差还原成 。两种情形都不必设参数、不必用韦达：前者化成一条过 且与 垂直的直线，后者化成一条以 为圆心的圆，与曲线求交点即可。交点里通常有一个是已知点 本身，要舍去。 【教学提醒】三题都用移项读几何的办法。第一题的移项方向是把 移到左边，学生容易把右边当成零；板演时把 写成 ，逐项对照给学生看，比讲十遍「这是垂直」有效。第二题的平方差要现场展开一遍，避免被当成完全平方。第三题的重点在舍点与范围： 对应 须舍， 虽然离原点很远，但 的范围限制在 上、不在 上，与 恰好相反。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求点 的坐标。 解析：，条件即 。 移项：，而 ，故 。 设 ，则 ，由 得 ，即 。 代入 ：，即 ，， 或 。 对应 ，正是 自己，舍去； 对应 ，得 。核对：。 参考答案： 【学情易错提醒】把条件读成 是最常见的错读： 的右边不是零，是两个向量共有的那个长度的平方，移项之后垂直的是 与 。另一处是解出 后不检查它对应 ，把 自己写进答案，题设「异于 」的要求就漏掉了。 【变式4-1】 已知椭圆 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求 的值与点 的坐标。 解析：由平方差，左边等于 ，故 ，即 在 的中垂线上。 ，故 ， 在以 为圆心、 为半径的圆上：。 由椭圆得 ，代入得 ，即 ，，。 时 ，，其中 是 ，舍去，得 ； 时 ，得 与 。 故 ， 的坐标为 、、。 参考答案：；、、 【学情易错提醒】把 展开成 ，是把平方差当成了完全平方；展开后含点积的式子越算越远，最后仍要回到平方差。另一处是不用恒等式、直接设 展开 ，虽然也能得到 ，但要多写三行，且常数项 容易算成 。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求点 的坐标。 解析：，条件移项得 ，即 。 设 ，，由 得 。 代入 ：，即 ，， 或 。 对应 ，正是 ，舍去； 对应 ，得 。核对：。 故 。 参考答案： 【学情易错提醒】本题的 满足 ，位置确认之后再动手。易错处在舍点与范围： 对应 须舍，若漏掉「异于 」会多写一个点； 离原点很远，容易被当成不合范围而误答不存在，但 的范围限制在 上、 无限制，这一点与 恰好相反。另一处是把直线写成 （ 的方向取反后再取法向量），得到的两个根不再包含 ， 反而被漏掉。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入得 ，故 、。 由 得 ，即 ；于是 ，，。 这里 与斜率互为倒数， 的斜率为 。选项中的 是 的值，不是斜率的值。 核对：，， 在 之间，两条直线都合格。 参考答案：C 2．（单选）已知椭圆 ， 为原点。椭圆 上满足 的点 的个数是（　　） A． B． C． D． 解析：条件即 ，与 联立：，即 ，。 ，两个值都在 内，不被范围淘汰。 ，，每个 配两个 ，共四个点。 四点均满足 ，都在椭圆上。 参考答案：D 3．（单选）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，即 ，。 、，故 。 点积 。令 ，得 ，。 时 ，两交点存在。 参考答案：B 4．（单选）已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 解析：，条件移项得 ，即 。 ，由 得 。 代入 ：，即 ， 或 ；其中 对应 ，舍去。 时 ，得 。核对：。 参考答案：A 5．（多选）已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。下列说法正确的是（　　） A． 恒为负值 B．存在 使 C． 时 D．使 的直线与双曲线交于同一支 解析：代入得 ，即 ， 恒成立；，两交点恒分居两支。 ，故 。 点积 。 时这个值为正， 项错误； 时为零， 项正确； 时等于 ， 项正确。 说明两交点恒在异支，与 的取值无关， 项错误。 参考答案：BC 6．（填空）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为 ______。 解析：代入得 ，即 ，，化简得 。 、，故 。 点积 。令 ，得 。 此时 ，两交点存在，故 或 。 参考答案： 或 7．（解答）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。（1）求 的方程；（2）求 的值。 解析：设 。代入 得 ，故 、。 由 得 ，于是 ，即 。 ，令它等于 ，得 ，即 ，。 故 或 。 （2） 时 。 故 。 参考答案：（1） 或 ；（2） 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入 得 ，故 、。 由 得 ，即 ；代入乘积式得 ，即 ，。 ，斜率为 。 核对：，，两条直线都合格。 参考答案：A 9．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 在 上且 ，则 到 轴的距离为（　　） A． B． C． D． 解析：条件即 ；由椭圆得 。 代入得 ，即 ，，。 都在 内；此时 ，，四个点都在椭圆上。 点 到 轴的距离是 。 参考答案：A 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点。下列说法正确的是（　　） A．过点 的弦 都有 B．过点 的弦 都不满足 C．存在过点 的弦 使 D．过点 的弦 中有满足 的 解析：对 上过 的弦，点积恒为 。本题 ，代入得 ，与弦的斜率无关。 ：， 项正确。 ：，不可能垂直， 项正确。 ：，且这个值与斜率无关，故不存在这样的弦， 项错误。：，也不可能垂直， 项错误。 参考答案：AB 11．（填空）已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为 ______。 解析：代入得 ，即 。 恒成立；，两交点分居两支。 ，故 。 点积 。令它为零，得 ， 或 。 参考答案： 或 12．（解答）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。（1）求 关于 的表达式，并求使 的 ；（2）若 ，求 的方程。 解析：代入得 ，即 ，，即 ，需 。 、，故 。 点积 。用通式可核：椭圆与 相交时点积为 ，本题算得 ，等于 ，一致。 （1）令 ，得 ，满足 ，两交点存在，故 时 或 。 （2）令 ，得 ，，满足 ，故 或 。 参考答案：（1）， 时 ；（2） 或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线向量条件翻译与转化 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题处理综合题的条件翻译。弦长与面积、定点、定值、存在性几类题，都是条件已经写成式子之后的做法；本讲往上游走一步：题设给的条件往往不是现成的式子，而是一句几何话或一个向量等式，要先把这句向量语言译成坐标语言，才能接上前面的路子。教材在空间向量一章专门讲过用向量表示位置关系，把同一套翻译规则搬到平面上，就是本讲的全部内容。全讲按四类译法展开：数量积、定比分点、模长、恒等式。 考查形式：向量条件是解析几何解答题的入口，近五年全国卷与新高考卷几乎年年出现「以 为直径的圆过原点」「」「」这类说法。四类译法的落点不同：数量积落在一个含参数 的式子上，定比分点落在两根的比例关系上，模长落在一个圆的方程上，恒等式落在一条垂直或等距的几何关系上。四类都不是新方法，共同点是先翻译、再联立；翻译错了，后面算得再顺也拿不到分。本讲的题目一律把「求值」放在前、「判断是否存在」放在后，与存在性问题正好相接。 第二部分　记·模型与结论 一、四类译法一张表 向量的坐标运算是本讲的唯一工具，四类条件各有固定的译法。数量积译成 ，属于两根的对称式；定比分点译成两根的倍数关系，属于两根的比例式；模长译成一个圆的方程，属于曲线与曲线的位置关系；形如 的恒等式，先用平方差还原成 ，属于两条线段相等。四类的后续处理不同，译法都只有一步。 译错往往错在起点。把 当成「 依次排列」，实际上向量等式只管有向线段的比例， 可以落在 之外；把 与 当成完全等价，实际上前者还包含 与 重合的退化情形。写完译式先问一句「这个式子有没有漏掉退化情况」，再往下算。 四类条件的难易程度差别很大：模长与恒等式两类不必设参数、不必用韦达，联立一次就能收工；数量积与定比分点两类必须走韦达，解完还要查判别式。常见的失分不是算错，而是把简单的一类按复杂的一类做，多写三行还没算完。 二、数量积：三个通式摆在明面上 设 、 是直线与曲线的两个交点。把直线写成 之后，，点积就完全由韦达式决定，中间项 一项都不能少。三类曲线的结果很整齐：椭圆 与 相交时，点积等于 ；双曲线 与 相交时，等于 ；抛物线 上过 的弦，点积恒为 ，与弦的斜率无关。 三个式子的用法不同。前两个含 ，令它等于题给的值就能解出 ，再查判别式；第三个不含 ，说明这条曲线上过该定点的所有弦都有同一个点积，题给的值若与它不等，答案直接是不存在。双曲线那一式的分母是 ，可正可负，符号决定了点积的取值范围落在正半轴还是负半轴，写答案之前先看这个符号。 抛物线那一式的推导值得单独走一遍： 与 联立得 ，于是 、，而 ，含 的两项正好抵消。看清这个抵消，就不会相信「点积随斜率变化」这类错误直觉。 三、定比分点：两根的比例关系 展开是两个坐标等式，实际只用得着一个。若弦所过的定点 在 轴上，纵坐标满足 ：这是全讲最短的一步翻译，也是最有用的一个。把它与 、 的韦达式联立， 就被 表示出来，再代进乘积式，得到一个只含 的方程。 抛物线的情形有闭合式： 上过 的弦满足 时，。椭圆与双曲线没有这么短的式子，按上面那条路现算即可，不必背。解出 后查两件事：判别式大于零，以及 ，后者同时保证 真的在 之间。 闭合式里的 是曲线方程中 的系数，不是 的两倍再乘别的量。 的系数是 ， 的系数是 ，抄公式时把系数直接当 用，比先算 再乘更不容易错。另一处易错是把 的位置弄反： 与 给出不同的方程，题设写哪一边就以哪一边为准，不要凭图形直觉调换。 四、模长：一条圆与一条曲线求交 模长条件译成 ，是一条确定的圆，圆心与半径都是已知数。与曲线联立时，把曲线方程解出的 直接代进圆，高次项一次消掉，剩下的是一元二次方程。这一步比设直线、写韦达更快，因为没有待定参数，也就不必查判别式以外的东西。 解得 之后不要直接写答案，先把 代回曲线定 ，再逐点核对三件事：在曲线上、满足模长、与题设已给的点不重合。抛物线上 、椭圆上 、双曲线上 ，这三条范围会淘汰掉一部分根。若一元二次方程无实根，或根全部落在范围之外，结论就是不存在；这两种「不存在」在卷面上要分开写，前者是方程无解，后者是解不合范围。 消元时有一处符号容易出问题：椭圆给出 ，双曲线给出的是 ，括号里相差一个负号。漏掉这个负号， 会解成负数，于是误判不存在。 五、恒等式：移项之后就是几何 两个恒等式用得最多。其一是平方差：，等于零就意味着 ，即 在 的中垂线上。其二是移项： 移项得 ，即 ，也就是 。两个式子都不必展开，先读几何，几何读完往往只剩一条直线与一条曲线求交点。 读成几何之后，交点个数要数清：过 且与 垂直的直线与曲线一般有两个交点，其中一个是 自己，另一个才是所求。漏掉这一点，答案会多写一个点。若这条垂线与曲线只有一个交点，则除 之外没有别的点，答案就是不存在。 把右边当成零是本讲最高频的错读： 的右边是两个向量共同的那个长度的平方，不是零，垂直的是 与 而不是 与 。检验办法很简单：把 换成 自己，等式两边相等，说明这条几何关系描述的是「 沿过 的某条直线运动」，而不是「 与 的夹角」。 第三部分　破·典型题型 题型一　数量积：把条件译成韦达式 【解题技巧】设直线写成 ，联立后写出 与 ，再用 把点积化成只含 的式子。令它等于题给的值，解出 ，最后用判别式与「两交点不重合」核对。若化简结果与 无关，说明这条曲线上过该定点的弦都有同一个点积，题给的值除恰好等于它之外一律不存在。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【变式1-1】 已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【变式1-2】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）证明 与 的斜率无关，并求出这个值；（2）判断是否存在 使 。 题型二　定比分点：把条件译成两根之比 【解题技巧】定比分点的翻译只有一行：定点在 轴上时 。把韦达式里的 写成 ，解出 ；再代进 ，得到关于 的方程。求出 后核对 ，它同时保证两点分居定点两侧与判别式大于零。抛物线的这一类有闭合式可核：。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 【变式2-1】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。求 的方程。 题型三　模长与距离：把条件译成圆 【解题技巧】模长条件译成 ，是一条圆。与曲线联立时把曲线解出的 代进去，一次消去高次项，剩下的是一元二次方程。解出 后回代定 ，再查三条：在曲线上、满足模长、不与题设给的点重合。抛物线的 、双曲线的 会淘汰根，淘汰的理由要写进答案。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，。椭圆上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 【变式3-1】 已知抛物线 ， 为原点。抛物线 上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 【变式3-2】 已知双曲线 ， 为原点。双曲线 上是否存在点 使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 题型四　恒等式：移项之后读成几何 【解题技巧】形如 的等式，移项即得 ；形如 的等式，用平方差还原成 。两种情形都不必设参数、不必用韦达：前者化成一条过 且与 垂直的直线，后者化成一条以 为圆心的圆，与曲线求交点即可。交点里通常有一个是已知点 本身，要舍去。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求点 的坐标。 【变式4-1】 已知椭圆 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求 的值与点 的坐标。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 。求点 的坐标。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆 ， 为原点。椭圆 上满足 的点 的个数是（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知抛物线 ， 为原点， 在 上， 是 上异于 的点，且 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。下列说法正确的是（　　） A． 恒为负值 B．存在 使 C． 时 D．使 的直线与双曲线交于同一支 6．（填空）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为 ______。 7．（解答）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 。（1）求 的方程；（2）求 的值。 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 在 上且 ，则 到 轴的距离为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点。下列说法正确的是（　　） A．过点 的弦 都有 B．过点 的弦 都不满足 C．存在过点 的弦 使 D．过点 的弦 中有满足 的 11．（填空）已知双曲线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 ，则 的值为 ______。 12．（解答）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。（1）求 关于 的表达式，并求使 的 ；（2）若 ，求 的方程。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $