圆锥曲线通径模型导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线通径模型 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题回到「方程已知」。上一类题把曲线从条件里求出来，本讲只研究一条弦——通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。它是三种曲线里唯一一条「长度只由基本量决定、与位置无关」的弦：椭圆与双曲线是 ，抛物线是 。教材在椭圆、双曲线的几何性质一节里以「过焦点垂直于长轴的弦长」出现，抛物线一节则把 直接当作 的几何意义，三段合起来就是本讲的第一条结论。 考查形式：通径在卷面上有三种考法。一是直接求长，4–5 分的小题，难度最低；二是作为「焦点弦最短」的依据，用在解答题里定最值、证不等式；三是与另一个焦点构成三角形求周长或面积，选填的压轴位置常见。三个考法都建立在一个前提上——认出「垂直于对称轴」这个位置，所以本讲第一型就是认位置、算长度，后三型全是它的延伸。 第二部分　记·模型与结论 一、一张表：三种曲线的通径 通径的定义只有一句：过焦点且垂直于对称轴的弦。要算它的长，先把三个数定下来——焦点所在轴的半轴长 、另一轴的半轴长 、半焦距 。椭圆与双曲线的通径长都是 ，注意分母是 、分子是 ，不是 ，也不是 。抛物线的通径长是 ， 是焦点到准线的距离，也就是焦参数。 端点坐标可以直接写。椭圆的右焦点是 ，通径所在直线就是 ，代入方程解出 ，所以端点 、；左焦点处横坐标换成 即可。双曲线同理，端点 。抛物线 的焦点是 ，通径端点 ——横坐标是 不是 ，这一处最容易写错。 焦点在 轴上时公式不变，只要把 理解成「焦点所在轴的半轴长」。例如椭圆 的通径仍是 ：把 代进去，得 ，即 ，。双曲线 也一样，因为 这一步两种双曲线都成立。 二、通径是焦点弦里最短的一条 过焦点作一条弦，弦长随方向变化。设弦与对称轴的夹角为 。取参数式 、 代入椭圆方程，得到 的二次方程，两交点的参数之差就是弦长： 。分母里只有 在变：（弦垂直于对称轴，即通径）时分母最大、弦长最短，为 ；（弦沿长轴，即长轴本身）时分母最小、弦长最长，为 。中间的值由连续性取遍，所以椭圆焦点弦长的范围是 。 抛物线有自己的式子：，等号在 取到，最短的仍是通径。双曲线同支的焦点弦也以通径为最短，但多一道门槛——同支的弦必须足够「陡」，要满足 ，否则直线与另一支相交，算出来的不再是同支的弦。这一条本讲只作提醒，不出题。 三、通径与另一个焦点：周长 、面积 设通径 过椭圆的一个焦点 ，另一个焦点为 。由椭圆定义，，而 ，故 ，同理 。三边相加：，合并得 。周长与 、 都无关，恒等于长轴长的两倍，这是通径最漂亮的一条性质。 面积用「通径为底、两焦点距离为高」：底是 ，高是 ，故 ，即 。不要在三角形内部另作高， 已经给了现成的高。 双曲线要改符号。同支上 ，故 ，周长变成 ，随 变，不再是定值；面积仍是 ，因为底与高都没变。把椭圆的 照搬到双曲线上会得到负数，这一步要停下来检查符号。 四、通径长与离心率： 与 把 换成 ，通径长可以只用 与 表示：椭圆 ，即 ；双曲线 ，即 。两条式子的差别只在括号里的符号，与 的两种算法一一对应。 这个写法在两个地方省事。一是已知 反求通径：不必先算 ，一步到位。二是判断「通径与长轴谁大」：椭圆里 ，，故通径 ，即通径永远短于长轴；双曲线里 ， 可以很大，通径可以超过实轴，例如 的通径是 、实轴是 。选择题里常拿这一条设陷阱。 抛物线的对应说法是没有 （恒为 ），通径就是 。椭圆那一支的 不能直接拿来取极限：若固定 而让 ，这个量趋于 ，与抛物线的 对不上。原因在于抛物线不是「 固定的椭圆」，而是 与 同时发生，此时 并不趋于 。这一点知道结论即可，不必深究。 五、反求：由通径长与焦距定 、 给「通径长 + 焦距 」反求方程，是四步：先由焦距得 ；再把 与 （椭圆）或 （双曲线）联立，消去 得 的一元二次方程；解出 ，只在椭圆取 、双曲线取 的那个根，另一根舍去；最后回代求 。 抛物线简单得多：通径长就是 ，一步得 ，不必解二次方程；剩下的只是把 放进与开口方向匹配的那个标准形式里。 解出来的两个根一定一正一负（因为常数项为负），所以「舍负根」这一步永远不会丢掉合法解，可以放心。要小心的是另一件事：椭圆与双曲线的 表达式只差一个符号，代错方向会算出 ，此时应当立刻停笔，回到「 与 谁大」重新确认曲线类型。 第三部分　破·典型题型 题型一　通径长与端点：三种曲线一个式子 【解题技巧】先认位置：题干出现「过焦点且垂直于对称轴」，就是通径。定三个数——焦点所在轴的半轴长 、另一轴的半轴长 、半焦距 。椭圆与双曲线写 ：分母 、分子 ，别写成 或 。抛物线写 ， 是焦点到准线的距离。端点坐标统一记：横（纵）坐标与焦点相同，另一坐标是 或 ；抛物线端点的横坐标是 ，不是 。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 与点 的坐标。 【变式1-1】 已知双曲线 的右焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 与点 的坐标。 【变式1-2】 已知抛物线 的焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 、点 的坐标，以及 。 题型二　最短的焦点弦：通径是等号位置 【解题技巧】过焦点的弦长随方向变化，最短的一条就是通径，这一条要能说清「为什么」。椭圆上，弦与对称轴的夹角为 ， 越大弦越长： 时取到最短，长度就是通径 ； 时取到最长，等于长轴 。抛物线上，弦长的分母是 ，不超过 ，故弦长不小于 。求范围时两头都要给出，只说「最短是通径」不得分。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的弦为 。求 的最小值，以及取最小值时直线 的方程。 【变式2-1】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦为 。求 的最小值。 【变式2-2】 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的弦为 。求 的取值范围。 题型三　通径与另一个焦点：周长与面积 【解题技巧】记两条：椭圆上通径端点到本焦点的距离是 ，由定义得它到另一焦点的距离是 ；双曲线同支上则是 与 。周长把三段相加，椭圆的答案恒为 ，与 、 无关。面积用「通径为底、 为高」，得 ，不必在三角形里另找高。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的周长。 【变式3-1】 已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的面积。 【变式3-2】 已知双曲线 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的周长与面积。 题型四　由通径反求参数与方程 【解题技巧】抛物线最简单：通径长就是 ，一步得 。 对应开口向上或向下， 对应开口向左或向右，两种写法先定下来再代 。椭圆与双曲线四步走：焦距给 ； 与 联立消 ，得 的二次方程；解出后椭圆取 、双曲线取 ，另一根必舍；回代求 。解完把 、 代回 验一遍。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点、开口向上，通径长为 。求它的标准方程、焦点坐标与准线方程。 【变式4-1】 已知椭圆的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 。求椭圆的标准方程。 【变式4-2】 已知双曲线的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 。求双曲线的标准方程。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）抛物线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）关于椭圆过焦点的弦，下列说法正确的是（　　） A．垂直于长轴时最短 B．沿长轴时最短 C．长度与弦的方向无关 D．不存在最小值 5．（多选）关于通径，下列说法正确的是（　　） A．通径是过焦点且垂直于对称轴的弦 B．椭圆与双曲线的通径长都是 C．抛物线 的通径端点横坐标为 D．椭圆过焦点的弦中，通径最短 6．（填空）已知椭圆的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 ，则椭圆的标准方程为 ______。 7．（解答）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。（1）求 ；（2）求 的周长与面积。 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）椭圆 过焦点的弦中，最长与最短之比为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于双曲线 的通径，下列说法正确的是（　　） A．通径长为 B．通径端点到两焦点的距离之差为 C．通径端点到较远焦点的距离为 D．通径长一定小于实轴长 11．（填空）抛物线 的通径长为 ______，通径端点到准线的距离为 ______。 12．（解答）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的弦为 。（1）求 的最小值；（2）若 为通径，求 的面积。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线通径模型 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题回到「方程已知」。上一类题把曲线从条件里求出来，本讲只研究一条弦——通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。它是三种曲线里唯一一条「长度只由基本量决定、与位置无关」的弦：椭圆与双曲线是 ，抛物线是 。教材在椭圆、双曲线的几何性质一节里以「过焦点垂直于长轴的弦长」出现，抛物线一节则把 直接当作 的几何意义，三段合起来就是本讲的第一条结论。 考查形式：通径在卷面上有三种考法。一是直接求长，4–5 分的小题，难度最低；二是作为「焦点弦最短」的依据，用在解答题里定最值、证不等式；三是与另一个焦点构成三角形求周长或面积，选填的压轴位置常见。三个考法都建立在一个前提上——认出「垂直于对称轴」这个位置，所以本讲第一型就是认位置、算长度，后三型全是它的延伸。 第二部分　记·模型与结论 一、一张表：三种曲线的通径 通径的定义只有一句：过焦点且垂直于对称轴的弦。要算它的长，先把三个数定下来——焦点所在轴的半轴长 、另一轴的半轴长 、半焦距 。椭圆与双曲线的通径长都是 ，注意分母是 、分子是 ，不是 ，也不是 。抛物线的通径长是 ， 是焦点到准线的距离，也就是焦参数。 端点坐标可以直接写。椭圆的右焦点是 ，通径所在直线就是 ，代入方程解出 ，所以端点 、；左焦点处横坐标换成 即可。双曲线同理，端点 。抛物线 的焦点是 ，通径端点 ——横坐标是 不是 ，这一处最容易写错。 焦点在 轴上时公式不变，只要把 理解成「焦点所在轴的半轴长」。例如椭圆 的通径仍是 ：把 代进去，得 ，即 ，。双曲线 也一样，因为 这一步两种双曲线都成立。 二、通径是焦点弦里最短的一条 过焦点作一条弦，弦长随方向变化。设弦与对称轴的夹角为 。取参数式 、 代入椭圆方程，得到 的二次方程，两交点的参数之差就是弦长： 。分母里只有 在变：（弦垂直于对称轴，即通径）时分母最大、弦长最短，为 ；（弦沿长轴，即长轴本身）时分母最小、弦长最长，为 。中间的值由连续性取遍，所以椭圆焦点弦长的范围是 。 抛物线有自己的式子：，等号在 取到，最短的仍是通径。双曲线同支的焦点弦也以通径为最短，但多一道门槛——同支的弦必须足够「陡」，要满足 ，否则直线与另一支相交，算出来的不再是同支的弦。这一条本讲只作提醒，不出题。 三、通径与另一个焦点：周长 、面积 设通径 过椭圆的一个焦点 ，另一个焦点为 。由椭圆定义，，而 ，故 ，同理 。三边相加：，合并得 。周长与 、 都无关，恒等于长轴长的两倍，这是通径最漂亮的一条性质。 面积用「通径为底、两焦点距离为高」：底是 ，高是 ，故 ，即 。不要在三角形内部另作高， 已经给了现成的高。 双曲线要改符号。同支上 ，故 ，周长变成 ，随 变，不再是定值；面积仍是 ，因为底与高都没变。把椭圆的 照搬到双曲线上会得到负数，这一步要停下来检查符号。 四、通径长与离心率： 与 把 换成 ，通径长可以只用 与 表示：椭圆 ，即 ；双曲线 ，即 。两条式子的差别只在括号里的符号，与 的两种算法一一对应。 这个写法在两个地方省事。一是已知 反求通径：不必先算 ，一步到位。二是判断「通径与长轴谁大」：椭圆里 ，，故通径 ，即通径永远短于长轴；双曲线里 ， 可以很大，通径可以超过实轴，例如 的通径是 、实轴是 。选择题里常拿这一条设陷阱。 抛物线的对应说法是没有 （恒为 ），通径就是 。椭圆那一支的 不能直接拿来取极限：若固定 而让 ，这个量趋于 ，与抛物线的 对不上。原因在于抛物线不是「 固定的椭圆」，而是 与 同时发生，此时 并不趋于 。这一点知道结论即可，不必深究。 五、反求：由通径长与焦距定 、 给「通径长 + 焦距 」反求方程，是四步：先由焦距得 ；再把 与 （椭圆）或 （双曲线）联立，消去 得 的一元二次方程；解出 ，只在椭圆取 、双曲线取 的那个根，另一根舍去；最后回代求 。 抛物线简单得多：通径长就是 ，一步得 ，不必解二次方程；剩下的只是把 放进与开口方向匹配的那个标准形式里。 解出来的两个根一定一正一负（因为常数项为负），所以「舍负根」这一步永远不会丢掉合法解，可以放心。要小心的是另一件事：椭圆与双曲线的 表达式只差一个符号，代错方向会算出 ，此时应当立刻停笔，回到「 与 谁大」重新确认曲线类型。 第三部分　破·典型题型 题型一　通径长与端点：三种曲线一个式子 【解题技巧】先认位置：题干出现「过焦点且垂直于对称轴」，就是通径。定三个数——焦点所在轴的半轴长 、另一轴的半轴长 、半焦距 。椭圆与双曲线写 ：分母 、分子 ，别写成 或 。抛物线写 ， 是焦点到准线的距离。端点坐标统一记：横（纵）坐标与焦点相同，另一坐标是 或 ；抛物线端点的横坐标是 ，不是 。 【教学提醒】第一题把端点坐标与焦点坐标并排写在黑板上，学生能直接看出「横坐标一样、纵坐标是 不是 」。第二题换双曲线，重点强调 ， 比 大，所以 有可能比 还大，端点跑到顶点的外侧去了，这与椭圆的直觉相反。第三题抛物线，先把 从 里分出来（ 给 ），再写端点 ，最后补一句「端点到焦点的距离恰是 」，三条结论互相印证。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 与点 的坐标。 解析：、，故 ，右焦点 ，通径所在直线为 。 把 代入椭圆方程：，得 ，。 故 、，，与公式 一致。 端点纵坐标的绝对值就是 ，比 小，因为通径端点在椭圆「里面」，不会超出短轴。 参考答案：， 【学情易错提醒】把端点纵坐标写成 或 ，忘了除以 ；前者会得 ，后者会得 ，两个数与正确答案都差得很远，但过程看上去都对。另一处是把通径所在的直线写成 （当成过原点），代入后得 ，恰好是短轴的两个端点，答案变成短轴长 ——这是把「过焦点」读成了「过中心」。 【变式1-1】 已知双曲线 的右焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 与点 的坐标。 解析：、，故 ，右焦点 ，通径所在直线为 。 代入方程：，得 ，。 故 ，，与 一致。 注意 ，比 还大：通径端点的纵坐标比实半轴还大，端点在顶点 的右上方，双曲线的开口越「阔」，这个差越大。 参考答案：， 【学情易错提醒】用椭圆的 算 ，得 ，卡在根号里；此时应当立刻想到「双曲线里 最大」，改回 。另一处是把通径端点写成 ，用了顶点横坐标——通径过的是焦点，横坐标必须是 ；写成 代入会得 ，只剩一个点，看不出错。 【变式1-2】 已知抛物线 的焦点为 ，过 作垂直于 轴的弦 。求 、点 的坐标，以及 。 解析：由 得 ，故 ，焦点 ，准线 ，通径所在直线为 。 代入：，，故 、，。 ，恰等于 。这个数不是巧合：抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，端点 到准线的距离是 ，所以 。 参考答案：，， 【学情易错提醒】把 当成 ，于是焦点写成 、端点写成 ，通径长变成 ，整题翻倍。 与 差一个 ，这一步在抛物线的题里错得最多。另一处是把端点横坐标写成 （应为 ），代入后发现 、开不尽，却仍把 当答案写下去。 题型二　最短的焦点弦：通径是等号位置 【解题技巧】过焦点的弦长随方向变化，最短的一条就是通径，这一条要能说清「为什么」。椭圆上，弦与对称轴的夹角为 ， 越大弦越长： 时取到最短，长度就是通径 ； 时取到最长，等于长轴 。抛物线上，弦长的分母是 ，不超过 ，故弦长不小于 。求范围时两头都要给出，只说「最短是通径」不得分。 【教学提醒】第一题不要一上来代公式，先问「什么时候最短」——学生答出「垂直于对称轴」之后，再把通径长算出来，两条路对得上，公式才算真懂。第二题抛物线用 ，让学生看 时 、分母最大；顺便问一句「弦能不能短到 」，答案是过焦点的弦再短也要穿过焦点，最短是通径。第三题求范围，必须两头都写：最短是通径、最长是长轴；中间为什么取得到，用「 从 连续变到 」一句话交代，不必证明单调。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的弦为 。求 的最小值，以及取最小值时直线 的方程。 解析：、、，右焦点 。 过焦点的弦长 ，其中 为弦与 轴的夹角。分母在 时最大，此时弦长最小。 最小值为 ，即通径长；取最小值时 ，直线垂直于 轴，方程为 。 另一头对照： 时弦长 ，正是 ，符合「最长是长轴」。 参考答案： 的最小值为 ，此时直线 的方程为 【学情易错提醒】把最小值当成 ：这是焦点到较近顶点的距离的两倍，几何上根本不是弦。另一处是算成 （漏了除以 ），或算成 （漏了乘 ）——三个数 、、 都在 附近，写错一个很难自查，最好每次都回到「通径端点纵坐标是 ，弦长是它的两倍」这条定义上验一遍。 【变式2-1】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦为 。求 的最小值。 解析：由 得 ，，焦点 。 过焦点的弦长 ，等号在 时取到，即弦垂直于 轴、也就是通径。 故最小值为 ，此时直线为 ，端点 ，两点距离确实是 。 参考答案： 的最小值为 【学情易错提醒】把 当成 ，最小值写成 ；或把最小值当成 ，理由说「弦可以无限短」——过焦点的弦必须穿过焦点，再短也要穿过，最短就是通径。另一处是把等号条件写成「弦过顶点」，顶点不在焦点上，过顶点的弦与抛物线只有一个交点，连弦都算不上。 【变式2-2】 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的弦为 。求 的取值范围。 解析：、、。弦长通式 ，分母在 上取值，故 时取最小值 ； 时取最大值 ，即长轴 。 中间的值随 连续变化而取遍，故 。 两头都能核对：最小值 大于焦距 ，说明通径确实比「两点间最短距离」长；最大值 恰是长轴，此时弦的两个端点就是两个顶点。 参考答案： 【学情易错提醒】只给最小值不给最大值，或写「」而漏掉上界。另一处是用 ： 是焦点到较近顶点的距离的两倍， 甚至超过了长轴 ，而弦的两个端点都在椭圆上，长度不可能超过长轴。一句话即可自查：焦点弦再长也长不过长轴。 题型三　通径与另一个焦点：周长与面积 【解题技巧】记两条：椭圆上通径端点到本焦点的距离是 ，由定义得它到另一焦点的距离是 ；双曲线同支上则是 与 。周长把三段相加，椭圆的答案恒为 ，与 、 无关。面积用「通径为底、 为高」，得 ，不必在三角形里另找高。 【教学提醒】板演时把 与 并排写成两行，让学生自己推出 ，比直接给结论牢。双曲线那一题要改符号：，写完之后追问「周长还是定值吗」，学生算出 就知道不是。面积一题先问「底和高各是什么」，学生若答「作高」，就提醒 本身就是高，不用再作。三题做完补一句「椭圆周长恒为 是通径独有的性质，换成别的弦就不成立」。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的周长。 解析：、、。通径长 ，且 、 到 的距离各为 。 由椭圆定义，，即 ，同理 。 周长 ，把三段代入得 ，恰好等于 ，与 、 无关。 也可以直接用结论：，合并得 ， 整项消掉，所以这个周长对任何椭圆都是 。 参考答案： 的周长为 【学情易错提醒】把 当成 ，于是 ，周长带根号且不等于 。另一处是把周长写成 ——分子上确实等于 ，但分母该用 ；写成 之后三段都在通径上，答案变成 ，且失去了「用椭圆定义」这一步。还有一处是逐项算 ，代入 也能得到 ，但要多算一次开方，考场上不划算。 【变式3-1】 已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的面积。 解析：、、。通径长 ，即 。 垂直于 轴，故 ，取 为底，高就是 。 ，与公式 一致。 参考答案： 的面积为 【学情易错提醒】高用 而不是 ，得 —— 与 都在 轴上，底边 到这条轴的距离就是两焦点的距离 ，不是半焦距。另一处是把 算成 （漏除 ），面积变成 。还有一处是忘了「通径端点纵坐标是 」，直接用 当高。 【变式3-2】 已知双曲线 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。求 的周长与面积。 解析：、、。通径长 ，即 ；、 到 的距离各为 。 在右支上，由双曲线定义 ，故 ，同理 。 周长 ，得 ；面积 ，把 代入得 。 对照椭圆：若照搬 ，立刻出现负数，说明符号取反了。双曲线同支上「到另一焦点更远」，这一点与椭圆相反。 参考答案：周长为 ，面积为 【学情易错提醒】照抄椭圆的 ，得 ，负距离不可能，但有人会写成 继续算。另一处是把通径端点放在左支： 满足方程，但 是右支，过右焦点的竖直线只与右支相交。还有一处是面积的高用 ，得 ——高应当是 ，这一处最容易漏。 题型四　由通径反求参数与方程 【解题技巧】抛物线最简单：通径长就是 ，一步得 。 对应开口向上或向下， 对应开口向左或向右，两种写法先定下来再代 。椭圆与双曲线四步走：焦距给 ； 与 联立消 ，得 的二次方程；解出后椭圆取 、双曲线取 ，另一根必舍；回代求 。解完把 、 代回 验一遍。 【教学提醒】第一题先问「通径长 8 是什么意思」，学生答「」之后再问「 是几」，最后才问「开口向上该写哪个形式」——三步都答对再动笔，能挡掉「写成 」这个最常见的错。第二题把二次方程 写在黑板上，两个根一个正一个负，让学生说为什么舍负（半轴长为正）。第三题只改一个符号（），让学生自己推，推完对照第二题的式子，看两处差别。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点、开口向上，通径长为 。求它的标准方程、焦点坐标与准线方程。 解析：通径长为 ，故 。 开口向上，标准形式为 ，代入 得 。 焦点在 轴正半轴上，为 ；准线为 。核对：通径端点 在抛物线上（），且到焦点 的距离为 。 参考答案：，焦点 ，准线 【学情易错提醒】写成 ： 没错，但开口方向错了—— 是开口向右，与「开口向上」矛盾。另一处是把 当成 ，得 、焦点 ，通径长变成 ，比题给的大一倍。还有一处是把焦点写成 （把 当成了焦参数），或把准线写成 。 【变式4-1】 已知椭圆的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 。求椭圆的标准方程。 解析：焦距 ，故 ，。 由 得 ，即 。 解得 或 ，半轴长为正，取 ，故 ，方程为 。 回代核对：，与题给一致；，焦距 ，也对。 参考答案： 【学情易错提醒】把焦距 当成 ，写成 、，方程越算越乱。另一处是用双曲线的 ，得 ，代进去得到 ，解出 为负、只能放弃。还有一处是把负根 也保留，写出两个方程。 【变式4-2】 已知双曲线的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 。求双曲线的标准方程。 解析：焦距 ，故 ，。 由 得 ，即 。 解得 或 ，取 ，故 ，方程为 。 回代核对：，与题给一致；，焦距 ，也对。并且 ，符合双曲线的要求。 参考答案： 【学情易错提醒】用椭圆的 ，得 ，代进去解出 的方程 ，，于是 ，得到 ——形式对、条件全不符（，成了椭圆的关系）。另一处是忘了 这条，两个正根都留着。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D． 解析：、，通径长 。 是 （漏除 ）， 是 （漏乘 ）， 是长轴 。 参考答案：A 2．（单选）抛物线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 解析：由 得 ，通径长就是 。 是 ， 是 算错了， 是 。本题的通径长与焦参数 的两倍相等，等于 。 参考答案：B 3．（单选）双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 解析：、，通径长 。 是 （漏乘 ）， 是 （漏除 ）， 是把 当成 算的。 参考答案：A 4．（单选）关于椭圆过焦点的弦，下列说法正确的是（　　） A．垂直于长轴时最短 B．沿长轴时最短 C．长度与弦的方向无关 D．不存在最小值 解析：弦长 ，分母在 时最大，此时弦垂直于长轴，长度最短，为通径 。 沿长轴时 ，分母最小、弦最长，等于 ，所以 B 反了；弦长随方向变化，C 错；最小值存在，D 错。 参考答案：A 5．（多选）关于通径，下列说法正确的是（　　） A．通径是过焦点且垂直于对称轴的弦 B．椭圆与双曲线的通径长都是 C．抛物线 的通径端点横坐标为 D．椭圆过焦点的弦中，通径最短 解析： 项是定义，正确。 项：椭圆与双曲线都满足 ， 型曲线只要把 理解为焦点所在轴的半轴长，公式不变，正确。 项错：焦点是 ，通径所在直线 ，代入得 ，端点应是 ，横坐标不是 。 项：弦长分母 在 时最大，对应通径，正确。 参考答案：ABD 6．（填空）已知椭圆的焦点在 轴上，通径长为 ，焦距为 ，则椭圆的标准方程为 ______。 解析：，，。由 得 ，即 。 解得 或 ，取 ，，方程为 。 回代：，对；，焦距 ，也对。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，过 的通径为 。（1）求 ；（2）求 的周长与面积。 解析：（1）、、，，即 。 （2）、 到 的距离各为 ，由定义 ，即 ，同理 。 周长 ，等于 。 面积：以 为底，高为 ，，与 一致。 参考答案：（1）；（2）周长为 ，面积为 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）双曲线 的通径长为（　　） A． B． C． D． 解析：这是焦点在 轴上的双曲线，、，焦点 。通径过焦点且垂直于 轴，即直线 。 代入：，得 ，，故通径长为 ，与 一致。 是半条通径（等于 ）， 是 ， 是 。 参考答案：A 9．（单选）椭圆 过焦点的弦中，最长与最短之比为（　　） A． B． C． D． 解析：最长为长轴 ，最短为通径 。 比值 ，化简得 。 是把最短写成 ， 是凭感觉， 是算反了。 参考答案：A 10．（多选）关于双曲线 的通径，下列说法正确的是（　　） A．通径长为 B．通径端点到两焦点的距离之差为 C．通径端点到较远焦点的距离为 D．通径长一定小于实轴长 解析：、、，通径长 ， 正确。 通径端点在右支上，到两焦点的距离之差为 ， 正确。 端点到本焦点（右焦点）的距离为 ，到较远焦点为 ， 正确。 实轴长 ，而通径长 ， 错。椭圆里通径必短于长轴，双曲线没有这个限制，这是两者最容易混淆的一处。 参考答案：ABC 11．（填空）抛物线 的通径长为 ______，通径端点到准线的距离为 ______。 解析：由 得 ，，通径长为 。 焦点 ，通径端点 ；准线 ，端点到准线的距离为 ，等于 。 端点到焦点的距离也等于 ，与「到焦点与到准线等距」一致。 参考答案：； 12．（解答）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的弦为 。（1）求 的最小值；（2）若 为通径，求 的面积。 解析：（1）、、。过焦点的弦长 ， 时分母最大、弦最短，最小值为 。 （2）通径长为 ，且 ，取 为底，高为 。 ，与 一致。 两端对照： 时弦长为 ，故本题的弦长取值范围是 ，第（1）问求的正是左端点。 参考答案：（1）；（2） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $