微专题圆锥曲线定点问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线定点问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长与面积的计算。那一类题把联立与韦达收成一条通法，本讲把同一条通法的落点换成「一族直线共有的点」：目标不再是某个数值，而是与参数无关的一个坐标。教材在直线与圆锥曲线一节给出的联立法在这里承担新的任务——把题设条件（垂直、斜率之积、斜率之和、数量积）译成韦达式，若化简后含参数 的项被约掉，剩下的 就是定点。全讲按四个层级展开：先把含参直线整理成参数分离式，再依次处理抛物线、椭圆与双曲线上的垂直或斜率条件，最后由「斜率互为相反数」反求使条件恒成立的定点。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，「证明直线过定点」稳居解析几何解答题第（2）问的高频位置；小题多考「由条件求定点坐标」或「判断定点与曲线的位置关系」。抛物线以 与 最集中，椭圆与双曲线以顶点出发的斜率之积最集中。定点与定值是一组相邻考法，本讲只处理「点」，证明某个量为常数、判断是否存在这样的直线，另作专门处理。 第二部分　记·模型与结论 一、参数分离：定点问题的落笔第一步 把含参数 的直线方程整理成 。若它对任意 都表示同一族直线共有的点，两个括号须同时为零，解 与 即得定点。常见设法 中 可写成 ，定点为 ； 中 可写成 ，定点为 。参数以 、 等整体出现时，仍按一个独立参数分组，不必拆成两项。 分离之后要把定点代回原方程核对一次，展开时的常数项符号最容易在这一步被发现。参数分离本身只用到一次方程组，但它是后面三型共同的收尾：条件解出的 （或 ）若与 无关，直线族就写成 或 ，定点随之落定。 二、抛物线：把垂直译成 对 ，设 ，联立得 ，故 、。由 得 ；又 。两个式子都只含 ，不含 。 给 ，即 恒过 ；一般地 给 。开口向上或向下的 改设 ，同法得 时 过 。数量积取一般常数时会解出两个 ，对应两族直线，须分别写出定点；取 一类使判别式为零的值才只剩一个。 三、椭圆与双曲线：顶点斜率积与 无关 设曲线为 （椭圆取正、双曲线取负），右顶点 ，直线 且 。记 ，韦达给 、。把 展开成 ，代入后恰化为 ， 被约掉。 正号对应椭圆、负号对应双曲线。令 即可解出 ，与 无关，故 恒过 。椭圆上取 时 ， 是过中心的弦；双曲线上取 时 。 时直线过 本身、 无定义，须在设线时排除；双曲线还要避开 （直线平行于渐近线，只有一个交点）。 四、斜率互为相反数：反求使条件恒成立的定点 设 、直线 。 的分子是 。椭圆代入韦达后化为 ，抛物线 代入后化为 ，都只在 的一次项上出现。 前者给 （已知过 求 ），后者给 （抛物线 ）。反过来，已知 则由 或 定出 所过的定点。两类问题共用同一条分子式，只是已知量与未知量对调。 是竖直弦，此时 使斜率和恒为零、与 无关；由斜率和反推定点时须先排除这一族，否则会得出「直线族不共点」的结论。 五、完整流程与四类退化 落笔分五步：按曲线开口或定点位置选 还是 ；联立写成一元二次式并记下二次项系数与两根之和、之积；把条件译成关于 的代数式；代入韦达、化简并确认含 的项被约掉；解出 （或 ）后写出定点，再取一个具体 回代用端点坐标核对。 四类退化要逐一处理： 或 使一个端点与原点重合，零向量不构成垂直； 使直线过顶点 、斜率无定义； 使竖直弦的斜率和恒为零； 与二次项非零才保证两个交点，定点落在曲线外时并非所有过它的直线都成弦。弦长与面积算的是 与 ，本讲算的是 ；两者共用联立与韦达，但目标量不同，不要在定点题里顺手展开面积。 第三部分　破·典型题型 题型一　含参直线系的参数分离 【解题技巧】把方程按参数整理成 ，令两个括号同时为零。 里 给 ， 里 给 。参数是 时按一个整体分组，不要拆成两项；解完把定点代回原方程核对一次，常数项符号在这一步最容易查出来。 【教学提醒】板演时把 逐项展开的整行写出来，再用两种颜色分别圈出含 的括号与不含 的括号，学生才看得见「两个括号同时为零」从哪来。三题依次落在 、、 三种参数形态上，第二题把 改写成 ，第三题把 改写成 ，改写动作各做一遍。末题顺带用 判断定点在椭圆内，把「参数分离」与「点与曲线位置关系」接在一起。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，对任意实数 ，直线 。（1）证明 恒过定点 ，并求 的坐标；（2）判断 是否在该抛物线上。 解析：把方程按 整理：。要使它对任意 成立，两个括号须同时为零；联立 与 ，两式相加得 ，故 、，即 。 代回核对： 对任意 成立；取 得直线 ，即 ，也过 。 （2）把 代入 ：，，等式成立，故 在抛物线上。个别 下直线的额外性质不改变整族共有的点，这是参数分离与「解一条直线」的分别。 参考答案：（1）；（2） 在抛物线 上 【学情易错提醒】按 与常数分组合并时，常数括号易写成 ；符号错一个，联立给出的点就落在别处。另一类失误是取一个 值解出一条直线，再把这条直线上的任一点当作定点；定点必须让两个括号同时为零，与单个 无关。 【变式1-1】 已知抛物线 ，直线 （ 为任意实数）。（1）求 恒过的定点 ；（2）求 使 过原点；（3）判断 是否在该抛物线上。 解析：把 写成 。含 的因子是 ，令 且 得 ；对任意 代回， 成立。 （2）过原点即 ，得 ，此时直线为 。 （3）把 代入：，而 ，两者不等，故 不在抛物线上。一般地 中 给定点 ，本题 、 正是 。 参考答案：（1）；（2）；（3）不在 【学情易错提醒】「 给 」只在 为一次时成立；若 含 ，先按独立参数整理再令系数为零。另有把 判成在 上的，原因是只算了 而漏算右端 。 【变式1-2】 已知椭圆 ，对任意实数 ，直线 。（1）求 恒过的定点 ；（2）判断 与椭圆的位置关系，并说明 与椭圆的交点个数。 解析：按 整理：。 虽非负，作为独立参数要使命题对任意 成立，两个括号仍须同时为零；联立 与 得 。 代回核对：，与右端一致。 （2），故 在椭圆内部。过椭圆内任一点的直线都与椭圆有两个交点，所以 与椭圆恒有两个交点。核对 ：直线为 ，代入椭圆得 ，即 ，两实根存在。 参考答案：（1）；（2） 在椭圆内部， 与椭圆恒有两个交点 【学情易错提醒】把 当成 与另一个 的乘积、进而列出三个括号，是这一题最常见的失误； 只能作为一个独立参数，两个括号即可。另有把 判成椭圆上的点，原因是把 误算成 而不是 。 题型二　抛物线上的垂直与斜率积 【解题技巧】开口向右或向左用 ，开口向上或向下用 。把条件译成 （或 ）的一个数值，再与韦达给出的 （或 ）比较，解出的 （或 ）与 无关即为定点。垂直条件解出两个根时，先查有没有一个端点落在原点，有则舍去。 【教学提醒】三题的板演都从「设点」开始：把 写成 ，让学生自己算出 ，再由 推出 。之后统一换到 ，把 解成 。第三题换成 与 ，把「按开口方向选设法」的动作再做一遍：同一个垂直条件，一个定点落在 轴、一个落在 轴。典例与变式2-1 的定点同为 ，讲评时把 与 一起写在旁边，说明两族直线不同。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：设 、，且 。 即 ；约去 得 。 设直线 ，代入 得 ，故 。这个设法含竖直弦，且抛物线与 轴只有一个交点，参数族完备。 由 得 ，与 无关，故 恒过 。 核对：取 ，直线 给出端点 与 ，。方程 的另一个根 对应 ，此时一个端点与 重合、 为零向量，不构成垂直，须舍去。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】把 约成 之前须先写明 ；漏掉这一步会把 也算作一族，得出「 还过原点」的错误结论。另有设 而漏掉竖直线 的，改用 可一次收齐。 【变式2-1】 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：由 得 ，同理 ，故 。令其为 ，得 。 设 ，代入 得 ，，故 ， 恒过 。 对照：若换成 （即 ），则 、，定点变为 。一般地 上 给 。 核对：取 ， 的两根为 ，其积为 ，端点代入得 。本题与典例2-1 定点同为 ，但 与 都不同，两族直线并不相同。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】把 写成 是常见错误，正确值是 （由 得到）；写反之后 ，解出的定点会落在 一类位置。另有把 的符号带到 时漏掉负号的。 【变式2-2】 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：开口向上，改设 ，代入 得 ，故 、。 由 得 。 令其为 得 。 时 ，一个端点与 重合，舍去；故 ，直线 恒过 。 核对：取 ， 与 交于 与 ，。把 看作 把 对调，定点也相应从 变成 。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】开口向上时仍套 ，会把定点错写在 轴上；按开口方向选设法，向上或向下用 ，向左或向右用 。另有把 写成 的，正确写法是 。 题型三　椭圆与双曲线的顶点斜率积 【解题技巧】统一设 且 ，把 写成 。代入韦达后含 的项整体约掉，得 ：椭圆取正、双曲线取负。令它等于题给的 解出 ，定点为 。 【教学提醒】把 的展开整行写在黑板上，单独标出中间项 ，再代入韦达，让学生看见 项如何与分母的 抵消。三题依次是椭圆正号、椭圆取 给 、双曲线负号；把三行的最终式并排写成 、、，符号差别可以直接对照。第三题补一句双曲线 时直线平行渐近线、只有一个交点，把判别式约束接回来。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，右顶点为 ， 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：设 且 （否则直线过 ， 无定义）。椭圆写成 ，代入得 。记 ，则 、。 ，代入韦达，分子中的 项合并为 ，与 相加得 。 故 ， 被约掉。令 ，得 ，即 ，故 恒过 。 核对：取 ，直线 ，联立得 ，判别式 ；由 代回 ，与题设一致。定点 在椭圆外，只有 的直线才与椭圆相交，这与「恒过定点」不矛盾。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】展开 时中间项的系数 容易漏掉 ；漏掉之后分母不含 ，结论会变成「斜率积随 变化」，与题设矛盾。另需先写 ，否则 落在直线上、斜率无定义。还有把 与 约成 的，漏了 因子。 【变式3-1】 已知椭圆 ，右顶点为 ， 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：椭圆写成 ，设 （），代入得 。与典例3-1 同法整理，。 令其等于 ：，得 ，故 恒过原点，即 是中心弦。 此时 （、）。一般地椭圆上 与「 过中心」互为充要。 核对：取 ，直线 ，代入椭圆得 ，两根互为相反数， 关于原点对称；由 得 ，与题设一致。 参考答案：定点为原点 【学情易错提醒】把 里的 取反（写成 ）会解出别的 ； 是 的分母、 是 的分母，按位置认而不按数值大小认。另有把「过中心」直接当结论抄上去而不解 的，解析里须给出 的方程与解。 【变式3-2】 已知双曲线 ，右顶点为 ， 是双曲线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 解析：双曲线写成 ，设 （），代入得 。同法整理得 ，比椭圆情形多一个负号，来自 项系数为负。 令 ，得 ，即 ，故 恒过 。 核对：取 ，直线 ，联立得 ，判别式 ；由 得 ，与题设一致。 双曲线在 时二次项为零，方程退化为一次式，此时只有一个交点即直线平行于渐近线，不成弦；取 核对时避开这两个值。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】套用椭圆的 而忘记加负号，会解出 一类位置；判断口径是把标准式里 的系数取作 。另有忽略 的退化情形，把只有一个交点的直线也当成弦。 题型四　斜率互为相反数与所求定点 【解题技巧】 的分子是 。椭圆代入韦达后分子 ，抛物线 代入后分子 。已知过 求 时解 ，已知 求 所过的点时解 。由斜率和反推定点须先排除 的竖直弦。 【教学提醒】把「已知 求 」与「已知 求 」两栏并排写在黑板上，中间只隔一个式子 ，学生才看得见两问是同一个方程的两种用法。抛物线一栏单独写 ，把 与椭圆的 并列，说明差别来自联立后二次项恒为 。第三题先问「若不加不垂直于 轴会怎样」，再让一名学生举出 的竖直弦 与 ，用两条不过同一点的直线把必要性讲实，比直接给结论有效。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，过点 的动直线与椭圆交于 两点。求 轴上一点 ，使 对任意这样的直线都成立。 解析：设 ，直线 （过 ）。椭圆写成 ，代入得 ，故 、。 的分子为 。 要使它对任意 为零，须 ，即 ；此时 。 核对：取 ，直线 ，方程 的两根代入直接算得 ；取 同样为零。 对应竖直弦 ，此时 ，斜和本来就是 ，与 无关；这族直线也过 ，不影响 的结论。 参考答案： 【学情易错提醒】设直线写成 会把竖直弦 漏掉，虽然本题它不改变结论，解析里仍应说明 已把它收进设法。另一类失误是把分子里的 写成 之后又代入 ，算出 无解；本题 由题设固定，不能改。 【变式4-1】 已知抛物线 ，过点 的动直线与抛物线交于 两点。求 轴上一点 ，使 对任意这样的直线都成立。 解析：设 ，直线 ，代入 得 ，故 、。 的分子为 。令其对任意 为零，得 ，即 。 对照椭圆情形的 ，抛物线给的是 ；本题 故 。两条分子式分别为 与 ，形式不同，须各自联立一次。 核对：取 ， 的两根为 ，端点代入 ；取 同样为零。 参考答案： 【学情易错提醒】把椭圆的 直接搬过来会得到 一类错误值；抛物线的分子是 ，须重新联立。另有把 写成 的，符号错会让 变成 。 【变式4-2】 已知椭圆 ，点 ， 是椭圆上两点，满足 ，且直线 不垂直于 轴。证明 恒过定点，并求该定点。 解析：设 且 。椭圆写成 ，代入得 ，故 、。 的分子为 。 由 且 得 ，即 ，故 恒过 ；核对 。 题面「不垂直于 轴」即 。若 ，竖直弦 使 ，斜和对任意 都为零，例如 与 都满足条件却不过同一点，故这一条件不可省。核对 ：直线 ，联立 ，判别式 ，两根代入斜和为零。 参考答案：定点为 【学情易错提醒】漏掉「 不垂直于 轴」而直接由斜和解 ，会把 的一族竖直弦也算进来，得出「不存在定点」的结论。另一个陷阱是把 化简成 ，符号错会让 。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ，直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，则 与椭圆的位置关系是（　　） A．在椭圆外 B．在椭圆上 C．在椭圆内 D．由 决定 解析：按 整理得 ；联立 与 ，两式相减得 ，回代得 ，即 。 把 代入椭圆左端：，故 在椭圆外。定点由两个括号同时为零确定，与 无关。 参考答案：A 2．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入得 ，。由 得 。 令 并舍去 （一个端点与 重合），得 ，定点 。 与 分别对应 、，代入得 ，都不满足垂直。 参考答案：A 3．（单选）椭圆 的右顶点为 ， 在椭圆上且 ，则 恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，由韦达整理得 ，与 无关。 令 ，得 ，即 ，定点 。 给 、 给 、 给 ，都不等于 。 参考答案：A 4．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入得 ，。由 得 。 令 并舍去 ，得 ，定点 。开口向下时定点在 轴负半轴， 是开口向上 的答案。 参考答案：A 5．（多选）关于抛物线 上异于原点的两点 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 过定点 B．若 ，则 过定点 C．若 ，则 过定点 D．若 ，则 过定点 解析：设 ，则 、，即 。 A： 给 ，正确；B： 给 ，正确；C： 给 ，正确。 D： 给 ，定点应为 ，故 D 错误。三项正确的定点都随 反号而变， 时定点落在 轴负半轴。 参考答案：ABC 6．（填空）抛物线 与过点 的直线交于 两点。若 轴上一点 使 对任意这样的直线成立，则 的坐标为______。 解析：设 、，代入得 ，、。 的分子为 。令其对任意 为零得 ，即 。 参考答案： 7．（解答）已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。（1）证明直线 恒过定点 ，并求 的坐标；（2）求 ，并写出 的方程（用参数 表示）。 解析：设 、，。由 得 。 设 ，代入 得 ，，故 ，与 无关， 恒过 。 核对：取 ，直线 给出端点 与 ，。 对应一个端点与 重合，舍去。 （2）；把 代回所设直线， 的方程为 （ 为任意实数）。判别式 恒成立，故每个 都给出两个交点。 参考答案：（1）；（2）， 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 上两点 与点 满足 ，且 不垂直于 轴，则 恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：设 （），由韦达代入， 的分子 ，本题 、。 由 得 ，定点 。 给 、 给 、 给 ，都不满足斜和为零。 还使直线过 外很远的位置，与椭圆不相交。 参考答案：A 9．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，则 、。 令 得 ，定点 。 给 （即 ）， 给 ， 给 ，都与题设的 不符。 参考答案：A 10．（多选）椭圆 的右顶点为 ， 在椭圆上，下列判断正确的是（　　） A．若 ，则 过原点 B．若 过 ，则 C．若 ，则 过 D．若 过原点，则 解析：设 ，由韦达整理得 ，与 无关。 A： 即 ，代入得 ，，正确；D 是 A 的逆， 给 ，即 ，正确。 B： 给 ，即 ，不是 ，错误。C： 给 ，，正确。 参考答案：ACD 11．（填空）抛物线 上两点 满足 ，则直线 恒过定点______。 解析：设 ，则 ，。 令 ，即 ，判别式为零只给出一个 ，故 恒过 。 核对： 给 ，。若把常数换成 一类数值，方程会有两个不同实根，对应两族直线与两个定点。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 ，右顶点为 。（1） 是椭圆上异于 的两点，且 ，证明 恒过定点并求之；（2）点 ， 在椭圆上满足 且 不垂直于 轴，证明 恒过定点并求之；（3）「 不垂直于 轴」这一条件在第（1）问是否必要？说明理由。 解析：椭圆写成 ，设 ，代入得 。记 ，则 、。 （1），故 。令 ，得 ，即 ， 恒过 。此时判别式 要求 ， 的竖直线 与椭圆没有交点。 （2） 的分子为 。由 得 ，即 ， 恒过 ；核对 。 （3）第（1）问不必要，第（2）问必要。竖直弦写成 、端点 与 ，此时 ，不可能等于正数 ，故第（1）问的条件自动满足；而 对任意 恒成立， 与 都满足却不过同一点，第（2）问必须排除。 核对：第（2）问取 ，直线 ，联立 ，判别式 ，两根代入斜和为零；第（1）问取 ，直线 ，判别式 ，两根代入 。 两问的定点关系也可复核：第（1）问 时判别式为 ，须 ，故竖直线 与椭圆没有交点；第（2）问 时判别式为 恒成立，每个 都给出两个交点，其中 就是被题面排除的竖直弦 。两条判别式只差常数项，来自 中 的取值。 把两问并排看：第（1）问由 解出 ，第（2）问由 与 解出 ，两条直线族都过 轴上的定点却不重合；条件一个是斜率之积、一个是斜率之和，落到同一条分子式上时分别取 与 两个不同的量。 参考答案：（1）；（2）；（3）第（1）问不必要、第（2）问必要，理由见解析 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线定点问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着弦长与面积的计算。那一类题把联立与韦达收成一条通法，本讲把同一条通法的落点换成「一族直线共有的点」：目标不再是某个数值，而是与参数无关的一个坐标。教材在直线与圆锥曲线一节给出的联立法在这里承担新的任务——把题设条件（垂直、斜率之积、斜率之和、数量积）译成韦达式，若化简后含参数 的项被约掉，剩下的 就是定点。全讲按四个层级展开：先把含参直线整理成参数分离式，再依次处理抛物线、椭圆与双曲线上的垂直或斜率条件，最后由「斜率互为相反数」反求使条件恒成立的定点。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，「证明直线过定点」稳居解析几何解答题第（2）问的高频位置；小题多考「由条件求定点坐标」或「判断定点与曲线的位置关系」。抛物线以 与 最集中，椭圆与双曲线以顶点出发的斜率之积最集中。定点与定值是一组相邻考法，本讲只处理「点」，证明某个量为常数、判断是否存在这样的直线，另作专门处理。 第二部分　记·模型与结论 一、参数分离：定点问题的落笔第一步 把含参数 的直线方程整理成 。若它对任意 都表示同一族直线共有的点，两个括号须同时为零，解 与 即得定点。常见设法 中 可写成 ，定点为 ； 中 可写成 ，定点为 。参数以 、 等整体出现时，仍按一个独立参数分组，不必拆成两项。 分离之后要把定点代回原方程核对一次，展开时的常数项符号最容易在这一步被发现。参数分离本身只用到一次方程组，但它是后面三型共同的收尾：条件解出的 （或 ）若与 无关，直线族就写成 或 ，定点随之落定。 二、抛物线：把垂直译成 对 ，设 ，联立得 ，故 、。由 得 ；又 。两个式子都只含 ，不含 。 给 ，即 恒过 ；一般地 给 。开口向上或向下的 改设 ，同法得 时 过 。数量积取一般常数时会解出两个 ，对应两族直线，须分别写出定点；取 一类使判别式为零的值才只剩一个。 三、椭圆与双曲线：顶点斜率积与 无关 设曲线为 （椭圆取正、双曲线取负），右顶点 ，直线 且 。记 ，韦达给 、。把 展开成 ，代入后恰化为 ， 被约掉。 正号对应椭圆、负号对应双曲线。令 即可解出 ，与 无关，故 恒过 。椭圆上取 时 ， 是过中心的弦；双曲线上取 时 。 时直线过 本身、 无定义，须在设线时排除；双曲线还要避开 （直线平行于渐近线，只有一个交点）。 四、斜率互为相反数：反求使条件恒成立的定点 设 、直线 。 的分子是 。椭圆代入韦达后化为 ，抛物线 代入后化为 ，都只在 的一次项上出现。 前者给 （已知过 求 ），后者给 （抛物线 ）。反过来，已知 则由 或 定出 所过的定点。两类问题共用同一条分子式，只是已知量与未知量对调。 是竖直弦，此时 使斜率和恒为零、与 无关；由斜率和反推定点时须先排除这一族，否则会得出「直线族不共点」的结论。 五、完整流程与四类退化 落笔分五步：按曲线开口或定点位置选 还是 ；联立写成一元二次式并记下二次项系数与两根之和、之积；把条件译成关于 的代数式；代入韦达、化简并确认含 的项被约掉；解出 （或 ）后写出定点，再取一个具体 回代用端点坐标核对。 四类退化要逐一处理： 或 使一个端点与原点重合，零向量不构成垂直； 使直线过顶点 、斜率无定义； 使竖直弦的斜率和恒为零； 与二次项非零才保证两个交点，定点落在曲线外时并非所有过它的直线都成弦。弦长与面积算的是 与 ，本讲算的是 ；两者共用联立与韦达，但目标量不同，不要在定点题里顺手展开面积。 第三部分　破·典型题型 题型一　含参直线系的参数分离 【解题技巧】把方程按参数整理成 ，令两个括号同时为零。 里 给 ， 里 给 。参数是 时按一个整体分组，不要拆成两项；解完把定点代回原方程核对一次，常数项符号在这一步最容易查出来。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 ，对任意实数 ，直线 。（1）证明 恒过定点 ，并求 的坐标；（2）判断 是否在该抛物线上。 【变式1-1】 已知抛物线 ，直线 （ 为任意实数）。（1）求 恒过的定点 ；（2）求 使 过原点；（3）判断 是否在该抛物线上。 【变式1-2】 已知椭圆 ，对任意实数 ，直线 。（1）求 恒过的定点 ；（2）判断 与椭圆的位置关系，并说明 与椭圆的交点个数。 题型二　抛物线上的垂直与斜率积 【解题技巧】开口向右或向左用 ，开口向上或向下用 。把条件译成 （或 ）的一个数值，再与韦达给出的 （或 ）比较，解出的 （或 ）与 无关即为定点。垂直条件解出两个根时，先查有没有一个端点落在原点，有则舍去。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 【变式2-1】 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 【变式2-2】 已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 题型三　椭圆与双曲线的顶点斜率积 【解题技巧】统一设 且 ，把 写成 。代入韦达后含 的项整体约掉，得 ：椭圆取正、双曲线取负。令它等于题给的 解出 ，定点为 。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 ，右顶点为 ， 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 【变式3-1】 已知椭圆 ，右顶点为 ， 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 【变式3-2】 已知双曲线 ，右顶点为 ， 是双曲线上异于 的两点，且 。证明直线 恒过定点，并求该定点。 题型四　斜率互为相反数与所求定点 【解题技巧】 的分子是 。椭圆代入韦达后分子 ，抛物线 代入后分子 。已知过 求 时解 ，已知 求 所过的点时解 。由斜率和反推定点须先排除 的竖直弦。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，过点 的动直线与椭圆交于 两点。求 轴上一点 ，使 对任意这样的直线都成立。 【变式4-1】 已知抛物线 ，过点 的动直线与抛物线交于 两点。求 轴上一点 ，使 对任意这样的直线都成立。 【变式4-2】 已知椭圆 ，点 ， 是椭圆上两点，满足 ，且直线 不垂直于 轴。证明 恒过定点，并求该定点。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ，直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，则 与椭圆的位置关系是（　　） A．在椭圆外 B．在椭圆上 C．在椭圆内 D．由 决定 2．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 3．（单选）椭圆 的右顶点为 ， 在椭圆上且 ，则 恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于抛物线 上异于原点的两点 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 过定点 B．若 ，则 过定点 C．若 ，则 过定点 D．若 ，则 过定点 6．（填空）抛物线 与过点 的直线交于 两点。若 轴上一点 使 对任意这样的直线成立，则 的坐标为______。 7．（解答）已知抛物线 ， 为坐标原点， 是抛物线上异于 的两点，且 。（1）证明直线 恒过定点 ，并求 的坐标；（2）求 ，并写出 的方程（用参数 表示）。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 上两点 与点 满足 ，且 不垂直于 轴，则 恒过定点（　　） A． B． C． D． 9．（单选）抛物线 上异于原点的两点 满足 ，则直线 恒过定点（　　） A． B． C． D． 10．（多选）椭圆 的右顶点为 ， 在椭圆上，下列判断正确的是（　　） A．若 ，则 过原点 B．若 过 ，则 C．若 ，则 过 D．若 过原点，则 11．（填空）抛物线 上两点 满足 ，则直线 恒过定点______。 12．（解答）已知椭圆 ，右顶点为 。（1） 是椭圆上异于 的两点，且 ，证明 恒过定点并求之；（2）点 ， 在椭圆上满足 且 不垂直于 轴，证明 恒过定点并求之；（3）「 不垂直于 轴」这一条件在第（1）问是否必要？说明理由。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $