微专题圆锥曲线定值问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线定值问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长与面积、定点两类计算。前者把联立与韦达收成一条通法，后者把这条通法的落点定成「一族直线共有的点」；本讲把目标从点换成量：题设给出一族直线或一族弦，要求证明某个由端点坐标拼成的式子与参数无关。教材在直线与圆锥曲线一节没有单独的「定值」小节，但近五年解答题第（2）问里，「证明某量为定值」与「证明直线过定点」出现频率接近，两者的落笔格式也几乎相同，差别只在最后一步是解出坐标还是约去参数。全讲按四层展开：先做中心对称两点与动点连线的斜率积，再做原点张直角时的距离与倒数和，第三层把第二定义接到准线距离上，最后一层处理「判断是否为定值」以及反例的写法。 考查形式：定值题的常见目标量有六类：斜率之积与斜率之和、数量积、两段距离的倒数和、点到两准线的距离和差、面积为定值、某比值为定值。前四类在近五年全国卷与新高考卷中反复出现，第五类多与原点张直角同时出现，第六类常作为压轴小问。小题以「直接求定值」为主，解答题以「先判断再证明」为主。本讲只处理前四类与第五类，比值型留给向量条件的翻译；判断某点是否存在，归入存在性问题。 第二部分　记·模型与结论 一、定值题的落笔格式：把条件写成 与 五步固定：按曲线形态选 或 ；联立写出一元二次式，记下二次项系数 、两根之和与两根之积；把待证的量用 表示，斜率写成 、距离平方写成 、数量积写成 ；代入韦达，把分子分母同时通分；化简后若含参数的项被约掉，剩下的常数就是定值。 第五步是判定「是否为定值」的唯一依据：化简结果里还剩 （或 ），就不是定值。此时不要急着下结论，先用两个具体的 各算一遍，得到两个不同的数即可作为反例写进解答。 定值与定点共用同一套韦达式，区别只在最后一步：定点题令含参数的系数为零，解出 ；定值题让参数在分子分母里同时出现、约掉。因此定点问题里的「参数分离」在本讲仍然可用，只是分离的对象从坐标换成了表达式。 二、中心对称两点：斜率积为 设 、 在曲线 上， 也在曲线上且不与 重合。把两条斜率相乘并通分，得 ；再用曲线方程把两个纵坐标平方都换成横坐标：椭圆给 ，双曲线给 。 约去 即得定值。整个推导只用曲线的方程，与 在哪一支、 在哪一支都无关。 焦点在 轴的双曲线 要把 与 的角色对调，定值为 。两类写法的共同点是「实轴半轴平方除以虚轴半轴平方」，符号只看曲线是椭圆还是双曲线：椭圆取负，双曲线取正。 时两点重合、斜率不存在，设点时须排除。 三、原点张直角：距离与倒数和 设 在曲线上且 ， 到 的距离为 。对椭圆 ，把 代入并用 ，化简得 ，于是 ，与 无关。 在直角三角形 中，斜边 上的高为 ，由等面积与勾股关系得 。两个结论互相印证：距离定值与倒数和定值是同一件事的两种写法。 面积 不是定值。由 与 可知 随两直角边的伸缩变化；记 ，则 ， 在 上先减后增，端点取到 ，故 ，等号当 落在两轴端点。这个「有最值而无定值」的分寸，是本讲与弦长、面积一类题的分界。 四、准线距离的和与差 椭圆的两条准线为 ，且 ，椭圆整体落在两准线之间。设 ，则到右准线的距离为 、到左准线的为 ，两者相加得 ，与 的位置无关。 双曲线的两条准线同样为 ，但在两准线之外：右支上 ，到右准线为 、到左准线为 ，两者相减得 。和与差的分别，来自曲线落在两准线之间还是之外。 用第二定义可以把这两个定值与定义式接上：椭圆上 ，双曲线右支上 。定值 不是新结论，它就是定义式在准线上的读数。焦点在 轴时准线水平，方程为 ，定值不变。 五、判断是否为定值：三种结局与反例写法 定值题的问法有三种：直接求定值；判断是否为定值并说明理由；在「为定值」的前提下反求某个参数。三种问法共用同一段化简，差别在结论怎么落。若化简结果与参数无关，写出常数并说明「对任意 成立」；若仍有参数，取两个具体的 各算一次，得到两个不同的数，即构成反例。 顶点出发的两条弦，斜率积对固定的定点 是定值 ，但对不同的 会给出不同的定值，「定值」始终是相对某一条 而言。定点改为非顶点 时，分母多出 一项，只有当 （ 为顶点）时该项才消失。这一条正是判断题的判别式： 是顶点则必为定值， 不是顶点则必不是定值。 第三部分　破·典型题型 题型一　中心对称两点：斜率之积为定值 【解题技巧】遇到「 关于原点对称」或「 为过中心的弦」，先把两条斜率相乘并通分，得到 ，再用曲线方程把两个纵坐标平方都换成横坐标，约去 即得定值。椭圆得 ，双曲线得 ；焦点在 轴的双曲线把 角色对调，得 。设点时要排除 与 重合（此时 、斜率不存在）。 【教学提醒】板演时把「两条斜率相乘、通分、用曲线方程消元」三个动作分成三行写，中间那步不要把 与 同时展开，直接相减更快。三题依次落在椭圆的 型、双曲线的 型、双曲线的 型：第一题定值 ，第二题 ，第三题 。第二题要追问「 在右支、 在左支时是否改变」，让学生看到推导只用到方程本身；第三题把结论统一成「实轴半轴平方除以虚轴半轴平方」，符号只看曲线类型。末题留一个易错点： 取 与 取另一定点是两回事，前者才是中心对称。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）当 为 的上顶点时，用具体点算出该乘积，并与（1）对照。 解析：（1）设 、、。两条斜率相乘并通分：。 由 都在 上得 、，两式相减得 。代入上式，约去 ，得 ，与 的位置无关。 （2）取 、、。，，乘积 ，与（1）一致。所求的定值就是 取上顶点这一特殊位置时的值。 参考答案：（1）；（2），是（1）的特例 【学情易错提醒】通分后直接用 即可，不要分别解出 与 ，那会把根号带进式子。另一类失误是把 写成 （关于 轴对称），此时斜率积不是定值，中心对称的写法必须是两个坐标同时变号。 【变式1-1】 已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）若 在右支、 在左支，定值是否改变？用一组具体点验证。 解析：（1）同法通分得 。由曲线方程得 、，相减得 ，故斜率积恒为 。 （2）推导只用到两支各自的方程，与 落在哪一支无关，定值仍为 。取 、，则 ，，乘积 ，与（1）相同。 参考答案：（1）；（2）不变 【学情易错提醒】把双曲线的定值也写成 是最常见的符号错。椭圆的两项系数同号，相减时自然出负；双曲线的两项系数异号，相减后为正。可以取 、 两个具体横坐标先算一遍，符号立刻显现。 【变式1-2】 已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）把本题与焦点在 轴上的双曲线所得的定值放在一起，写出统一的表述。 解析：（1）此时 是实轴方向，通分后得 。由曲线方程 ，相减得 ，故斜率积恒为 。 （2）焦点在 轴时定值为 ，焦点在 轴时定值为 。两者都是「实轴半轴平方除以虚轴半轴平方」：本题 ，前一类题 中的 也正好是虚轴半轴平方。统一表述可写成：定值等于 ，椭圆再加一个负号。 参考答案：（1）；（2）定值 ，椭圆取负、双曲线取正 【学情易错提醒】把 中的 当成 是常见误读。判断 的位置只看哪一项为正： 项为正，则实轴在 轴上、。写定值时若沿用「」，会得到 ，恰是正确答案的倒数。 题型二　原点张直角：距离与倒数和为定值 【解题技巧】见 ，先把它译成 ，再设 联立。对椭圆 ，化简得 ，于是 ，。 与倒数和是一组等价结论，面积则不是定值，只在端点取到最大值 。 【教学提醒】先让学生把「」写成坐标式，再回到韦达：这一步译错，后面全错。化简 时把 作为整体保留，不要拆开，否则通分后容易漏项。三题的数值刻意配成 与 两组勾股数： 给 ， 给 ，学生算完能自我核对。第三题是辨析题： 是定值而 不是，用「先算两条特殊位置」的办法把「有最值」与「为定值」分开，这一分辨是后面判断题型的基础。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 。（1）证明 到直线 的距离为定值，并求该定值；（2）求 的值。 解析：（1）设 。代入 得 ，故 、。 即 。把 代入得 ，代入韦达并通分，分子为 ，分母为 。令分子为零得 。 于是 到 的距离 ，与 无关，是定值。 （2）在直角三角形 中，斜边 上的高为 ，由 得所求为 。 参考答案：（1）；（2） 【学情易错提醒】把 写成 再代入，会漏掉竖直与水平两种情形（此时一条斜率不存在）。用坐标式 可以一并覆盖。第（2）问不要从 分别求解，两直角边无法单独定出，只能整体代换。 【变式2-1】 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 ，求 到直线 的距离。 解析：设 ，代入 ，同法可得 ，故 。 也可以直接用结论 ：本题 、、，得 。 是一组勾股数， 因此是有理数；若半轴取 、，则 ，同样给出 。 参考答案： 【学情易错提醒】本题的半轴是 与 ，而方程里写的是 与 ，直接读分母当作 是常见错。另一类失误是把 算成 ，那是直角三角形内切圆半径的公式，与本题无关。 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 。（1）判断 的面积是否为定值，若不是，求它的最大值；（2）求 到直线 的距离。 解析：（2）先算距离：半轴 、，得 ，与 无关。记 ，由 与椭圆方程可得 ，于是 。 （1） 的取值范围是 ，函数 在 处取最小值 、在端点取最大值 。故 ，，等号当 落在两轴端点，例如 、。 取 为长轴端点、 为短轴端点时 ；把 转到 的方向，、。两个值不同，故面积不是定值，只有最大值 。 参考答案：（1）不是定值，最大值为 ；（2） 【学情易错提醒】把「 是定值」顺推成「 是定值」是最常见的推理跳跃：， 固定而 变化，乘积自然变化。另一类失误是把最大值取在 处，那是 的最小值位置（），恰好与最大值位置相反。 题型三　准线距离的和与差 【解题技巧】椭圆上点到两准线的距离之和为 ，双曲线同支上的点到两准线的距离之差为 。判断用和还是用差，只看曲线在两准线之间还是之外：椭圆 ，整体在两准线之间，取和；双曲线 ，两支分别在两准线外侧，取差。焦点在 轴时准线水平，方程换成 ，定值不变。 【教学提醒】这一型的关键不是计算，而是把定值与第二定义接上。板演时并列写两行：椭圆 、双曲线右支 ，两行右边分别是 ，学生由此看到 只是定义式在准线上的读数，不必另记。三题按椭圆、双曲线 型、双曲线 型排列，第二、三题的差别只在准线是竖直还是水平，定值同为 。讲完追问一句：双曲线左支上到两准线的距离之差等于多少，答案仍是 ，只是较大的那个距离换了对象。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上任意一点。（1）求 的两条准线方程；（2）证明 到两准线的距离之和为定值，并求该定值；（3）用第二定义说明该定值与 的关系。 解析：（1）、，故 ，两条准线为 。 （2）设 。由 知 在两准线之间，故到右准线的距离为 、到左准线的为 ，两者相加得 ，与 的位置无关。 （3）离心率 。由第二定义 、，两式相加得 ，正是 。定值 乘以 即回到长轴长 。 参考答案：（1）；（2）；（3） 【学情易错提醒】椭圆的 要用 ，本题 ，若误用 得 ，准线与定值全错。另一类失误是忘记核对「 在两准线之间」：椭圆恒满足，双曲线不满足，这一步是选择用和还是用差的依据。 【变式3-1】 已知双曲线 的左、右焦点为 ， 是 右支上一点。（1）求两准线方程；（2）证明 到两准线的距离之差为定值，并求该定值；（3）求 。 解析：（1）、，，两准线为 。 （2）右支上 ，故到右准线的距离为 、到左准线的为 ，两者相减得 ，与 无关。 （3），由第二定义 、，相减得 。 参考答案：（1）；（2）；（3） 【学情易错提醒】双曲线的 用 ，与椭圆的减法相反，这是全讲最容易混的一处。第（2）问若写成「之和」，会得到 ，随点移动而不是定值，正好说明双曲线在两准线之外。 【变式3-2】 已知双曲线 的上、下焦点为 ， 是 上支上一点。（1）求两准线方程；（2）证明 到两准线的距离之差为定值，并求该定值；（3）说明本题与焦点在 轴上的双曲线在准线位置上的差别。 解析：（1）实轴在 轴上，、，，两准线为 。 （2）上支上 ，到上准线的距离为 、到下准线的为 ，相减得 ，与 的位置无关。 （3）焦点在 轴时准线是水平线 ，焦点在 轴时准线是竖直线 。两者都垂直于实轴、都关于原点对称，定值同为 ；本题 。 参考答案：（1）；（2）；（3）准线垂直于实轴，定值同为 【学情易错提醒】把准线写成 是把实轴方向看错了。判断实轴方向的唯一依据是哪一项为正： 项为正，实轴在 轴上，准线垂直于 轴，即水平线。另一类失误是把 当作 参与 的计算。 题型四　判断是否为定值：成立的条件与反例 【解题技巧】定值题的三种问法共用一段化简：把待证的量写成 与 的式子，代入韦达后通分。若含参数的项被约掉，写出常数并说明「对任意 成立」；若仍有参数，取两个具体的 各算一次，得到两个不同的数，即构成反例。判断顶点型斜率积时有一条快判据： 是顶点则必为定值， 不是顶点则必不是定值。 【教学提醒】这一型训练的是「结论的分寸」。三题给出三种结局：第一题是定值，第二题不是定值但能给出两个反例，第三题是定值且可反查出定点。板演第二题时把 与 的两个值并列写在黑板上，两数一正一负，比任何说明都有说服力。第一题的快判据要在讲完具体计算之后再给，否则学生只会套判据、写不出过程。第三题顺带把「由定值求定点」接回来：同一个式子 ，定点问题令它为零解 ，本讲令 固定算值，方向相反而式子不变。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 的右顶点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，且 均不与 重合。（1）判断 是否为定值，并说明理由；（2）若为定值，求出该定值。 解析：（1）设 。代入 得 ，故 、。 把两条斜率相乘并通分：。分母展开为 ，代入韦达并通分，分子为 ，与 无关。 故 ，对任意 成立，是定值。（2）定值为 。也可用公式 核对。 参考答案：（1）是定值；（2） 【学情易错提醒】分母展开时 的常数项是 ，写成 会让 项无法消尽，算出含 的结果并误判「不是定值」。另一类失误是设 ，此时无法覆盖 轴的情形，须在解答里补一句「斜率不存在时单独验证」。 【变式4-1】 已知椭圆 ，，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断 是否为定值；若不是，用两条具体直线算出两个不同的值；（2）求 垂直于 轴时该乘积的值。 解析：（1）设 。代入 得 ，故 、。 两条斜率相乘并通分：，分母为 ，代入韦达并通分得 。结果含 ，故不是定值。 取 得 ，取 得 ，两值不同，即为反例。（2） 轴即 ，此时两交点为 ，乘积为 。 参考答案：（1）不是定值， 时 、 时 ；（2） 【学情易错提醒】判定「不是定值」必须给出两个具体的 与对应的两个值，只说「含 所以不是定值」在解答题里拿不到过程分。另一类失误是取的两个 恰好使值相同（如 与 ），那不能构成反例，取 与 最稳。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断 是否为定值，并求该定值；（2）若要使 ， 应取何坐标？ 解析：（1）设 。代入得 ，故 、。于是 ，与 无关。 （2）设 ，同法得 。令它为零得 或 ； 时直线过原点， 或 与 重合，不满足「两点」，故舍去，取 ，即 。此时 ，与「抛物线 上 给 」这条常用结论一致，本题 。 参考答案：（1）；（2） 【学情易错提醒】把 直接写成 会漏掉 与 两项。第（2）问解出 后若不检验「两点」条件，会多写一个不合题意的答案。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：由 得 ，故 。 取 、 复核：。 项 是把 取倒数后的结果。 参考答案：A 2．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 ，则 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 解析：半轴 、，由 得 。 也可取特殊位置：、 时 ，原点到它的距离为 ，与一般情形一致。 项是 的倒数，、 两项分别取了 与 。 参考答案：A 3．（单选）已知椭圆 上一点 到两准线的距离之和为（　　） A． B． C． D． 解析：、，，准线为 。由 知椭圆在两准线之间，故距离之和为 。 项只算了一条准线到原点的距离， 项是长轴长 ， 项误用了双曲线的 。 参考答案：A 4．（单选）已知双曲线 的右支上一点 到两准线的距离之差为（　　） A． B． C． D． 解析：、，，准线为 。右支上 ，在两准线之外，故取差：。 项是 ，即原点到准线的距离； 项是 ，即通径的一半； 项是 。 参考答案：A 5．（多选）已知抛物线 ， 为原点， 是 上异于原点的两点且 ，则（　　） A．直线 过定点 B． C． 面积的最小值为 D． 的最小值为 解析：设 ，代入得 ，。由 得 ，故 （ 时直线过原点，舍去）， 过 ， 项正确。 由 ， 项正确。 又 ，故 ， 项正确；， 项的最小值写小了。 参考答案：ABD 6．（填空）已知椭圆 ， 为原点， 是椭圆上两点且 ，则 ______。 解析：由 得 到 的距离 ，本题 、，。 在直角三角形 中 ，故填 。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 的左、右顶点为 、。（1）设 是 上异于 的一点，证明 为定值；（2）设 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，证明 与（1）中的定值相等。 解析：（1）设 ，则 。由 得 ，为定值。 （2）沿用典例 1-1 的通分：，两式相减得 ，故乘积为 ，与（1）相同。 两问是同一恒等式的两种取法：（1）中 也关于原点对称，相当于把（2）里的 取成长轴端点。答案均只与 有关，、，定值为 。 参考答案：（1）；（2）同为 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：实轴在 轴上，、。由 得 ，故乘积为 。 取 、 复核：，，乘积 。 项 是正确答案的倒数，、 两项多带了负号，那是椭圆才有的符号。 参考答案：A 9．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 是椭圆上两点且 ，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：半轴 、， 到 的距离 为定值。记 ，则 ， 在 的端点取最大值 ，故 ，。 等号当 落在两轴端点，例如 、。 项 是把 的最大值当成了面积， 项 是 ， 项是 最小时 的近似值 。 参考答案：A 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点， 是 上异于原点的两点且 ，则（　　） A．直线 过定点 B． C． 面积的最小值为 D． 解析：设 ，代入 得 ，，。由 得 ，故 （ 时直线过原点，舍去）， 过定点 ， 项正确。 由 ， 项正确。又 ，，最小值为 ， 项写小了，不成立。 由 得 ，当 时取 （此时 、）， 项成立。综上，成立的为 、、。 参考答案：ABD 11．（填空）已知抛物线 ， 为原点，直线 过点 且与 交于 两点，则 ______。 解析：设 ，代入得 ，。又 。 故 。也可用通式：对 与过 的弦，乘积为 。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 的右顶点为 。（1）过点 的直线与 交于 两点，证明 为定值，并求该定值；（2）过点 的直线与 交于 两点，求 的值；（3）比较（1）（2）的结果，说明「定值」与 的位置之间的关系。 解析：（1）设 ，代入 得 ，故 、。 把两条斜率相乘并通分：，分母为 ，代入韦达并通分，分子为 ，与 无关，故定值为 。 （2）同法设 ，得 ，。分母展开后常数项为 的 倍，即 ，故 。 （3）两问的定值不同，说明「定值」是相对固定的 而言：对同一个 ，乘积与 无关；换一个 ，定值随之改变。用通式可写成 ， 越接近 ，分母越小、绝对值越大。 核对（1）：取 的竖直弦，两交点为 ，此时 ，与通分结果一致。核对（2）：分母的常数项是 的 倍，即 ，故 。 通式与（1）（2）对得上： 代入 、、 得 ，代入 得 。两问的定值都落在这条通式上， 一换，值就换。 错法集中在两处：一是把 的横坐标当成 的常数项，漏掉 项，于是分母里多算了 ，算出随 变化的结果；二是在 换成 后仍套用 ，忘记分母的常数项已随 变为 。两处都可以用 的竖直弦回代自检。 讲评时把两问的分母 与 并列写出，、，学生可直接看出分母就是 ，分子是 。这一步看清之后，通式不必背，现场就能拼出来。 参考答案：（1）；（2）；（3）定值随 的位置变化，通式为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线定值问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长与面积、定点两类计算。前者把联立与韦达收成一条通法，后者把这条通法的落点定成「一族直线共有的点」；本讲把目标从点换成量：题设给出一族直线或一族弦，要求证明某个由端点坐标拼成的式子与参数无关。教材在直线与圆锥曲线一节没有单独的「定值」小节，但近五年解答题第（2）问里，「证明某量为定值」与「证明直线过定点」出现频率接近，两者的落笔格式也几乎相同，差别只在最后一步是解出坐标还是约去参数。全讲按四层展开：先做中心对称两点与动点连线的斜率积，再做原点张直角时的距离与倒数和，第三层把第二定义接到准线距离上，最后一层处理「判断是否为定值」以及反例的写法。 考查形式：定值题的常见目标量有六类：斜率之积与斜率之和、数量积、两段距离的倒数和、点到两准线的距离和差、面积为定值、某比值为定值。前四类在近五年全国卷与新高考卷中反复出现，第五类多与原点张直角同时出现，第六类常作为压轴小问。小题以「直接求定值」为主，解答题以「先判断再证明」为主。本讲只处理前四类与第五类，比值型留给向量条件的翻译；判断某点是否存在，归入存在性问题。 第二部分　记·模型与结论 一、定值题的落笔格式：把条件写成 与 五步固定：按曲线形态选 或 ；联立写出一元二次式，记下二次项系数 、两根之和与两根之积；把待证的量用 表示，斜率写成 、距离平方写成 、数量积写成 ；代入韦达，把分子分母同时通分；化简后若含参数的项被约掉，剩下的常数就是定值。 第五步是判定「是否为定值」的唯一依据：化简结果里还剩 （或 ），就不是定值。此时不要急着下结论，先用两个具体的 各算一遍，得到两个不同的数即可作为反例写进解答。 定值与定点共用同一套韦达式，区别只在最后一步：定点题令含参数的系数为零，解出 ；定值题让参数在分子分母里同时出现、约掉。因此定点问题里的「参数分离」在本讲仍然可用，只是分离的对象从坐标换成了表达式。 二、中心对称两点：斜率积为 设 、 在曲线 上， 也在曲线上且不与 重合。把两条斜率相乘并通分，得 ；再用曲线方程把两个纵坐标平方都换成横坐标：椭圆给 ，双曲线给 。 约去 即得定值。整个推导只用曲线的方程，与 在哪一支、 在哪一支都无关。 焦点在 轴的双曲线 要把 与 的角色对调，定值为 。两类写法的共同点是「实轴半轴平方除以虚轴半轴平方」，符号只看曲线是椭圆还是双曲线：椭圆取负，双曲线取正。 时两点重合、斜率不存在，设点时须排除。 三、原点张直角：距离与倒数和 设 在曲线上且 ， 到 的距离为 。对椭圆 ，把 代入并用 ，化简得 ，于是 ，与 无关。 在直角三角形 中，斜边 上的高为 ，由等面积与勾股关系得 。两个结论互相印证：距离定值与倒数和定值是同一件事的两种写法。 面积 不是定值。由 与 可知 随两直角边的伸缩变化；记 ，则 ， 在 上先减后增，端点取到 ，故 ，等号当 落在两轴端点。这个「有最值而无定值」的分寸，是本讲与弦长、面积一类题的分界。 四、准线距离的和与差 椭圆的两条准线为 ，且 ，椭圆整体落在两准线之间。设 ，则到右准线的距离为 、到左准线的为 ，两者相加得 ，与 的位置无关。 双曲线的两条准线同样为 ，但在两准线之外：右支上 ，到右准线为 、到左准线为 ，两者相减得 。和与差的分别，来自曲线落在两准线之间还是之外。 用第二定义可以把这两个定值与定义式接上：椭圆上 ，双曲线右支上 。定值 不是新结论，它就是定义式在准线上的读数。焦点在 轴时准线水平，方程为 ，定值不变。 五、判断是否为定值：三种结局与反例写法 定值题的问法有三种：直接求定值；判断是否为定值并说明理由；在「为定值」的前提下反求某个参数。三种问法共用同一段化简，差别在结论怎么落。若化简结果与参数无关，写出常数并说明「对任意 成立」；若仍有参数，取两个具体的 各算一次，得到两个不同的数，即构成反例。 顶点出发的两条弦，斜率积对固定的定点 是定值 ，但对不同的 会给出不同的定值，「定值」始终是相对某一条 而言。定点改为非顶点 时，分母多出 一项，只有当 （ 为顶点）时该项才消失。这一条正是判断题的判别式： 是顶点则必为定值， 不是顶点则必不是定值。 第三部分　破·典型题型 题型一　中心对称两点：斜率之积为定值 【解题技巧】遇到「 关于原点对称」或「 为过中心的弦」，先把两条斜率相乘并通分，得到 ，再用曲线方程把两个纵坐标平方都换成横坐标，约去 即得定值。椭圆得 ，双曲线得 ；焦点在 轴的双曲线把 角色对调，得 。设点时要排除 与 重合（此时 、斜率不存在）。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）当 为 的上顶点时，用具体点算出该乘积，并与（1）对照。 【变式1-1】 已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）若 在右支、 在左支，定值是否改变？用一组具体点验证。 【变式1-2】 已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点。（1）证明 为定值，并求该定值；（2）把本题与焦点在 轴上的双曲线所得的定值放在一起，写出统一的表述。 题型二　原点张直角：距离与倒数和为定值 【解题技巧】见 ，先把它译成 ，再设 联立。对椭圆 ，化简得 ，于是 ，。 与倒数和是一组等价结论，面积则不是定值，只在端点取到最大值 。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 。（1）证明 到直线 的距离为定值，并求该定值；（2）求 的值。 【变式2-1】 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 ，求 到直线 的距离。 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 。（1）判断 的面积是否为定值，若不是，求它的最大值；（2）求 到直线 的距离。 题型三　准线距离的和与差 【解题技巧】椭圆上点到两准线的距离之和为 ，双曲线同支上的点到两准线的距离之差为 。判断用和还是用差，只看曲线在两准线之间还是之外：椭圆 ，整体在两准线之间，取和；双曲线 ，两支分别在两准线外侧，取差。焦点在 轴时准线水平，方程换成 ，定值不变。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上任意一点。（1）求 的两条准线方程；（2）证明 到两准线的距离之和为定值，并求该定值；（3）用第二定义说明该定值与 的关系。 【变式3-1】 已知双曲线 的左、右焦点为 ， 是 右支上一点。（1）求两准线方程；（2）证明 到两准线的距离之差为定值，并求该定值；（3）求 。 【变式3-2】 已知双曲线 的上、下焦点为 ， 是 上支上一点。（1）求两准线方程；（2）证明 到两准线的距离之差为定值，并求该定值；（3）说明本题与焦点在 轴上的双曲线在准线位置上的差别。 题型四　判断是否为定值：成立的条件与反例 【解题技巧】定值题的三种问法共用一段化简：把待证的量写成 与 的式子，代入韦达后通分。若含参数的项被约掉，写出常数并说明「对任意 成立」；若仍有参数，取两个具体的 各算一次，得到两个不同的数，即构成反例。判断顶点型斜率积时有一条快判据： 是顶点则必为定值， 不是顶点则必不是定值。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 的右顶点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，且 均不与 重合。（1）判断 是否为定值，并说明理由；（2）若为定值，求出该定值。 【变式4-1】 已知椭圆 ，，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断 是否为定值；若不是，用两条具体直线算出两个不同的值；（2）求 垂直于 轴时该乘积的值。 【变式4-2】 已知抛物线 ， 为原点，过点 的直线 与 交于 两点。（1）判断 是否为定值，并求该定值；（2）若要使 ， 应取何坐标？ 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，则 （　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 是 上两点且 ，则 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知椭圆 上一点 到两准线的距离之和为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知双曲线 的右支上一点 到两准线的距离之差为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）已知抛物线 ， 为原点， 是 上异于原点的两点且 ，则（　　） A．直线 过定点 B． C． 面积的最小值为 D． 的最小值为 6．（填空）已知椭圆 ， 为原点， 是椭圆上两点且 ，则 ______。 7．（解答）已知椭圆 的左、右顶点为 、。（1）设 是 上异于 的一点，证明 为定值；（2）设 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，证明 与（1）中的定值相等。 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知双曲线 ， 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 的一点，则 （　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知椭圆 ， 为原点， 是椭圆上两点且 ，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知抛物线 ， 为原点， 是 上异于原点的两点且 ，则（　　） A．直线 过定点 B． C． 面积的最小值为 D． 11．（填空）已知抛物线 ， 为原点，直线 过点 且与 交于 两点，则 ______。 12．（解答）已知椭圆 的右顶点为 。（1）过点 的直线与 交于 两点，证明 为定值，并求该定值；（2）过点 的直线与 交于 两点，求 的值；（3）比较（1）（2）的结果，说明「定值」与 的位置之间的关系。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $