微专题圆锥曲线存在性探究导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线存在性探究 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长、面积、定点、定值几类计算。联立与韦达这条通法在那里分别用来算数值、求共点、证定值，本讲把目标换成「有没有」：题设给一组条件，要求判断满足条件的点、直线或参数是否存在，存在则求出，不存在则说明理由。教材在直线与圆锥曲线一节里没有单独的小节，但近五年解答题第（2）问的「是否存在」型设问稳定出现，且评分点多落在「设出参数、列出方程、解出、验证」这四步上，缺一步就要扣过程分。全讲按四层展开：先做过定点的弦能否满足斜率或数量积条件，再做关于某直线对称的两点，第三层处理曲线上的点与定点构成的向量条件，最后一层把目标量写成含参数的式子，先看范围再解方程。 考查形式：存在性题的常见目标有四类：过定点的弦满足某个斜率或数量积条件；曲线上存在关于已知直线对称的两点；曲线上存在点与两个定点构成直角或等距；存在某条直线使弦长、面积取给定值。前三类多以解答题出现，第四类兼有小题。答案形态有三种：存在且参数唯一、存在且参数有两个、不存在。近五年全国卷与新高考卷里，「不存在」的判定往往比求解更考功夫，因为要说清「为什么解不出」——是方程无实根、解出的点在曲线外，还是目标量本身取不到该值。本讲四类都给出至少一个「不存在」的样本；求定点坐标、证明某量为定值，是另两类题的任务。 第二部分　记·模型与结论 一、四步格式：假设—列式—求解—验证 存在性题的答案无论「存在」还是「不存在」，书写都走同一条线。第一步把要判断的对象设出来：直线设成 或 ，点设成 或参数形式上的点。第二步把题给条件译成含参数的方程，凡是出现交点的地方都联立并写出韦达式。第三步解这个方程，得到参数的候选值。第四步把候选值代回，逐条核对。 第四步的核对有三查，缺一条都可能把错误答案写进卷面。一查判别式： 才有两个不同交点， 时只有一个，此时「弦」「两点」的说法都不成立。二查曲线自身的范围：椭圆上 、抛物线上 、双曲线上 ，解出的点若跑出这个范围，就是「方程有解而曲线上没有这个点」。三查退化：两点是否重合、直线是否过顶点或与渐近线平行、斜率是否不存在。 写成「不存在」的时候，不要把「解不出来」当成理由，要把三查里失败的那一条写清楚。例如「代入得关于 的方程 ，无实数解，故不存在这样的直线」，比「化简后发现矛盾」更有说服力。 二、把条件化成一元方程：解的个数就是答案的形态 绝大多数存在性题化简到最后，都是「关于参数的一元二次方程有几个实根」。一次方程至多一根，答案唯一；二次方程看判别式，两根即两解；若化简后 的系数与常数项同号、方程形如 ，直接判定无解。这一步的判断依据是方程本身，不必回到图形上去猜。 含参问题还要留意「解得两个值，但只有一个合格」的情形：一个值使两点重合或使直线与曲线相切，另一个才可用。凡出现这种情形，答题时须把被舍去的值与舍去理由一并写出，只写剩下的那个值会被扣分。 参数出现在分母上时，先记下分母不为零的条件。例如设 后，斜率积的分母是 ，它为零对应某条斜率不存在的直线，这个值要在解出之后单独检查。 三、对称点：垂直与中点两件套 「曲线上存在关于直线 对称的两点」这句话拆开就是两件事：两点连线垂直于 ，两点的中点在 上。把中点记作 ，连线斜率记作 ，则由点差法得中点所在的关系式。椭圆 给 ，双曲线给 ，抛物线 给 。 这一式只说明「中点必须在某条直线上」，还要补一条：以 为中点、斜率为 的弦真的存在。椭圆的情形最干净，条件是 落在椭圆内部，即把 的坐标代入椭圆方程左侧后小于 ；抛物线 的条件是 ，即 落在开口一侧。两条合起来，再让 落在 上，就把「存在」化成了关于截距的不等式。 双曲线要格外小心：以 为中点的弦存在，不等于 落在「两支之间」的区域；上式中的那个量，大于 或小于 都可能有弦，只看符号会误判。初学阶段建议绕开双曲线，把椭圆与抛物线的判据用熟；考场上遇到双曲线，直接回到 去算，慢一点但不会错。 四、曲线上存在点 使 把「」译成 ，展开就是 ，这是以 为直径的圆的方程（当 不重合时）。于是问题变成：这个圆与曲线有没有公共点。两式联立消去 ，得到一个关于 的方程，解出 后再由曲线方程定 。 解出的点必须逐条核对：在曲线上、与 、 都不重合。若 本身就在曲线上，端点往往也是解，此时要舍去，否则会把「 与 重合」当成答案。同理， 译成「 在 的中垂线上」，问题变成中垂线与曲线的交点个数，解完之后同样要核对。 若消元后得到 等于一个负数，或 等于的值不满足曲线自身的范围（例如双曲线上 、抛物线上 ），结论就是「不存在」。这一判断与「方程无实根」是两件事，答题时分别落到「无解」与「解不合范围」两句话上。 五、先看范围，再解方程 第四类题问「是否存在某条直线，使面积为 」，标准做法是先把目标量写成含参数的式子，再令它等于 。但更省力的顺序是先看这个式子的取值范围：若它恒大于 （或恒小于），一句话即可判定不存在，不必解方程；若 落在取值范围内，再解方程，并检验解出的参数是否满足 。 两个常用表达式：椭圆 与 相交时，，其最大值 在两轴端点取到；抛物线 与 相交时，，其中 。两个式子都把「参数」与「目标量」的依赖关系摆在明面上，取不到的值可直接看出。 「存在」与「恒成立」是两种不同的问法。问「是否存在 使……」，答出一个 就够，不必说明其他 如何；问「对任意 是否……」，则要给出与 无关的结论。定值一类处理的是后者，本讲处理前者，答题时开头那句话就要写对：「假设存在 ，使……」而不是「对任意 ，有……」。 第三部分　破·典型题型 题型一　过定点的弦：条件能否取到 【解题技巧】先设 ，把两个交点写进韦达式，再把待检的量用 表示。斜率积写成 、数量积写成 ，代入韦达后通分，得到一个含 的式子。令它等于题给的值，解 ，最后用 与「两点不重合」核对。若化简结果与 无关，则这个量对任何直线都取同一个值，题给的值除恰好等于它之外一律「不存在」。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由。 【变式1-1】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由。 【变式1-2】 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程与 的值；若不存在，说明理由。 题型二　关于直线对称的两点是否存在 【解题技巧】把「存在关于 对称的两点」拆成两条：连线垂直于 、中点在 上。设中点为 ，用点差法写出中点与连线斜率的关系：椭圆 ，抛物线 给 。连线的斜率由 的斜率定出（互为负倒数），于是 与 成比例；再用 把 用截距表示，最后代入「弦存在」的条件（椭圆：中点坐标代入方程左侧小于 ；抛物线：），得到关于截距的不等式。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 。椭圆上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 【变式2-1】 已知椭圆 ，直线 。椭圆上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 【变式2-2】 已知抛物线 ，直线 。抛物线 上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 题型三　曲线上是否存在点满足向量或距离条件 【解题技巧】把条件译成点的坐标方程： 译成 ，这是一条过 的圆； 译成 在 的中垂线上，这是一条直线。再把这条圆（或直线）与曲线联立，消元后解出 ，回代定 。最后三查：解出的点在曲线上、与 不重合、个数是否被题目的措辞限定。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，、。椭圆上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 【变式3-1】 已知双曲线 ，、。双曲线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 【变式3-2】 已知抛物线 ，、。抛物线 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 题型四　是否存在参数使面积或弦长取给定值 【解题技巧】先把目标量写成含参数的式子，再令它等于题给的值。写出式子时优先用「底×高」的拆法：直线过 轴上的定点 时，，其中 由韦达给出；弦长用 （设 时）。解方程之前先看这个式子的取值范围：若目标值落在范围之外，一句话即可判定不存在。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【变式4-1】 已知抛物线 ，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 ，直线 。若抛物线 上存在关于 对称的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆 ，、。若点 在 上且 ，则这样的点 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D．无穷多个 3．（单选）已知椭圆 ，、。下列点中，能使 的是（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知椭圆 ，、。关于椭圆上满足 的点 ，下列说法正确的是（　　） A．存在，且只有一个 B．存在两个 C．不存在 D．存在无穷多个 5．（多选）已知双曲线 ，直线 。若 与 只有一个公共点，则 的值可以是（　　） A． B． C． D． 6．（填空）已知椭圆 ，、。若椭圆上存在点 使 ，则点 的坐标为 ______。 7．（解答）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断是否存在 使 ；（2）是否存在 使 ？若存在，求出 的方程。 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知抛物线 ，直线 。若抛物线 上存在关于 对称的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知双曲线 ，、。若双曲线上存在点 使 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D．不存在这样的点 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点，直线 。下列说法正确的是（　　） A．过 的弦都有 B．存在过 的弦使 C． 上存在关于 的对称点当且仅当 D．存在过 的弦使 11．（填空）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 的面积等于 ，则 的值为 ______。 12．（解答）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。（1）判断是否存在 使 ；（2）是否存在 使 ？若存在，求出 的值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线存在性探究 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长、面积、定点、定值几类计算。联立与韦达这条通法在那里分别用来算数值、求共点、证定值，本讲把目标换成「有没有」：题设给一组条件，要求判断满足条件的点、直线或参数是否存在，存在则求出，不存在则说明理由。教材在直线与圆锥曲线一节里没有单独的小节，但近五年解答题第（2）问的「是否存在」型设问稳定出现，且评分点多落在「设出参数、列出方程、解出、验证」这四步上，缺一步就要扣过程分。全讲按四层展开：先做过定点的弦能否满足斜率或数量积条件，再做关于某直线对称的两点，第三层处理曲线上的点与定点构成的向量条件，最后一层把目标量写成含参数的式子，先看范围再解方程。 考查形式：存在性题的常见目标有四类：过定点的弦满足某个斜率或数量积条件；曲线上存在关于已知直线对称的两点；曲线上存在点与两个定点构成直角或等距；存在某条直线使弦长、面积取给定值。前三类多以解答题出现，第四类兼有小题。答案形态有三种：存在且参数唯一、存在且参数有两个、不存在。近五年全国卷与新高考卷里，「不存在」的判定往往比求解更考功夫，因为要说清「为什么解不出」——是方程无实根、解出的点在曲线外，还是目标量本身取不到该值。本讲四类都给出至少一个「不存在」的样本；求定点坐标、证明某量为定值，是另两类题的任务。 第二部分　记·模型与结论 一、四步格式：假设—列式—求解—验证 存在性题的答案无论「存在」还是「不存在」，书写都走同一条线。第一步把要判断的对象设出来：直线设成 或 ，点设成 或参数形式上的点。第二步把题给条件译成含参数的方程，凡是出现交点的地方都联立并写出韦达式。第三步解这个方程，得到参数的候选值。第四步把候选值代回，逐条核对。 第四步的核对有三查，缺一条都可能把错误答案写进卷面。一查判别式： 才有两个不同交点， 时只有一个，此时「弦」「两点」的说法都不成立。二查曲线自身的范围：椭圆上 、抛物线上 、双曲线上 ，解出的点若跑出这个范围，就是「方程有解而曲线上没有这个点」。三查退化：两点是否重合、直线是否过顶点或与渐近线平行、斜率是否不存在。 写成「不存在」的时候，不要把「解不出来」当成理由，要把三查里失败的那一条写清楚。例如「代入得关于 的方程 ，无实数解，故不存在这样的直线」，比「化简后发现矛盾」更有说服力。 二、把条件化成一元方程：解的个数就是答案的形态 绝大多数存在性题化简到最后，都是「关于参数的一元二次方程有几个实根」。一次方程至多一根，答案唯一；二次方程看判别式，两根即两解；若化简后 的系数与常数项同号、方程形如 ，直接判定无解。这一步的判断依据是方程本身，不必回到图形上去猜。 含参问题还要留意「解得两个值，但只有一个合格」的情形：一个值使两点重合或使直线与曲线相切，另一个才可用。凡出现这种情形，答题时须把被舍去的值与舍去理由一并写出，只写剩下的那个值会被扣分。 参数出现在分母上时，先记下分母不为零的条件。例如设 后，斜率积的分母是 ，它为零对应某条斜率不存在的直线，这个值要在解出之后单独检查。 三、对称点：垂直与中点两件套 「曲线上存在关于直线 对称的两点」这句话拆开就是两件事：两点连线垂直于 ，两点的中点在 上。把中点记作 ，连线斜率记作 ，则由点差法得中点所在的关系式。椭圆 给 ，双曲线给 ，抛物线 给 。 这一式只说明「中点必须在某条直线上」，还要补一条：以 为中点、斜率为 的弦真的存在。椭圆的情形最干净，条件是 落在椭圆内部，即把 的坐标代入椭圆方程左侧后小于 ；抛物线 的条件是 ，即 落在开口一侧。两条合起来，再让 落在 上，就把「存在」化成了关于截距的不等式。 双曲线要格外小心：以 为中点的弦存在，不等于 落在「两支之间」的区域；上式中的那个量，大于 或小于 都可能有弦，只看符号会误判。初学阶段建议绕开双曲线，把椭圆与抛物线的判据用熟；考场上遇到双曲线，直接回到 去算，慢一点但不会错。 四、曲线上存在点 使 把「」译成 ，展开就是 ，这是以 为直径的圆的方程（当 不重合时）。于是问题变成：这个圆与曲线有没有公共点。两式联立消去 ，得到一个关于 的方程，解出 后再由曲线方程定 。 解出的点必须逐条核对：在曲线上、与 、 都不重合。若 本身就在曲线上，端点往往也是解，此时要舍去，否则会把「 与 重合」当成答案。同理， 译成「 在 的中垂线上」，问题变成中垂线与曲线的交点个数，解完之后同样要核对。 若消元后得到 等于一个负数，或 等于的值不满足曲线自身的范围（例如双曲线上 、抛物线上 ），结论就是「不存在」。这一判断与「方程无实根」是两件事，答题时分别落到「无解」与「解不合范围」两句话上。 五、先看范围，再解方程 第四类题问「是否存在某条直线，使面积为 」，标准做法是先把目标量写成含参数的式子，再令它等于 。但更省力的顺序是先看这个式子的取值范围：若它恒大于 （或恒小于），一句话即可判定不存在，不必解方程；若 落在取值范围内，再解方程，并检验解出的参数是否满足 。 两个常用表达式：椭圆 与 相交时，，其最大值 在两轴端点取到；抛物线 与 相交时，，其中 。两个式子都把「参数」与「目标量」的依赖关系摆在明面上，取不到的值可直接看出。 「存在」与「恒成立」是两种不同的问法。问「是否存在 使……」，答出一个 就够，不必说明其他 如何；问「对任意 是否……」，则要给出与 无关的结论。定值一类处理的是后者，本讲处理前者，答题时开头那句话就要写对：「假设存在 ，使……」而不是「对任意 ，有……」。 第三部分　破·典型题型 题型一　过定点的弦：条件能否取到 【解题技巧】先设 ，把两个交点写进韦达式，再把待检的量用 表示。斜率积写成 、数量积写成 ，代入韦达后通分，得到一个含 的式子。令它等于题给的值，解 ，最后用 与「两点不重合」核对。若化简结果与 无关，则这个量对任何直线都取同一个值，题给的值除恰好等于它之外一律「不存在」。 【教学提醒】第一题的两个答案是 ，板演时把 这一步单独写一行，学生就能看出为什么恰好是两个解而不是四个： 只有一个正值。第二题要让学生先算 的值，看到它恒等于 之后再问「能不能等于 」，答案是「不能，因为与 无关」。第三题的关键动作是让学生自己说出「 意味着 在 的中垂线上」，由此得到 ，再回头检查竖直弦是否被 的设法漏掉——这是本讲第一个必须补的漏洞。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。设 ，代入 得 ，于是 、。 又 ，故 。 令 ，得 ，即 ，。此时 ，斜率存在；判别式 恒成立，两个交点确实存在。 故存在两条直线： 与 ，即 与 。 参考答案：存在， 的方程为 或 【学情易错提醒】 用 展开时，容易漏掉中间项 ，漏掉后分母变成 ，解出的 与正确答案不同，而两个答案都「像」是对的。另一处是把 两侧同乘时忘记变号，得 ，于是误判「不存在」。 【变式1-1】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。设 ，代入 得 ，故 、。 于是 ，与 无关。 对通式 上过 的弦，数量积恒为 ；本题 、，得 ，与上面的计算一致。既然对任意 都有 ，就不可能等于 。 故不存在这样的直线。原因不是方程解不出，而是这个数量积根本不随 变化。 参考答案：不存在（ 恒为 ，与 的斜率无关） 【学情易错提醒】把「」当成某个特殊 的值，再去找使之为零的 ，会在方程 上卡住，却写不出理由。正确写法是先说明这个量与 无关，再据「常数 」判定不存在。另一类失误是漏掉 中的 ，算出与 有关的式子，进而误判「存在」。 【变式1-2】 已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。是否存在这样的直线 ，使 ？若存在，求出 的方程与 的值；若不存在，说明理由。 解析：由 知 在 的中垂线上，而 、 的中垂线过 当且仅当 ，故 。 在 轴上，所以 垂直于 轴， 的斜率不存在，方程为 。 把 代入 得 ，两交点为 、，此时 ，两段相等。 再用 的通式核一遍： 化简后含因子 ，只有 时为零，而 正是竖直直线 。 故存在唯一一条直线 ，此时 。 参考答案：存在，， 【学情易错提醒】直接用 设直线，会把竖直直线漏在设法之外，于是只得到 却说不清它对应哪条直线，甚至误答「不存在」。另一类失误是把 译成「 关于 轴对称」，这一步只在本例这种 在 轴上的情形才成立，换成一般位置就不对，须回到「 在中垂线上」这个原始条件。 题型二　关于直线对称的两点是否存在 【解题技巧】把「存在关于 对称的两点」拆成两条：连线垂直于 、中点在 上。设中点为 ，用点差法写出中点与连线斜率的关系：椭圆 ，抛物线 给 。连线的斜率由 的斜率定出（互为负倒数），于是 与 成比例；再用 把 用截距表示，最后代入「弦存在」的条件（椭圆：中点坐标代入方程左侧小于 ；抛物线：），得到关于截距的不等式。 【教学提醒】三题都从「 已知」入手：第一题 的斜率是 ，故 ，代入椭圆的点差式立刻得到 的反比例关系；第二题 的斜率是 ，；第三题 的斜率是 ，，但对抛物线要用 。板演时把「垂直给斜率、中点在 上给坐标、弦存在给不等式」写成三行并排，学生能看清三条各管一件事。第二题与第一题的唯一差别是椭圆的 变了，结论的形态完全相同（都是 ），可让学生自己算完再对照。第三题要追问「为什么是严格大于而不是大于等于」： 时中点恰在抛物线上，此时弦退化为一个点。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，直线 。椭圆上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：设 在椭圆上且关于 对称，中点为 。由对称得 ，故 ；由点差法，椭圆中以 为中点的弦满足 。 令 ，得 。又 在 上，故 ，解得 、。 以 为中点的弦存在，当且仅当 在椭圆内部：把 、 代入 ，得 ，需 。 即 。 时 恰在椭圆上，弦退化为一点，不合题意。 故存在， 的取值范围为 。 参考答案：存在， 【学情易错提醒】把 代成 是最常见的一步： 代入后是 ， 代入后是 ，合计 ，多算的那一项会让区间缩成原来的四分之一。另一类失误是把条件写成 ，把中点落在椭圆上的退化情形也算了进去。 【变式2-1】 已知椭圆 ，直线 。椭圆上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：设中点为 。由 得 ；由点差法 ，故 ，即 。 又 在 上：，即 ，解得 、。 代入内部条件：，需 ，即 。 故存在， 的取值范围为 。与典例2-1 相比，本例的 都变了，但结论仍是「 小于常数」的形态。 参考答案：存在， 【学情易错提醒】把 写成 而不是 ： 的斜率是 ，与它垂直的直线斜率是 ，写成 会让 ，条件随之变成另一个区间，而两式都算得出「漂亮」的数，不容易自查。另一处是把中点在 上的代入方向写反，把 移到左侧，得 的相反数，区间不变但点的坐标全错。 【变式2-2】 已知抛物线 ，直线 。抛物线 上是否存在关于 对称的两点？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：设中点为 。 的斜率为 ，故 的斜率为 。对 （本题 ），以 为中点的弦满足 ，故 ，。 又 在 上：，即 。以 为中点的弦存在，当且仅当 ，即 ，。 故 ，即 。当 时 、，点 恰在抛物线上，弦退化为一点，不合题意。 故存在， 的取值范围为 。 参考答案：存在， 【学情易错提醒】把抛物线的点差式写成 会得到 ，后面的不等式随之变成 ，区间整体平移。记法上可靠的办法是现推：，两边除以 即得 。另一类失误是漏掉 的退化检查，写成 。 题型三　曲线上是否存在点满足向量或距离条件 【解题技巧】把条件译成点的坐标方程： 译成 ，这是一条过 的圆； 译成 在 的中垂线上，这是一条直线。再把这条圆（或直线）与曲线联立，消元后解出 ，回代定 。最后三查：解出的点在曲线上、与 不重合、个数是否被题目的措辞限定。 【教学提醒】第一题的 是椭圆的左右焦点位置上的两点（ 与 ），联立后 一次项恰好消尽，只剩 ，学生容易只写一个点而漏掉 的两组。要让全班看到： 定住之后 有两个值，答案应写成「两点」。第二题是「解出来但不在曲线上」的样本， 是正数、方程有解，但双曲线要求 ，这一步核对才是本题的评分点。第三题把条件换成等距，落笔从圆变成直线，是同一套四步格式的第二个载体，顺带复习「中垂线」的代数式。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，、。椭圆上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。由 得 ，即 ，化简为 。 与 联立，即 。把 代入得 ，即 ，故 。 回代 得 。两点 、 都在椭圆上（），且与 都不重合。 故存在， 的坐标为 或 。几何上，这两个点是椭圆的上、下顶点，也是短轴端点。 参考答案：存在， 或 【学情易错提醒】解出 就收笔，只写一个点，漏掉 的两个取值。另一类失误是把条件写成 后代入得 ，与 等价，这一步没错，但随后常把 当成椭圆方程去解，得出矛盾的结论。 【变式3-1】 已知双曲线 ，、。双曲线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。由 得 ，即 。 由双曲线方程得 ，代入上式得 ，即 ，。 双曲线上须满足 ，而 ；也可以直接看 ，纵坐标不存在。 故不存在这样的点 。方程有实根，但解出的点不落在双曲线上，属于「解不合范围」而非「无解」。 参考答案：不存在（，解出的点不在双曲线上） 【学情易错提醒】算出 后直接开方写成两个点，忘了回代检验 是否为负。另一类失误是把双曲线的范围记成 ，于是认为 符合，得出「存在」的错答；双曲线上 ，与 无关。 【变式3-2】 已知抛物线 ，、。抛物线 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。 表示 在线段 的中垂线上。 的中点为 ，斜率为 ，故中垂线的斜率为 。 中垂线方程：，即 。代入 得 ，即 ，解得 或 。 分别回代： 得 ； 得 。两点都在抛物线上（、）。核对等距：对 ，、；对 ，、。 故存在两个点， 或 。本题两解，答题时不能只写靠近 的那一个。 参考答案：存在， 或 【学情易错提醒】把「 在 的中垂线上」写成「 与 中点重合」，直接把 当作唯一答案，恰好这一点确实在抛物线上，错答与正确答案重合了一半，最难自查。另一类失误是中垂线的斜率取成 ，得到 一类的式子，解出的 为负，落在抛物线之外。 题型四　是否存在参数使面积或弦长取给定值 【解题技巧】先把目标量写成含参数的式子，再令它等于题给的值。写出式子时优先用「底×高」的拆法：直线过 轴上的定点 时，，其中 由韦达给出；弦长用 （设 时）。解方程之前先看这个式子的取值范围：若目标值落在范围之外，一句话即可判定不存在。 【教学提醒】第一题的 在 处取最大值 ，所以「面积为 」恰好是最大值这一档，解出来只有一个 、两个 ；讲评时要让学生看到「最大值也能问存在性」，与「面积小于 6 是否一定存在」对照。第二题换抛物线， 随 减小而增大，故每个正的弦长都对应唯一的 ，这类「单调」的式子一问一答最干净。第三题是「不存在」的样本，，题给的 小于最小值，不必解方程；板演时把这条不等式写出即可，剩下的时间用来强调「先看范围」这个顺序。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。把 代入 ，得 ，判别式 ，需 。 由韦达得 ，故 。 到 的距离 ，于是 。 令 ，得 。两边平方，记 ：，即 ，判别式为零，。 故 ，，都在 之内。事实上 ，本题问的正是最大面积。 参考答案：存在， 或 【学情易错提醒】把 写成 ，漏掉 里的 ，算出的面积放大 倍，令其等于 后解出 一项，而那个值仍在 内，不会报警。另一处是解 时用求根公式算错判别式，误判「无解」而答「不存在」。 【变式4-1】 已知抛物线 ，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。把 代入 得 ，判别式 ，需 。 由韦达得 ，故 。 令 ，得 ，平方得 ，。此时 成立，两个交点确实存在。 故存在 ，即 。注意弦长随 减小而增大，所以每个正数弦长都对应唯一的 ，本题不会出现两解。 参考答案：存在， 【学情易错提醒】把 写成 ，漏掉 ，于是把 当成条件，解出 ，而 时 ，两个交点仍在，错答不会自己暴露。另一处是求出 后没有回查 ，若题给的弦长换成一个使 的值，就必须判「不存在」。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点，直线 与 交于 两点。是否存在 ，使 的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解析：假设存在。把 代入 得 ，判别式 恒成立。 由韦达得 。直线过 轴上的点 ，故 。 于是 ，等号当 。 故不存在这样的 。原因不是方程无实根，而是面积的最小值 已经大于 ，此时令 得到的 ，即 ，直接暴露无解。 参考答案：不存在（） 【学情易错提醒】把 写成 后逐项计算， 与 都带 ，化简时把 的系数算错，得不出「」这个干净形式，于是无法判断范围。另一处是用 设直线，此时漏掉竖直直线 ，而本题的 恰好对应竖直直线，一旦漏掉就答不出最小面积。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 ，直线 。若抛物线 上存在关于 对称的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：设中点为 。 的斜率为 ，故弦 的斜率为 。对 ，，得 。 由 在 上得 。弦存在的条件是 ，即 ，，故 ，。 时 、，点 恰在抛物线上，弦退化为一点，故取不到等号。 参考答案：A 2．（单选）已知椭圆 ，、。若点 在 上且 ，则这样的点 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D．无穷多个 解析：由 得 ，即 ，这是以 为直径的圆。 把 代入得 ，即 ，，故 。回代得 ，。 与 的取值互相独立，得 等四个点，都在椭圆上，且与 都不重合。 参考答案：C 3．（单选）已知椭圆 ，、。下列点中，能使 的是（　　） A． B． C． D． 解析：四个选项须先满足「在椭圆上」。 满足 ； 满足 ； 代入得 ，不在椭圆上，先排除。 再用 检验。对 ：；对 ：。 对 ：，故 ，条件成立。 参考答案：A 4．（单选）已知椭圆 ，、。关于椭圆上满足 的点 ，下列说法正确的是（　　） A．存在，且只有一个 B．存在两个 C．不存在 D．存在无穷多个 解析：由 得 ，即 。 把 代入得 ，即 ，。 回代得 ，即 与 ，这两点正是 与 。题设要求 是三角形的一个角， 与 或 重合时三点共线、角不存在，故都不合题意。 参考答案：C 5．（多选）已知双曲线 ，直线 。若 与 只有一个公共点，则 的值可以是（　　） A． B． C． D． 解析：把 代入 得 。 只有一个公共点有两种情形。其一，二次项系数为零，即 ，此时直线与渐近线平行，方程退化为一次方程，恰有一个交点：。 其二，二次项系数不为零而判别式为零：，，。 该二次项系数对应 ，合法。 时 ，，直线与双曲线没有公共点，不合题意。 参考答案：ABC 6．（填空）已知椭圆 ，、。若椭圆上存在点 使 ，则点 的坐标为 ______。 解析：由 得 。把 代入得 ，即 ，。 故 ，，。四点都在椭圆上：。 参考答案：、、、 7．（解答）已知椭圆 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断是否存在 使 ；（2）是否存在 使 ？若存在，求出 的方程。 解析：设 ，代入 得 ，故 、；又 （由 化简）。 于是 。（1）这个量恒为负，而 时取到 ， 时趋近 ，取值范围是大于 且不超过 ，其中没有 ，故不存在使 的直线。 （2）令 ，得 ，即 ，，。此时 ，两交点存在。 故（1）不存在；（2）存在， 的方程为 或 。 参考答案：（1）不存在（点积恒为负）；（2）存在， 或 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知抛物线 ，直线 。若抛物线 上存在关于 对称的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：设中点为 。 的斜率为 ，故弦的斜率为 。对 （即 ，），以 为中点的弦满足 ，故 ，。 由 在 上得 。弦存在的条件是 在抛物线开口一侧，即 ，也就是 ，。 故 ，。 时点 恰在抛物线上，弦退化。 参考答案：A 9．（单选）已知双曲线 ，、。若双曲线上存在点 使 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D．不存在这样的点 解析：由 得 。把 代入得 ，即 ，。 回代得 ，。四点 、、、 都在双曲线上：。 故四个点都满足条件，选项须能表示全部解。 参考答案：C 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点，直线 。下列说法正确的是（　　） A．过 的弦都有 B．存在过 的弦使 C． 上存在关于 的对称点当且仅当 D．存在过 的弦使 解析：对过 的弦，。本题 。弦过 即 ，点积恒为 ，与斜率无关， 项正确。 弦过 即 ，点积恒为 ，不可能垂直， 项错误。 对称点： 的斜率为 ，故弦的斜率为 ，中点 ；由 在 上得 ；弦存在需 ，即 ，，故 ，， 项正确。 弦过 即 ，点积恒为 ， 项错误。 参考答案：AC 11．（填空）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。若 的面积等于 ，则 的值为 ______。 解析：把 代入 得 ，判别式 ，需 。 由韦达得 ，故 。又 ，于是 。 令 ，得 ，平方后记 ：，即 ，判别式为零，。故 ，均在 之内。 参考答案： 或 12．（解答）已知椭圆 ， 为原点，直线 与 交于 两点。（1）判断是否存在 使 ；（2）是否存在 使 ？若存在，求出 的值。 解析：把 代入 ，得 ，故 、。 又 。 于是 。 （1）这个量恒为负（分子分母都为正），而 时为 ， 时趋近 ，取值范围是大于 且不超过 ，其中没有 ，故不存在使 的直线。 （2）令 ，得 ，即 ，。此时 ，两交点存在。故存在，。 参考答案：（1）不存在（点积恒为负）；（2）存在， 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $