微专题弦长公式与面积计算导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：弦长公式与面积计算 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是圆锥曲线综合题的起点。前面按曲线分块的内容各有专属模型，题干往往已给出焦点弦或中点弦这类结构；本讲不再预设特殊结构，只给一条一般直线与一条圆锥曲线，用联立、韦达、判别式这条通法把弦长与面积一并算出。教材在直线与圆锥曲线一节给出的是联立法，这里把它整理成可以直接落笔的四步：设线、联立、记下判别式、把目标量用两根之差表达。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，解答题第（2）问高频出现求三角形面积、面积最大值、由面积反求参数；小题多考弦长与参数反求。三类曲线都会出现，抛物线设 后二次项恒为 ，命题密度最高。定点、定值与存在性证明不在本讲范围，本讲算到最后一步数值为止。 第二部分　记·模型与结论 一、弦长公式：不必解出两根 设直线 与曲线联立，消去 得 （），两交点横坐标为 。由两点间距离公式，；再用 ，弦长只由判别式与二次项系数决定。 是有两个交点的前提，椭圆题里它通常给出参数的约束，要单独写下来。双曲线在直线平行于渐近线时二次项为零，方程退化为一次式，此时只有一个交点，弦长公式不适用。抛物线 与 联立后，判别式化简为 ，符号决定交点的个数。 二、设 ：把竖直弦收进同一个式子 过 轴上定点 的直线若写成 ，竖直弦 要另作讨论；改写成 ，任意实数 都对应一条过 的非水平直线，竖直弦恰是 。联立后消去 得关于 的二次式，弦长与面积都改用纵坐标之差表达。 这个设法漏掉的是水平直线 ：它在椭圆、双曲线里可能是真实存在的弦，须单独补一次；抛物线 与 只有一个交点，不成弦，参数族是完备的。变式 2-1 里水平弦给出弦长 ，正是 的极限值，补上它取值范围才完整。按定点落在哪条轴上选设法，可以省掉一轮分类。 三、面积：底乘高化成坐标式 三角形 以 为底，高是点 到直线的距离 ，故 。把 与 相乘， 约掉，面积只剩一个乘积。 取原点时式子最简：。用 且 在 轴上时，同理得 。同一条底边上两个三角形的面积之比等于对应高之比，与直线斜率无关，反求参数时先化简距离比可省一轮联立。 四、面积最值：把根号下的量配成对称式 动直线的面积常写成 或 的形状。前一类用 ，在 取到最大值；后一类在 取到最小值。取等后要回代判别式，确认直线与曲线确有两个交点。 椭圆 与 相交时，，取等条件是 。这个上界与 无关，可作为 05、06 两讲各类最值之外的一个常结论；本讲只用它核对结果，参数化与取值范围的系统处理仍归 06。 五、完整流程与三类曲线的差别 一道题落到纸上分四步：设直线（按定点位置决定用 还是 ）、联立写成一元二次式并记下 与二次项非零的条件、由韦达写出两根之和与两根之积、把 或 用它们表达后化简求值。算完用端点坐标或鞋带公式复核一次，能挡住系数漏乘。 三类曲线在这条链上的差别只在联立后的系数：椭圆的 给出参数范围；双曲线要额外排除直线平行于渐近线的情形；抛物线设 后二次项恒为 ， 常恒正，最值问题最干净。焦点弦、中点弦、距离最值各有专门的处理办法，本讲不复用它们的结论。 第三部分　破·典型题型 题型一　联立韦达求弦长 【解题技巧】先把直线设成 或 ，联立后记下二次项系数 与判别式 。 里 来自两点距离公式，漏掉它弦长会少一个因子。双曲线题先检查二次项是不是零，为零时只有一个交点。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点，求 。 【变式1-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，求 。 【变式1-2】 已知双曲线 ，直线 与双曲线交于 两点，求 。 题型二　过定点弦长的统一设法 【解题技巧】过 轴上定点 的直线设成 ，竖直线对应 ，不必另作讨论。联立后得到关于 的二次式，，面积用 。这个设法漏掉水平直线，椭圆与双曲线题要补查 。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点，且 ，求 的方程。 【变式2-1】 已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆交于 两点，求 的最小值及此时的直线方程。 【变式2-2】 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，若 ，求直线的方程。 题型三　给定直线求三角形面积 【解题技巧】 里 会自动约掉，直接写成 更快。 是原点时就是 。算完用鞋带公式或端点坐标复核一次，可挡住系数漏乘。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 【变式3-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 【变式3-2】 已知双曲线 ，直线 与双曲线交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 题型四　面积分割与面积最值 【解题技巧】直线过 轴上定点 、 也在 轴上时，，面积只差一个纵坐标之差。求最值先把 写成 的函数： 型在 取最小， 型在 取最大；取等后回代判别式。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最小值。 【变式4-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值，并写出取等条件。 【变式4-2】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，点 与原点 ，若 ，求 的值。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）直线 与抛物线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 2．（单选）椭圆 与直线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．（单选）抛物线 与直线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 4．（单选）抛物线 与直线 交于 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于抛物线 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．对任意实数 ， 与抛物线都有两个交点 B．弦长 C．（ 为原点）的面积为 D． 的最小值为 6．（填空）椭圆 与直线 交于 两点， 为原点，则 的面积为______。 7．（解答）已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点， 为坐标原点。（1）若 ，求 的方程；（2）求 面积的最小值。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 与直线 交于 两点， 为原点，若 的面积为 ，则 的取值个数为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）过定点 的直线与抛物线 交于 两点，若 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于双曲线 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与双曲线有两个交点 B．当 时， 与双曲线没有交点 C．当 时， 与双曲线有两个交点 D．当 时，弦长为 11．（填空）直线 与抛物线 交于 两点， 为原点，若 的面积为 ，则 ______。 12．（解答）已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点， 为坐标原点。（1）若 ，求 的方程；（2）求 面积的最小值；（3）若点 满足 对任意这样的直线 成立，求 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：弦长公式与面积计算 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是圆锥曲线综合题的起点。前面按曲线分块的内容各有专属模型，题干往往已给出焦点弦或中点弦这类结构；本讲不再预设特殊结构，只给一条一般直线与一条圆锥曲线，用联立、韦达、判别式这条通法把弦长与面积一并算出。教材在直线与圆锥曲线一节给出的是联立法，这里把它整理成可以直接落笔的四步：设线、联立、记下判别式、把目标量用两根之差表达。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，解答题第（2）问高频出现求三角形面积、面积最大值、由面积反求参数；小题多考弦长与参数反求。三类曲线都会出现，抛物线设 后二次项恒为 ，命题密度最高。定点、定值与存在性证明不在本讲范围，本讲算到最后一步数值为止。 第二部分　记·模型与结论 一、弦长公式：不必解出两根 设直线 与曲线联立，消去 得 （），两交点横坐标为 。由两点间距离公式，；再用 ，弦长只由判别式与二次项系数决定。 是有两个交点的前提，椭圆题里它通常给出参数的约束，要单独写下来。双曲线在直线平行于渐近线时二次项为零，方程退化为一次式，此时只有一个交点，弦长公式不适用。抛物线 与 联立后，判别式化简为 ，符号决定交点的个数。 二、设 ：把竖直弦收进同一个式子 过 轴上定点 的直线若写成 ，竖直弦 要另作讨论；改写成 ，任意实数 都对应一条过 的非水平直线，竖直弦恰是 。联立后消去 得关于 的二次式，弦长与面积都改用纵坐标之差表达。 这个设法漏掉的是水平直线 ：它在椭圆、双曲线里可能是真实存在的弦，须单独补一次；抛物线 与 只有一个交点，不成弦，参数族是完备的。变式 2-1 里水平弦给出弦长 ，正是 的极限值，补上它取值范围才完整。按定点落在哪条轴上选设法，可以省掉一轮分类。 三、面积：底乘高化成坐标式 三角形 以 为底，高是点 到直线的距离 ，故 。把 与 相乘， 约掉，面积只剩一个乘积。 取原点时式子最简：。用 且 在 轴上时，同理得 。同一条底边上两个三角形的面积之比等于对应高之比，与直线斜率无关，反求参数时先化简距离比可省一轮联立。 四、面积最值：把根号下的量配成对称式 动直线的面积常写成 或 的形状。前一类用 ，在 取到最大值；后一类在 取到最小值。取等后要回代判别式，确认直线与曲线确有两个交点。 椭圆 与 相交时，，取等条件是 。这个上界与 无关，可作为 05、06 两讲各类最值之外的一个常结论；本讲只用它核对结果，参数化与取值范围的系统处理仍归 06。 五、完整流程与三类曲线的差别 一道题落到纸上分四步：设直线（按定点位置决定用 还是 ）、联立写成一元二次式并记下 与二次项非零的条件、由韦达写出两根之和与两根之积、把 或 用它们表达后化简求值。算完用端点坐标或鞋带公式复核一次，能挡住系数漏乘。 三类曲线在这条链上的差别只在联立后的系数：椭圆的 给出参数范围；双曲线要额外排除直线平行于渐近线的情形；抛物线设 后二次项恒为 ， 常恒正，最值问题最干净。焦点弦、中点弦、距离最值各有专门的处理办法，本讲不复用它们的结论。 第三部分　破·典型题型 题型一　联立韦达求弦长 【解题技巧】先把直线设成 或 ，联立后记下二次项系数 与判别式 。 里 来自两点距离公式，漏掉它弦长会少一个因子。双曲线题先检查二次项是不是零，为零时只有一个交点。 【教学提醒】板演时把 代入曲线方程的整行写出来，再单独圈出 与 ，学生才看得见 的分母从哪来。三题依次落在抛物线、椭圆、双曲线，联立后的二次项系数分别是 、、， 进分母这一步各算一次；第三题顺带把 与 摆在一起，说明两者不是一回事。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点，求 。 解析：把 代入 得 ，即 ；判别式 ，两交点存在。 ，，，故 。 核对：两根为 ，端点为 ，两点距离化简为 。 参考答案： 【学情易错提醒】把 展开成 后写成 的，漏了右端的 ，判别式变成 ，会误判成切线。另一类常见失误是算出 就当作弦长，少了 这个因子。 【变式1-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，求 。 解析：把 两边乘 得 ，代入 得 ，即 ，判别式 。 两根为 与 ，，故 。 端点为 与 ，两点距离为 ，与公式一致。 参考答案： 【学情易错提醒】两边乘 后把右端的 丢掉，会写成 ，判别式与两根全变。原式乘 是 ，代入后常数项 与右端 恰好抵消，一根必为 ，这个特征可用来快速核对。 【变式1-2】 已知双曲线 ，直线 与双曲线交于 两点，求 。 解析：代入并两边乘 得 ，即 。 判别式 ，，故 。 核对：两根为 与 ，端点 与 都在双曲线上。 参考答案： 【学情易错提醒】双曲线渐近线斜率为 ，直线斜率 大于它，代入后二次项系数为 ，不会退化为一次式；换成 一类斜率时二次项消失，只有一个交点，弦长公式不适用。另有把 写成 的， 时会得到 。 题型二　过定点弦长的统一设法 【解题技巧】过 轴上定点 的直线设成 ，竖直线对应 ，不必另作讨论。联立后得到关于 的二次式，，面积用 。这个设法漏掉水平直线，椭圆与双曲线题要补查 。 【教学提醒】板演时把同一条竖直弦用两种设法各算一遍： 在 不存在时要单列， 在 时自然给出。三题分别落在抛物线、椭圆、开口向上的抛物线，第三题的定点在 轴上，改用 更顺手，正好把按定点位置选设法的依据落到纸上。变式 2-1 的水平弦单独画出来，它的弦长是 的极限值，不补上取值范围就少一个端点。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点，且 ，求 的方程。 解析：设 ，代入 得 ，判别式 恒成立。 ，故 。 由 得 ，即 ，解得 （ 舍去）。 ，直线为 或 ，即 与 ；取 回代， 的两根差为 ，弦长 。 参考答案： 或 【学情易错提醒】设 后把 不存在的情形漏掉的，会丢掉弦 ；本题 排除了竖直弦，换成求弦长最小值时竖直弦恰是取等情形，漏项就直接错。另一类把 写成 的，方程变成 ，解出的 与答案不符。 【变式2-1】 已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆交于 两点，求 的最小值及此时的直线方程。 解析：设 ，代入并两边乘 得 ，即 。 判别式 恒成立，。 ，随 增大而增大。 时取最小值 ，此时直线为 ，端点 。 补查水平直线 ：它与椭圆交于 ，弦长为 ； 不含这条直线，故 的完整范围是 。 参考答案：最小值 ，此时直线为 ；完整范围 【学情易错提醒】把 当成覆盖所有过 的直线，由 的上界 直接说取不到的，漏了水平弦 ：它恰给出 。设 漏的不是竖直线而是水平线，方向与设 相反。另有把该式判为先增后减的，求导后分子恒为 ，单调性不变号。 【变式2-2】 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，若 ，求直线的方程。 解析：定点在 轴上，设 ，代入 得 ，判别式 恒成立。 ，。 由 得 ，，直线为 与 ；取 回代， 的两根差为 ，弦长 。 参考答案： 或 【学情易错提醒】看到 就套 的，把 代入得 ，二次项含 ， 时退化成一次式，还要单独讨论。开口向上的抛物线配 轴上的定点，用 二次项恒为 ，运算更短。 题型三　给定直线求三角形面积 【解题技巧】 里 会自动约掉，直接写成 更快。 是原点时就是 。算完用鞋带公式或端点坐标复核一次，可挡住系数漏乘。 【教学提醒】板演时把 展开到约去 的那一行完整写出，学生才看得见面积为什么只用两根之差。三题依次是抛物线、椭圆、双曲线，联立后的二次项系数分别是 、、， 进分母这一步各算一次。第三题直线在双曲线左支截出两个端点，可顺势说明 只保证两个交点，不保证分居两支。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 解析：代入得 ，即 ，判别式 。 ，； 到直线 的距离为 。 。 用坐标式复核：，两路一致。 参考答案： 【学情易错提醒】把 的截距取成 的，在 里因有绝对值结果不变，但写成 时漏绝对值会得到负值。另有把 直接当面积的，那是弦长，还要乘 。 【变式3-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 解析：代入并两边乘 得 ，即 ，判别式 。 两根为 与 ，，端点为 与 。 ；鞋带公式给出同样的值。 参考答案： 【学情易错提醒】把 展开后忘记减右端 的，会写成 ，判别式为负，误判成没有交点。直线 过椭圆上顶点 ，一根必为 ，这个特征可用来快速核对联立结果。 【变式3-2】 已知双曲线 ，直线 与双曲线交于 两点， 为坐标原点，求 的面积。 解析：代入并两边乘 得 ，即 ，判别式 。 两根为 与 ，，端点 与 都在左支上。 ；对应 ，，。 参考答案： 【学情易错提醒】两个端点的横坐标同为负，都在左支， 只说明有两个交点，不能据此推断分居两支。另有一类把 误写成 的，绝对值使面积不变，但用 时 按 的口径取 ，符号要统一。 题型四　面积分割与面积最值 【解题技巧】直线过 轴上定点 、 也在 轴上时，，面积只差一个纵坐标之差。求最值先把 写成 的函数： 型在 取最小， 型在 取最大；取等后回代判别式。 【教学提醒】板演把 拆成 ，用 过渡到 ，学生能看见两个端点落在 轴两侧时面积相加而不是相减。变式 4-1 的取等条件写成 后，取 与 各代一次，上界与 无关就落到具体数上。变式 4-2 用同底面积比等于高之比，省掉一轮联立。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最小值。 解析：设 ，代入得 ，判别式 恒成立；水平线 与抛物线只有一个交点，不成弦，参数族完备。 ，。 ，故 ， 时取到最小值 ；此时直线 ，端点 ，鞋带公式给 。 参考答案： 【学情易错提醒】把 写成 的，两根之和是 ，会得出面积随 线性变化；两个端点分居 轴两侧，纵坐标一正一负，该用差的绝对值。另有把 的 当作 的，判别式与 都会差一个因子 。 【变式4-1】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值，并写出取等条件。 解析：代入并两边乘 得 ，即 。 判别式化简为 ，即 ；记 ，。 ，用的是 。 取等时 ，满足 ；取 、 代入，，。上界与 无关，一般结论是 。 参考答案：最大值 ，取等条件 【学情易错提醒】由 得到上界后不回代判别式的，会把取等点写成 ，此时 ，直线与椭圆相切，三角形退化。另有把 写成 的，漏了 展开出的 。 【变式4-2】 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，点 与原点 ，若 ，求 的值。 解析：两个三角形同底 ，面积之比等于对应高之比，即等于 与 到直线 的距离之比。 ，，故 ，即 。 解得 或 。联立 得 ，两根为 与 ， 时判别式 ，两个 值都合用。 参考答案： 或 【学情易错提醒】把距离之比写成 而不加绝对值的，会漏掉 这一支，只得到 。 时 与 落在直线两侧，面积取绝对值后仍满足两倍关系。另有直接去算两段弦长再求面积的，联立里 恒为一根，运算量明显变大。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）直线 与抛物线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，即 ，判别式 。 ，，。 参考答案：B 2．（单选）椭圆 与直线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：两边乘 得 ，即 ，两根 与 。 端点 、，。 参考答案：B 3．（单选）抛物线 与直线 交于 两点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，两根 与 ，端点 与 。 。 参考答案：C 4．（单选）抛物线 与直线 交于 两点， 为原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，即 ，判别式 。 ，，。 参考答案：B 5．（多选）关于抛物线 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．对任意实数 ， 与抛物线都有两个交点 B．弦长 C．（ 为原点）的面积为 D． 的最小值为 解析：代入得 ，判别式 恒成立，A 正确。 ，，B 的系数应为 ，B 错误。 ，C 正确； 且 取到，D 正确。 参考答案：ACD 6．（填空）椭圆 与直线 交于 两点， 为原点，则 的面积为______。 解析：两边乘 得 ，即 ，两根 与 。 ，，。 参考答案： 7．（解答）已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点， 为坐标原点。（1）若 ，求 的方程；（2）求 面积的最小值。 解析：设 ，代入得 ，判别式 恒成立。 ，。 （1）由 得 ，直线为 与 。 （2）， 时取到最小值 。 核对 ：直线 ，端点 ，鞋带公式给 。 参考答案：（1） 或 ；（2） 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 与直线 交于 两点， 为原点，若 的面积为 ，则 的取值个数为（　　） A． B． C． D． 解析：两边乘 得 ，即 ，两根 与 ， 时有两个交点。 ，。 由 得 ， 或 ，共 个 值。 参考答案：D 9．（单选）过定点 的直线与抛物线 交于 两点，若 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入得 ，判别式 。 ，；由 得 ，即 。 解得 （ 舍去），，直线斜率 。 参考答案：A 10．（多选）关于双曲线 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与双曲线有两个交点 B．当 时， 与双曲线没有交点 C．当 时， 与双曲线有两个交点 D．当 时，弦长为 解析：代入并两边乘 得 ，即 ，判别式化简为 。 A： 时判别式为 ，两个交点，正确；此时 给出 ，弦长 ，D 正确。 B： 时二次项 ，方程化为 ，只有一个交点 ，B 错误。 C： 时 ，没有交点，C 错误。 参考答案：AD 11．（填空）直线 与抛物线 交于 两点， 为原点，若 的面积为 ，则 ______。 解析：写成 ，代入得 ，即 ，判别式 ，故 。 ，，。 由 得 ；平方并整理得 ，即 ，后一个因式判别式为负，故 。 核对 ：，判别式 ，，。 参考答案： 12．（解答）已知抛物线 ，直线 过点 与抛物线交于 两点， 为坐标原点。（1）若 ，求 的方程；（2）求 面积的最小值；（3）若点 满足 对任意这样的直线 成立，求 。 解析：设 ，代入 得 ，判别式 恒成立；竖直线 与抛物线只有一个交点，不成弦。 ，，。 （1）由 得 ，即 ，，；直线为 与 。 （2） 给出 ， 时取到最小值 。 （3）直线写成 ，，；同底三角形面积之比即距离之比，，得 或 ，与 无关。 核对（1）：取 ， 的两根差为 ，，与题设一致。 核对（3）：取 、，，，比值为 ； 时 与 分居直线两侧， 仍为 ，面积取绝对值后比值不变。 参考答案：（1） 或 ；（2）；（3） 或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $